4.3.1 等比数列的概念（第2课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

4.3 等比数列 4.3.1 等比数列的概念（第2课时） 人教A版选择性必修第二册 第四章 数列 学习目标 1 2 3 能从具体实例中抽象出等比数列，并能进行简单 应用，培育数学抽象、数学建模的核心素养； 能在具体的问题情境中,发现等比数列,并能解决相应问题. 掌握等比数列的性质及其应用，培育逻辑推理、数学运算的核心素养 典例分析 [例5] 用10 000元购买某个理财产品一年. (1)若以月利率0.400%的复利计息,12个月能获利多少利息(精确到1元)？ (2)若以季度复利计息,存4个季度,则当每季度利率为多少时,按季结算的利息不少于按月结算的利息.（精确到） 分析: 复利是指把前一期的利息与本金之和算做本金，再计算下一期的利息，所以若原始本金为a元，每期的利率为r，则从第一期开始，各期的本利和a，a(1+r)，a(1+r)2，……构成等比数列. 月初本金 月末本利和 1个月 2个月 3个月 12个月 104 104(1+0.400％) 104(1+0.400％) 104(1+0.400％)2 104(1+0.400％)2 104(1+0.400％)3 104(1+0.400％)11 104(1+0.400％)12 典例分析 [例5] 用10 000元购买某个理财产品一年. (1)若以月利率0.400%的复利计息,12个月能获利多少利息(精确到1元)？ (2)若以季度复利计息,存4个季度,则当每季度利率为多少时,按季结算的利息不少于按月结算的利息.（精确到） 解： 学以致用 教材P34 3. 某汽车集团计划大力发展新能源汽车，2017 年全年生产新能源汽车5000辆，如果在后续的几年中，后一年新能源汽车的产量都是前一年的150%，那么2025年全年约生产新能源汽车多少辆(精确到1)? 4.某城市今年空气质量为“优”“良”的天数为105,力争2年后使空气质量为“优”“良”的天数达到240. 这个城市空气质量为“优”“良”的天数的年平均增长率应达到多少(精确到0.01)? 典例分析 [例6] 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品。1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？ 产量 不合格率 数列{an} 数列{bn} 等比数列 等差数列 分析： 不合格品 产量×不合格率 等差数列×等比数列 {anbn} 数列{anbn}既非等差数列又非等比数列，所以可以先列表观察规律，再寻求问题的解决方法. 典例分析 解: 设从今年1月起 , 各月的产量及不合格率分别构成数列{an}, {bn}. bn=1-[90%+0.4%(n-1)]=0.104-0.004n, 其中n=1, 2,… , 24, 则从今年1月起，各月不合格产品的数量是 anbn=1050×1.05n-1× (0.104-0.004n) 由题意，知 an=1050×1.05n-1, 由计算工具计算（精确到0.1），并列表 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 anbn 105.0 105.8 106.5 107.0 107.2 107.2 106.9 106.4 105.5 104.2 102.6 100.6 98.1 95.0 =1.05n× (104-4n). 观察发现，数列{anbn}先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当n≥6时，{anbn}递减，且a13b13<100即可. 得 n>5. 所以，当n≥6时，数列{anbn}递减. 又 a13b13≈98<100. 所以, 当13≤ n ≤24时，anbn ≤ a13b13<100. 所以，生产该产品一年后，月不合格的数量能控制在100个以内. 学以致用 教材P34 5.已知数列{an}的通项公式为 ，求使an取得最大值时n的值. 典例分析 [例7] 已知数列{an}的首项a1=3. (1)若{an}为等差数列，公差d=2，证明数列{}为等比数列； (2)若{an}等比数列，公比q=，证明数列{log3an}为等差数列. 分析：根据题意，需要从等差数列、等比数列的定义出发，利用指数、对数的知识进行证明. 证明: (1)由已a1=3， d=2，得{ an }的通项公式为 an =2n+1. 又 b1 ==33=27, 所以，数列{}是以27为首项，9为公比的等比数列. (2)由已a1=3， q=，得 又 log3a1 =log33=1, 两边取以3为底的对数，得 log3an=log3 33-2n =3-2n 所以 log3an+1 - log3an=[3-2(n+1)] – (3-2n)= -2 所以，数列{log3an}是首项为1，公差为-2的等差数列. 学以致用 教材P31 4.对于数列{an}, 若点(n, an) (n∈N*)都在函数y=cqx的图象上，其中c, q为常数，且c≠0, q≠0, q≠1，试判断数列{an}是否是等比数列，并证明你的结论. 例题小结 等比数列的常用判定方法 新知探究 问题1 已知b>0且b≠1, 如果数列{an}是等差数列,那么数列{}是否一定是等比数列？如果数列{an}是各项均为正的等比数列，那么数列{logban}是否一定是等差数列？ 结论： 数列{an}是等差数列⇔数列 是等比数列. 数列{an}是正项等比数列⇔数列{logban}是等差数列. b>0且b≠1 学以致用 教材P40-习题4.3 2. 已知一个无穷等比数列{an}的首项为a1, 公差为q. (1) 将数列{an}中的前k项去掉, 其余各项组成一个新的数列, 这个新数列是等比数列吗? 如果是, 它的首项和公比分别是多少? (2) 依次取出数列{an}中的所有奇数项, 组成一个新的数列, 这个新数列是等比数列吗? 如果是, 它的首项和公比分别是多少? (3) 在数列{an}中，从第一项起，每隔10项取出一项，组成一个新的数列, 这个新数列是等差数列吗? 你能根据得到的结论作出关于等比数列的一个猜想吗? 改成偶数项呢？ 新知探究 由课本P40习题4.3-T2可得等比数列的如下性质： 性质1 若{an}是等比数列，公比为q，则ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N*)是公比为qm的等比数列． （若下标成等差数列，则对应的项成等比数列） 追问 你能证明该性质吗？ 证明： ∵{an}是等比数列，公比为q ∴ak+m=akqm，ak+2m=akq2m 即(ak+m)2=akak+2m 即ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N*)是公差为qm的等比数列 新知探究 探究 观察等比数列: 2 ，4 ，8 ，16 ，32，64，128，256,……说出16是哪两项的等比中项？并找到它们满足的规律？ 2 ，4 ，8 ，16 ，32，64，128 等比数列 问题2 观察项的角标满足什么关系？由此你能得到什么一般性的结论吗？并且加以证明. 新知探究 猜想 若{an}是公比为q的等比数列，正整数m，n，s，t满足m＋n＝s＋t，则aman＝asat. 证明: 新知探究 由此可得等比数列的如下性质： 性质2 在等比数列{an}中，若m＋n＝s＋t(m,n,s,t∈N*)，则aman＝asat. （若下标和相等，则对应项的积相等.） (1)特别地: 若m＋n＝2k(m,n,k∈N*)，则有aman＝a2k. 推论 (2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1an＝a2an－1＝…＝akan－k＋1＝…. 思考 2+3=5，a2a3=a5 成立吗？ 【注】等式两边的项数必须一样多！ 学以致用 教材P31 5.已知数列{an}是等比数列. (1) a3, a5, a7是否成等比数列? 为什么? a1, a5, a9呢? (2) 当n>1时, an-1, an, an+1是否成等比数列? 为什么? 当n>k>0时, an-k, an, an+k是等比数列吗? 学以致用 教材P34 2.设数列{an}, {bn}都是等比数列，分别研究下列数列是否是等比数列，若是，证明结论；若不是，请说明理由. 问题3 根据本题你能得到一般性的结论吗？ 由练习题4可得等比数列的如下性质： 新知探究 性质3 数列{an}, {bn}都是等比数列, 公比分别为p, q，则数列{anbn}是公比为 的等比数列. pq 推论 若数列{an}, {bn}都是等比数列, 公差分别为p, q，λ为常数则有 数列 是等比数列，公比为 ； 数列 是等比数列，公比为 ； 数列 是等比数列，公比为 ； 数列 是等比数列，公比为 ； 数列 是等比数列，公比为 ； p p2 | p | p/q 1/p 能力提升 题型一 等比数列性质的应用 例题 1.已知 <m></m> 为等比数列． (1)若 <m></m> ，求 <m></m> ； (2)若 <m></m> ， <m></m> ，求 <m></m> ； (3)若 <m></m> ， <m></m> ，求 <m></m> 的值． [解析](1)在等比数列 <m></m> 中， <></m> ， <</m> ， <m></m> . (2)由题意得， <m></m> ，即 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> . (3)由等比数列的性质知， <m></m> ， <m></m> <m></m> . 能力提升 题型二 等比数列的单调性 例题 2. 已知等比数列 <m></m> 的通项公式为 <m></m> . (1)求公比 <m></m> ； (2)判断数列 <m></m> 的单调性. [解析] (1)由 <m></m> 得公比 <m></m> . (2)解法一：由于 <m></m> ，公比 <m></m> ，且 <m></m> ， 所以等比数列 <m></m> 为递增数列. 解法二：由 <m></m> ， 得 <m></m> , 所以 <m></m> ， 所以等比数列 <m></m> 为递增数列. 方法总结 等比数列的单调性的判断方法 能力提升 （1）当 <m></m> , <m></m> 或 <m></m> , <m></m> 时, <m></m> 是递增数列. （2）当 <m></m> , <m></m> 或 <m></m> , <m></m> 时, <m></m> 是递减数列. （3）当 <m></m> 时, <m></m> 是摆动数列. （4）当 <m></m> 时， <m></m> 是常数列. 能力提升 题型三 等比数列与等差数列的综合运用 例题 3.已知等差数列的公差不为0,且，， 成等比数列,则 ( ) D A. B. C. D. [解析] 设等差数列的公差为，， 由，， 成等比数列，得 ， 即，即， 所以 ，所以，故 . 课堂小结 （2）等比数列的应用 （3）等比数列的性质 （1）等比数列的判断 $$