7.5正态分布（2）课件 -2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.5正态分布（2） 复习引入 4.正态曲线的特点： (1)非负性：对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的 . (2)定值性：曲线与x轴之间的面积为 . (3)对称性：曲线是单峰的，它关于直线 对称. (4)最大值：曲线在 处达到峰值 . (5)当|x|无限增大时，曲线无限接近 轴. (6)当 一定时，曲线的位置由μ确定，曲 线随着 的变化而沿x轴平移，如图①. 上方 1 x＝μ x＝μ x σ μ (7)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. (1) 正态曲线与x轴所夹面积恒等于 ; S(-,-x) S(x,+) 探究一：正态曲线下的面积规律 (2)对称区域面积 . x -x x= S(-,-x)＝S(x,+) S(-x1, -x2) -x1 -x2 x2 x1 S(x2,x1) x= (2)对称区域面积 . S(-x1,-x2)=S(x2,x1) 正态曲线下对称区域的面积相等 对应的概率也相等 利用“对称法”求正态分布下随机变量在某个区间的概率 6 若X～N(1, σ2)，且P(X<0)=a，则 (1) P(X>1)=_________； (2) P(X>0)=_________； (3) P(0<X<1)=_______； (4) P(X<2)=_________； (5) P(0<X<2)=_______. 0 1 2 -1 -2 x y -3 3 4 μ=1 0.5 1-a 0.5-a 1-a 1-2a 练习 假设X~N(μ, σ2)，可以证明: 对给定的k∈N*，P(μ-kσ≤X≤μ+kσ)是一个只与k有关的 定值. 特别地， 上述结果可用右图表示. 由此看到，尽管正态变量的取值范围是(-∞, +∞)，但在 一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ-3σ, μ+3σ] 内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常 认为这种情况几乎不可能发生. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ, σ2)的随 机变量X只取[μ-3σ, μ+3σ]中的值，这在统计学中称为 3σ原则. 探究二：特殊区间的概率 课本87页 1. 设随机变量X~N(0, 1)，则X的密度函数为 _____________________，P(X≤0)=_____ ， P( |X|≤1)=_______， P(X≤1)=________， P(X>1)=________ (精确到0.0001.) 0.5 0.6827 0.84135 0.15865 O 1 -1 x y μ=0 练习 O 1 -1 x y μ=0 例题 例1：(2) 据统计，某脐橙的果实横径(单位：mm)服从正态分布N(80，52)，则果实横径在[75，90]内的概率为 (　　) 附:若X～N(μ,σ2), 则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827, P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545. A. 0.6827 B. 0.8413 C. 0.8186 D. 0.9545 (1)利用正态密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉 及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，曲线与 x轴之间的区域的面积为1. (2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或 范围与μ, σ进行对比联系，确定它们属于[μ－σ, μ＋σ]， [μ－2σ, μ＋2σ]，[μ－3σ, μ＋3σ]中的哪一个.　 正态分布下两类常见的概率计算 反思归纳 练习 解：正态变量几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，所以可通过判断取出的产品的外直径是否落在这一区间内来分析生产状况是否正常. ∵X～N(10，0.22)，∴μ＝10，σ＝0.2， ∴μ＋3σ＝10.6，μ－3σ＝9.4， ∵9.52∈[9.4, 10.6]，9.98∈[9.4，10.6]， ∴该厂这一天的生产状况是正常的. 例题 说明：解题时, 应当注意零件尺寸应落在[μ－3σ, μ＋3σ]之内, 否则可以认为该批产品不合格. 判断的根据是概率较小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的, 而一旦发生了, 就可以认为这批产生不合格.　 反思归纳 据调查统计，某校男生的身高X(单位：cm)服从正态分布N(174，9).若该校有男生3 000人，则估计该校男生身高在[174，180]范围内的人数为______. 解：因为身高X～N(174，9)，所以μ＝174，σ＝3. 所以μ－2σ＝174－2×3＝168，μ＋2σ＝174＋2×3＝180， 所以身高在[168，180]范围内的概率约为0.954 5. 因为μ＝174， 所以身高在[168，174]和[174，180]范围内的概率相等， 均约为0.477 25. 故该校男生身高在[174，180]范围内的人数约为 3 000×0.477 25≈1 432. 练习 1. 已知随机变量X～N(2, σ2), 若P(X≤1－a)＋P(X≤1＋2a)＝1, 则实数a＝( 　 ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 解：∵P(X≤1－a)＋P(X≤1＋2a)＝1， ∴P(X≤1＋2a)＝1－P(X≤1－a)＝P(X>1－a). ∵X～N(2，σ2)，∴1＋2a＋1－a＝2×2， ∴a＝2. 随堂检测 3.某厂生产的零件外径X～N(10,0.04)，今从该厂上午、下午生产的零件中各取一件，测得其外径分别为9.9 cm,9.3 cm，则可认为（ ） A.上午生产情况正常，下午生产情况异常 B.上午生产情况异常，下午生产情况正常 C.上午、下午生产情况均正常 D.上午、下午生产情况均异常 解析：因测量值X为随机变量，又X～N(10,0.04)， 所以μ＝10，σ＝0.2， 记I＝[μ－3σ，μ＋3σ]＝[9.4,10.6]， 则9.9∈I,9.3∉I.故选A. 1.特殊区间的概率： 课堂小结 课外作业 课本87页 2．正态分布 (1)若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．当μ＝ ，σ＝ 时，称随机变量X服从标准正态分布； (2)若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝ ，D(X)＝ . 1．正态曲线 若f(x)＝ ，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线． 解析：∵随机变量 ∴ ∴ . ∵正态曲线的对称轴是直线x＝0， ∴P(X≤0)＝0.5. ∴P( |X|≤1)＝P(－1≤X≤1)＝P(0－1≤X≤0+1)＝0.6827. ∵P(X＜4)＝0.8， ∴P(X≥4)＝P(X≤0)＝0.2， ∴P(0<X<4)＝1－P(X≤0)－P(X≥4)＝0.6. ∴P(0<X<2)＝eq \f(1,2)P(0<X<4)＝0.3. 例1：（1）已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且 P(X＜4)＝0.8，则P(0＜X＜2)等于(　　) A．0.6　　　B．0.4 C．0.3 D．0.2 解析：∵随机变量X服从正态分布N(2，σ2)， ∴μ＝2，∴正态曲线的对称轴是直线x＝2. P(80－10≤X≤80＋10)≈0.954 5，即P(70≤X≤90)≈0.954 5. ∴P(85≤X≤90)≈eq \f(0.954 5－0.682 7,2)＝0.135 9， ∴果实横径在[75，90]内的概率为0.682 7＋0.135 9＝0.818 6. 解：由题得μ＝80，σ＝5，则P(80－5≤X≤80＋5)≈0.682 7，即P(75≤X≤85)≈0.682 7； 答案：0.2 1.随机变量X服从正态分布N(1,22)，P(X≥2)＝0.3，则 P(0＜X＜1)＝________. 解析：由题意，随机变量X服从正态分布N(1,22)， ∴正态曲线的对称轴是直线x＝1. 又∵P(X≥2)＝0.3，∴P(X≤0)＝0.3， ∴P(0＜X＜1)＝eq \f(1,2)P(0＜X＜2)＝eq \f(1,2)×[1－(0.3＋0.3)]＝0.2. 解：∵X服从正态分布Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,4)))，∴μ＝－2，σ＝eq \f(1,2)， ∴P(－3.5≤X≤－0.5)＝P(－2－3×0.5≤X≤－2＋3×0.5)≈0.997 3， ∴P(X<－3.5)＋P(X>－0.5)＝1－P(－3.5≤X≤－0.5)≈1－0.997 3＝0.002 7. 故选D. 2. 设X服从正态分布Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,4)))，则X落在(－∞，－3.5)∪(－0.5，＋∞)内的概率是(　　) A. 0.9545 B. 0.9973 C. 0.0455 D. 0.0027 例2：某厂生产的“T”形零件的外直径(单位：cm)X～N(10，0.22)，某天从该厂生产的“T”形零件中随机取出两个，测得它们的外直径分别为9.52 cm和9.98 cm，试分析该厂这一天的生产状况是否正常. 2. (2015·山东高考)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(　　) (附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%。) A．4.56%　　B．13.59% C．27.18% D．31.74% 解析：由正态分布的概率公式知P(－3<ξ<3)＝0.682 6， P(-6<ξ<6)＝0.954 4， 故P(3<ξ<6)＝eq \f(P－6<ξ<6－P－3<ξ<3,2) ＝eq \f(0.954 4－0.682 6,2)＝0.135 9＝13.59%. 答案：B 答案：10 4．某班有50名学生，一次考试的数学成绩ξ服从正态分布 N(100，σ2)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学 成绩在110分以上的人数为________． 解析：由题意知，P(ξ＞110)＝eq \f(1－2P90≤ξ≤100,2)＝0.2，故估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50＝10. ∴P(80<ξ≤120)＝P(100－20<ξ≤100＋20)＝0.954 4， 即考试成绩位于区间(80,120]内的概率为0.954 4. (2)P(90<ξ≤110)＝P(100－10<ξ≤100＋10)＝0.682 6， ∴P(ξ>110)＝eq \f(1,2)×(1－0.682 6)＝0.158 7， ∴P(ξ≥90)＝0.682 6＋0.158 7＝0.841 3. ∴及格人数为2 000×0.841 3≈1 683. 5.在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N(100,100)，已知满分为150分. (1)试求考试成绩ξ位于区间(80,120]内的概率； (2)若这次考试共有2 000名考生参加，试估计这次考试及格(不小于90分)的人数. 解：(1)由ξ～N(100,100)，知μ＝100，σ＝10. 2.对于有关正态分布的计算问题，要记住正态总体取值在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率值，将所给问题转化到上述区间内解决，同时要注意对称性的运用和数形结合思想的应用． 《选择性必修第三册》 “复习巩固”2，3；“综合运用”4； “拓广探索”12. 3.若 ，则X位于区域 内的概率是多少？ 解：由于正态分布密度曲线关于 对称，因此 $$