3.1.4直线与椭圆位置关系导学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

直线与椭圆的位置关系 一 知识梳理 1. 椭圆与直线的位置关系有________、__________、_______. 设直线：（），椭圆方程为：（），联立方程组： 联立消去得到关于的_______________方程： （1）________________ （2）________________ （3）________________ 注：（1）对已知过定点的直线，写直线方程时要注意__________是否存在。若斜率不存在，方程为____________斜率存在，方程设为_______________. (2)若斜率为，方程设为_______________. (3)若过轴上一点且_________可设方程为； 2 .直线与椭圆相交弦长公式： 或（记忆，联消化韦） 3 中点弦问题一般使用点差法。具体步骤如下： 第一步：设两个交点的坐标为， 第二步：将A,B的坐标分别代入椭圆的方程 第三步：将两式作差 第四步：化简得直线AB的斜率 第五步：利用直线的点斜式方程写出中点弦所在直线的方程 具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点， 则 由①－②，得(x－x)＋(y－y)＝0，变形得＝－·＝－·，即kAB＝－.　 结论 在椭圆（），弦AB的中点为P，直线AB斜率为，直线OP斜率为，则=________. 二 例题讲解 题型一：直线与椭圆的位置关系的判断 例1 学习指导78例1 练习 当满足什么条件时，直线：与椭圆分别相离、相切、相交。 例2 在平面直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为． （Ⅰ）写出C的方程；（Ⅱ）设直线与C交于A，B两点．k为何值时？ 练习 1.直线：与椭圆的位置关系为_________________ 2.若直线mx＋ny＝4与圆O：x2＋y2＝4无交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为_________________ 题型二 椭圆上的点到直线距离的最大最小值 例1 .设为椭圆上的任一点，求点到直线距离的最大值以及最小值。 练习 求椭圆上的动点到直线的距离的最大值与最小值 题型三 弦长问题 例1 已知直线：，椭圆 （1）判断与椭圆位置关系 （2）求弦长 练习：已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点F，与椭圆相交于A,B两点，则弦AB的长为 。 例2 学习指导79页左边对点练清 练习 过椭圆的左焦点作直线l与椭圆交于A,B两点，若，求直线l的方程 例3学习指导78页例2 练习 斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A,B两点,求|AB|的最大值 题型四 中点弦的问题 例1 学习指导79页典例3 练习1 ：已知椭圆+=1的弦的中点为P(4,2)，求直线l的方程. 椭圆+=1内一点()为中点的弦所在直线的斜率为_______________,方程为___________________ 练习2 已知椭圆 ,设直线 y =2x+b与椭圆交于A,B两点,求线段AB的中点M的轨迹方程 题型五 面积问题 例1 已知椭圆的左右焦点分别为，，若过点及的直线交椭圆于， 两点，求的面积． 练习 过椭圆的右焦点做一条斜率为2的直线，交椭圆于A、B两点，求(为左焦点)的面积 例 2 已知椭圆的离心率为，且经过点 （1）求椭圆的标准方程； （2）过点P（0,2）的直线交椭圆于A，B两点，求面积的最大值。 题型六 ：定点、定值问题 例1、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的最大值为3，最小值为1。 （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆相交于A,B两点，（A,B不是左，右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：求直线过定点，并求出该定点的坐标。 例2、已知椭圆的右焦点为F（1，0），且点在椭圆上 （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点，动直线过点F，且直线与椭圆交于A,B两点，证明：为定值。 学科网（北京）股份有限公司 $$