第4章指数函数与对数函数同步练习卷-2024-2025学年高一数学上学期人教A版(2019)必修第一册

第4章指数函数与对数函数同步练习卷-2024-2025学年高一数学上学期人教A版2019 一、单选题 1．已知，，且，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．函数与的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于直线对称 C．关于原点对称 D．关于轴对称 3．已知，则以下正确的是（    ） A． B． C． D． 4．某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润（单位：百万元）与新设备运行的时间（单位：年，）满足，当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 6．2011年7月执行的《中华人民共和国个人所得税法》规定：公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算： 全月应纳税所得额（含税级距） 税率（%） 不超过1500元 3 超过1500元至4500元的部分 10 超过4500元至9000元的部分 20 … … 某调研机构数据显示，希望将个税免征额从3500元上调至7000元．若个税免征额上调至7000元（其它不变），某人当月工资、薪金所得8500元，则此人当月少缴纳此项税款（　　） A．45元 B．350元 C．400元 D．445元 7．若，是关于x的方程的解，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 8．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知函数，若方程有4个不同的零点，，，，且，则（   ） A． B． C． D．的最小值是32 11．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列正确的是（    ） A．当时， B． C．不等式的解集为 D．函数的图象与轴有4个不同的交点，则 三、填空题 12．函数的定义域是 . 13．函数的图象恒过定点A的坐标是 . 14．若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是 四、解答题 15．（1）计算 （2）计算. 16．如图所示，学校要围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙时需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，已知旧墙的维修费用为56元，新墙的造价为200元，设利用旧墙的长度为（单位：），修建此矩形场地的总费用为（单位：元）. (1)求关于的函数表达式； (2)试确定的值，使修建此矩形场地的总费用最小，并求出最小总费用. 17．几个大学生联合自主创业拟开办一家公司，根据前期的市场调研发现：生产某种电子设备的固定成本为20万元，每生产一台设备需增加投入万元.已知总收入（单位：万元）与月产量（单位：台）满足函数：，且当时，. (1)求实数的值； (2)预测：当月产量为多少时，公司所获得的利润不低于20万元?（总收入总成本十利润） 18．已知函数. (1)当时，求的值域； (2)若的最小值为3，求k的值； (3)在（2）的条件下，若不等式有实数解，求实数a的取值范围. 19．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. (1)已知函数的部分图象如图所示， 请根据条件将图象补充完整，并写出函数的解析式和单调递减区间； (2)若关于的方程有个不相等的实数根，求实数的取值范围．（只需写出结论） (3)写出解不等式的解集． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B B C C D A BC BC 题号 11 答案 ACD 1．C 【分析】利用均值不等式结合指数幂的运算即可求得答案. 【详解】因为，所以， 因为，，所以， 当且仅当，即时，取等号，故的最小值为6， 故选：C. 2．D 【分析】根据题意可得，并结合图象分析判断. 【详解】因为，且函数与的图象如图所示： 所以函数与的图象关于轴对称. 故选：D. 3．B 【分析】根据指、对数函数单调性，结合中间值“0”、“1”分析判断. 【详解】因为是单调递减函数， 所以，即； 又因为是单调递增函数， 所以，即； 且函数在上单调递减，故即； 综上所述：，即. 故选：B. 4．B 【分析】由已知可得，当和时分别求得最大值，即可求解. 【详解】由题意，新设备生产的产品可获得的年平均利润， 当时，，当且仅当时，等号成立， 则， 所以当时，取得最大值，且最大值为， 当时，， 所以函数在上单调递减， 所以当时，取得最大值，且最大值为， 故当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间. 故选：. 5．C 【分析】利用函数奇偶性的定义可求得函数的解析式，再利用基本不等式可求得的最小值． 【详解】因为是偶函数，所以，即①， 又因为是奇函数，所以，即②， 联立①②可得， 由基本不等式得，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为， 故选：C． 6．C 【分析】根据表格中的数据，分别求得个税免征额为3500元和个税免征额为7000元时，当月缴纳的税款，进而得到答案. 【详解】根据表格中的数据，个税免征额为3500元时，此人当月所缴纳的税款为： （元）， 当个税免征额为7000元时，此人党员的所缴纳的税款为（元）， 所以，此人当月少缴纳此项税款为（元）. 故选：C. 7．D 【分析】根据题意将问题转化为利用二次函数零点的分布，得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为，是关于x的方程的解，且满足， 所以在上有两个零点， 所以，解得，则， 所以的取值范围是. 故选：D. 8．A 【分析】利用排除法可得正确选项. 【详解】由题意可得，排除B，又不是偶函数，排除C， 当时，，排除D. 故选：A. 9．BC 【分析】举特例可判断AD；利用作差法可判断B；利用指数函数的单调性可判断C. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，由， 因为，所以，， 所以，即，故B正确； 对于C，由，得， 由于函数在上单调递增，所以，故C正确； 对于D，当时，满足，而，故D错误. 故选：BC. 10．BC 【分析】根据解析式画出的大致图象，数形结合研究与交点横坐标，得，并由对数函数、二次函数性质得、，进而判断各项正误. 【详解】由题设的大致图象如下，，，，为与交点横坐标， 由图知，，，A错； 且，，B、C对； 由，而， 所以，无最小值，D错. 故选：BC 11．ACD 【分析】函数奇偶性求出函数解析式，分段解决分段函数有关的不等式，由函数图像找到交点为4个点的的取值范围. 【详解】当时，，由题意可知，A选项正确； 由题意可知：，B选项错误； ∵，令，则或；令，则或； ∴，即或，即或，C选项正确； 令，即 函数的函数图像如下： 由图像可知，当和存在4个交点时，，D选项正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛，本题已知分段函数的奇偶性和其中某个区间的解析式，通过奇函数的性质可以求出整个函数的解析式，由此可以借助函数图像来解决一些函数相关的问题. 12． 【分析】根据自变量的取值条件来求定义域即可. 【详解】函数的自变量满足：， 解得且， 所以函数的定义域是， 故答案为：. 13． 【分析】根据给定条件，利用指数型函数的性质求出定点坐标. 【详解】对于任意的且，当时，恒有， 所以点的坐标是. 故选： 14． 【分析】先求出对任意的，的值域为，接着求出时，函数值域B，再依据题意得，从而得到一个关于m的不等式组，解该不等式组即可得解. 【详解】因为，为增函数，所以， 令，则， 因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又，所以， 所以当时，，所以， 即当时，函数的值域， 设时，函数值域为集合， 因为是增函数，所以， 因为对任意的，总存在，使得成立， 所以对任意的，总存在，使得成立， 所以， 所以，即. 所以满足题意的实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是依据题意将问题等价转化成两个函数和 的值域的关系即可求解. 15．（1）（2） 【分析】利用指数与对数的运算法则计算即可. 【详解】（1）原式. （2）原式. 16．(1) (2)，最小总费用是12200元. 【分析】（1）由面积求得矩形的另一边长，然后由新墙和旧墙计算费用得结论； （2）利用基本不等式求得最小值． 【详解】（1）由题意知，矩形的一边长为，另一边长为， 则 ， 故. （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故当利用旧墙的长度为时，修建此矩形场地的总费用最小，最小总费用是12200元. 17．(1) (2) 【分析】（1）代入函数值即可求出参数值； （2）列出利润函数，分段列出不等式，求得解集即为所求范围. 【详解】（1）因为当时，， 所以，解得. （2）设公司所获得的利润为（单位：万元），所以 当时，，即， 解得，， 当时，， 综上，当且仅当时，公司所获得的利润不低于20万元. 18．(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由题设，结合二次函数及指数函数性质求值域； （2）令，则，结合二次函数性质讨论对称轴的位置及题设求参数值； （3）问题化为有解，求右侧最小值，即可得范围. 【详解】（1）由题设，而， 所以； （2）令，则，开口向上且对称轴为， 当时，在上递增，此时无最值，不满足； 当时，在上递减，在上递增， 所以，可得（正值舍）. （3）由题意有解，即有解， 对于，当且仅当时取等号， 又趋向正负无穷时，分别趋向于0、正无穷，故均趋向于正无穷， 故只需，即. 19．(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质，即可画出函数的图象，再根据图象求函数的单调递增区间；利用函数是奇函数，求函数的解析式； （2）利用数形结合，转化为与的图象有个交点，从而得解； （3）分，两种情况，数形结合可得出原不等式的解集. 【详解】（1）解：因为是定义在上的奇函数，其图象关于原点对称，则补充图象如图，    结合图象可知，函数的单调递减区间为和． 因为当时，， 所以当时， ，所以， 因为是定义在上的奇函数，所以， 所以当 时，， 故的解析式为. （2）解：因为有个不相等的实数根，等价于与的图象有个交点， 结合（1）中的图象可知，当时，与的图象有个交点， 所以. （3）解：当时，可得，结合图象可得； 当时，可得，结合图象可得. 综上所述，不等式的解集为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$