3.1.2椭圆的简单几何性质学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1.2椭圆的简单几何性质学案 [目标要求] 1．掌握椭圆的范围性、对称性、顶点、离心率等几何性质 2．理解椭圆标准方程中a、b、c及离心率e的几何意义 3.能根据几何条件求出椭圆方程，利用椭圆的方程研究它的性质并画出图形 [知识串讲] 1．椭圆的定义（复习） 平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆．两定点F1，F2叫作椭圆的焦点.集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数．(1)当2a＞|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是线段； (3)当2a＜|F1F2|时，P点不存在． 2．椭圆的标准方程和几何性质（新课） 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 性 质 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0) 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 轴 长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝，e∈(0,1) a，b，c 的关系 c2＝a2－b2 [题型一]椭圆研究几何性质 例1：求下列椭圆的长轴和短轴长、离心率、焦点和顶点的坐标． （1） （2） 练习：（1）（多选）已知椭圆C:＋＝1,则下列结论正确的是（ ） A、 短轴长为10 B、离心率为 C、焦距为6 D、焦点坐标为（0，4） （2） 若椭圆的离心率，则的值是 （3） ．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，求椭圆的离心率。 [题型二]有几何性质椭圆标准方程 例2：求适合下列条件的椭圆的标准方程． （1） 长轴的长为8，离心率为，焦点在y轴上； （2）过点（2，0），且长轴长是短轴长的4倍． (3)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为______________． 练习（1），,焦点在x轴上． （2）长半轴长为20, （2） 焦点在y轴上,右焦点到短轴端点距离为4,到右顶点距离为2 [题型三]椭圆几何性质综合 例3.如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B. (1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率； (2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的标准方程． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$