24.3正多边形和圆 课时作业2024-2025学年人教版数学九年级上册

人教版九年级上册数学24.3正多边形和圆 课时作业 一、单选题 1．如图，是的直径，，，以为边作圆的内接正多边形，则这个正多边形是（ ） A．正七边形 B．正八边形 C．正六边形 D．正十边形 2．如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，这个正六边形ABCDEF的半径是2cm，则这个正六边形的周长是（  ） A．12 B．6 C．36 D．12 3．正三角形绕其中心旋转一定角度后，与自身重合，旋转角至少为（　　） A．30° B．60° C．120° D．180° 4．如图，用若干个全等的正五边形可以拼成一个环状，图中所示的是前3个正五边形的拼接情况，要完全拼成一个圆环还需要的正五边形个数是（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．正方形绕其中心旋转一定的角度与原图形重合，则这个角至少为（    ） A． B． C． D． 6．如图所示，已知的内接正四边形，则的度数是（   ） A． B． C．或 D． 7．下列正多边形中，中心角等于内角的是（    ） A．正六边形 B．正五边形 C．正四边形 D．正三边形 8．如图，四边形内接于，点是上一点，且，连接并延长交的延长线于点，连接，若，则线段、的长度关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 二、填空题 9．如图，BF、CE是正六边形ABCDEF的两条对角线，若正六边形ABCDEF的边长是a，则四边形BCEF的周长是 ．（用含a的代数式表示） 10．正六边形的边长是6，则这个正六边形的周长是 ． 11．如图，将一块正六边形硬纸片，做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图中的四边形AGA/H，那么∠GA/H的大小是 度． 12．正六边形的半径与边心距之比为 ． 13．已知正六边形的周长是12，则它的半径是 ． 三、解答题 14．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为的中点，连接AM，BM． （1）求证：； （2）求的度数． 15．如图， 已知多边形中，，，，，分别按请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图. (1)在图①中，画出一个以为边的矩形； (2) 在图②中， 若多边形是正六边形，试在上画出点，使 16．如图，四边形是圆的内接四边形，延长、相交于点，已知．    （1）求证：； （2）若是四边形外接圆的直径，求证：． 17．如图①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度在⊙O上逆时针运动． （1）求图①中∠APN的度数（写出解题过程）； （2）写出图②中∠APN的度数和图 ③中∠APN的度数 （ 3）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D C C C D C B 1．C 【分析】根据圆周角定理求得∠POQ=100°，由等腰三角形的性质得出∠OPQ=∠OQP，再由外角的性质得出∠A+∠APO=∠POM=20°+40°=60°，即可得出△POM是等边三角形，再由正六边形的性质得出答案． 【详解】连接QO，PO，如图所示， ∵QO=PO， ∴∠OPQ=∠OQP， ∵∠PMQ=50°， ∴∠POQ=100°， ∴∠OPQ+∠OQP=180°-100°=80°， ∴∠OPQ=∠OQP=40°， ∴∠A+∠APO=∠POM=20°+40°=60°， ∵PO=OM， ∴△POM是等边三角形， ∴PM=OP=OM， ∴以PM为边作圆的内接正多边形，则这个正多边形是正六边形． 故选C． 【点睛】本题主要考查了正六边形的性质、圆周角定理以及三角形外角的性质，证明△POM是等边三角形是解决问题的关键． 2．D 【分析】由正六边形的性质证出△AOB是等边三角形，由等边三角形的性质得出AB=OA，即可得出答案 【详解】设正六边形的中心为O，连接AO，BO，如图所示： ∵O是正六边形ABCDEF的中心， ∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠AOB=60°，AO=BO=2cm， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB=OA=2cm， ∴正六边形ABCDEF的周长=6AB=12cm. 故选D 【点睛】此题主要考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质；根据题意得出△AOB是等边三角形是解题关键. 3．C 【分析】求出正三角形的中心角即可得解 【详解】正三角形的中心角为120°， 所以它绕其中心旋转一定角度后，与自身重合，旋转角至少为120°， 故选C． 【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，掌握正多边形的中心角的求解是解题的关键． 4．C 【详解】试题解析：如图，圆心角为∠1， ∵五边形的内角和为：（5-2）×180°=3×180°=540°， ∴五边形的每一个内角为：540°÷5=108°， ∴∠1=108°×2-180°=216°-180°=36°， ∵360°÷36°=10， ∵360°÷36°=10， ∴他要完成这一圆环共需10个全等的五边形． ∴要完全拼成一个圆环还需要的正五边形个数是：10-3=7． 故选C． 5．C 【分析】本题考查正方形的旋转对称问题，根据正方形的对角线把正方形分成四个全等的直角三角形与旋转对称图形的性质解答． 【详解】解：∵正方形的对角线把正方形分成四个全等的直角三角形， ∴顶点处的周角被分成四个相等的角，， ∴这个正方形绕着它的中心旋转的整数倍后，就能与它自身重合， 因此这个角度至少是． 故选C． 6．D 【分析】本题主要考查了正多边形和圆,圆周角定理和圆内接四边形，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键． 连接、，首先根据正方形的性质，得，再根据圆周角定理和点的位置确定的度数． 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形是正方形， ，三点共线， ∴, ∵四点共圆，点在劣弧上， ∴， 故选：D． 7．C 【分析】正边形的内角和为，则它的内角等于，边形的中心角等于，根据中心角等于内角就可以得到一个关于的方程，解方程即可得答案． 【详解】∵正边形的内角和为， ∴它的内角等于，中心角等于， ∵中心角等于内角， ∴=， 解得：，即这个多边形是正四边形． 故选：C． 【点睛】本题考查多边形内角和，熟知多边形内角和为，正边形的中心角等于是解题关键． 8．B 【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠CDE=∠ABC，再由圆周角定理得出∠DCE=∠BAC，根据ASA证明△ABC≌△CDE即可得出结论． 【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠CDE=∠ABC， ∵ ∴∠DCE=∠BAC， 在△ABC和△CDE中， ∴△ABC≌△CDE ∴AC=CE 故选：B． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的一个外角等于与它不相邻的内对角是解答此题的关键．也考查了圆周角定理及全等三角形的判定与性质． 9．2a＋2a 【分析】过点A作AH⊥BF，垂足为H，先证△ABF为等腰三角形，求出∠ABH的度数，用含a的代数式表示出AH、BH，然后利用等腰三角形的三线合一，矩形的判定与性质即可解决问题． 【详解】解：过点A作AH⊥BF，垂足为H，如图所示： ∵ABCDEF是正六边形， ∴，△ABF为等腰三角形， 正六边形的每个内角度数为：， ， ， ， ，则， ， ， 又，，， ∴四边形BCEF为矩形， ， 故答案为：2a＋2a． 【点睛】本题考查了正六边形的性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正确作出辅助线，熟悉这些性质定理是解决问题的关键． 10．36 【分析】正六边形的边长×6，可得正六边形的周长． 【详解】解：∵正六边形的边长是6， ∴这个正六边形的周长=6×6＝36， 故答案为：36． 【点睛】本题考查正多边形，解题的关键是理解正六边形的定义，属于中考基础题． 11．60° 【分析】利用正六边形的每个内角等于120度，A′H⊥AH，A′G⊥AG，可得∠GA′H＝360°−120°−90°−90°． 【详解】解：因为正六边形的每个内角等于120度，A′H⊥AH，A′G⊥AG， 所以∠A＝120°，∠AHA′＝∠AGA′＝90°， 所以∠GA′H＝360°−120°−90°−90°＝60° 【点睛】此题主要考查了多边形内角和定理，本题需仔细分析题意，利用多边形的内角和解决问题． 12．2： 【分析】可设正六边形的半径为R，欲求半径、边心距之比，我们画出图形，通过构造直角三角形，解直角三角形即可得出． 【详解】 解：如图所示，设正六边形的半径为R， ∴∠AOB＝60°， ∵OA＝OB，OG AB， ∴∠GOB＝30° 则OG＝R， ∴半径、边心距之比为R：R＝2： 故答案为：2： 【点睛】正多边形的计算一般是通过中心作边的垂线，连接半径，把正多边形中的半径、边长、边心距、中心角之间的计算转化为解直角三角形． 13．2 【详解】试题分析：由于正六边形可以由其半径分为六个全等的正三角形，而三角形的边长就是正六边形的半径，由此即可求解． 解：∵正六边形可以由其半径分为六个全等的正三角形， 而三角形的边长就是正六边形的半径， 又∵正六边形的周长为12， ∴正六边形边长为2， ∴正六边形的半径等于2； 故答案为2． 考点：正多边形和圆． 14．（1）见解析；（2）135° 【分析】（1）根据正方形的性质得到AD＝BC，求得，由M为的中点，得到，于是得到结论； （2）连接OM，OA，OB，求得∠AOB＝90°，求得∠AOM＝∠BOM＝（360°﹣90°）＝135°，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝BC， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∴， ∴; （2）解：连接OM，OA，OB， ∵正方形ABCD内接于⊙O， ∴∠AOB＝90°，, ∴∠AOM＝∠BOM＝（360°﹣90°）＝135°， ∴的度数时135°． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 15．（1）见解析；（2）见解析. 【分析】（1）在图①中，画出一个以BC为边的矩形即可； （2）在图②中，多边形ABCDEF是正六边形，在AF上画出点M，使得即可． 【详解】解：（1）图①中，即为以为边的矩形    （2）在图②中，点即为所求，使得 【点睛】 本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是综合运用矩形的判定与性质、正多边形和圆的性质准确画图． 16．（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补证得∠B＝∠C，从而利用等角对等边证得AB＝AC； （2）连接AE，将证明弧相等转化为弧相对的圆周角相等来实现． 【详解】（1）∵四边形ABED是圆内接四边形， ∴∠B+∠ADE=180° 又∵∠EDC+∠ADE=180° ∴∠EDC=∠B 又∵∠EDC=∠C ∴∠B=∠C ∴AB=AC （2）连接AE    ∵AB是圆的直径 ∴∠AEB=90° 又∵AB=AC ∴AE平分∠BAC ∴∠BAE=∠EAD ∴ 【点睛】本题考查圆内接四边形及圆的有关性质，解题的关键是知道圆内接四边形及圆的有关性质． 17．（1）60°；（2）∠APN的度数为108°；（3）∠APN的度数为(n-2）*180/n° 【详解】试题分析： 试题解析：(1）∠APN = 60°. 因为∠APN=∠ABP+∠BAP 有因为点M、N以相同的速度中⊙O上逆时针运动． 所以弧AN=弧CM ∠ABN=∠MAC 所以∠APN=∠BAP+∠MAC 即∠APN=∠BAC=60° (2）按(1）的思路可得：图2中，∠APN的度数为90°；图3中，∠APN的度数为108°． (3）则∠APN的度数=所在多边形的内角度数=(n-2）*180/n° 考点: 1.正多边形和圆；2.三角形的外接圆与外心 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$