7.1.2全概率公式课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.1.2 全概率公式 事件A 事件B 复习引入 2.条件概率与事件独立性的关系：若事件A与B相互 独立,且P(A)>0,则P(B|A)=　　　.   P(B) 3. 概率的乘法公式(P(A)>0)： 4. 概率的性质(P(A)>0)： (1)P(Ω|A)=1; (2)如果B和C是两个互斥事件, 则 P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)（概率的加法公式）; (3)设 和B是两个对立事件, 则P( |A)=1-P(B|A). 探究：全概率公式 思考：从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为 ，那么第2次摸到红球的概率是多大? 如何计算这个概率呢? 下面我们给出严格的推导. 分析：因为抽签具有公平 性，所以第2次摸到红球 的概率也应该是 . 但是这个结果并不显 然，因为第2次摸球的 结果受第1次摸球结果 的影响. 3 3 2 事件R2可按第1次可能的摸球结果（红球或蓝球）表示 为两个互斥事件的并，即R2=R1R2UB1R2. 用 Ri表示事件“第i次摸到红球”，Bi表示事件“第i次摸 到蓝球”，i=1,2. P(R2|R1) P(B2|R1) P(R2|B1) P(B2|B1) 利用概率的加法 公式和乘法公式， 得 上述过程采用的方法是: 按照某种标准, 将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并, 再由概率的加法公式和乘法公式，求得这个复杂事件的概率. R2 7 思考：按照某种标准,将一个复杂事件B表示为n个(A1,A2,....An)互斥事件的并, 根据概率的加法公式和乘法公式，如何求这个复杂事件B的概率？ A1 A2 A3 An A 4 … B 加法公式 乘法公式 归纳总结 全概率公式 一般地，设A1, A2, …, An是一组两两互斥的事件， A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1, 2, …, n， 则对任意的事件 　 ，有 我们称上面的公式为全概率公式． 全概率公式使用条件: ①A1, A2, …, An是一组两两互斥 的事件； ②A1∪A2∪…∪An=Ω；　 A1 A2 A3 An A 4 … B ③P(Ai)>0, 且 . 对全概率公式的理解 某一事件B的发生可能有各种的原因，如果B是由原因Ai(i=1,2,…,n)(Ai 两两互斥，构成一个完备事件)所引起，则B发生的概率是P(AiB)=P(Ai)P(B|Ai). 每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因Ai引起，AiB(i=1,2,…,n)发生概率的总和，即全概率公式. 由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因求结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关. 例1：某学校有 A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐. 如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8. 计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率. 分析：第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解. 例题 课本50页 设A1＝“第1天去A餐厅用餐”, B1＝“第1天去B餐厅用餐”, A2＝“第2天去A餐厅”, 则 解： 设事件 写概率 代公式 利用全概率公式求概率的步骤： 1.设事件：把事件B(结果事件)看作某一过程的结果, 把A1, A2, …, An 看作导致结果的若干个原因（注意：A1, A2, …, An两两互斥，且A1∪A2∪…∪An＝Ω）； 2.写概率：由已知，写出每一原因发生的概率(即P(Ai )),且每一原因对结果的影响程度(即P(B|Ai ))； 3.代公式：用全概率公式计算结果发生的概率(即P(B) ). 由因求果 反思归纳 课本52页 现有12道四选一 的单选题，学生张君对其中9道题有思路，3道题完全没有思路. 有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的 概率为0.25. 张君从这12道题中随机选择1题，求他做 对该题的概率. 练习 解: 例2：有 3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%. (1) 任取一个零件，计算它是次品的概率； (2) 如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1，2，3)台车床加工的概率. 例题 分析:取到的零件可能来自第1台 车床,也可能来自第2台或第3台车 床,有3种可能.设B=“任取一零件 为次品”,Ai=“零件为第i台车床 加工”(i=1,2,3),如图所示,可将事 件B表示为3个两两互斥事件的并, 利用全概率公式可以计算出事件B的概率. A1 A2 A3 A3B A1B A2B 课本50页 解：设B＝“任取一个零件为次品”, Ai＝“零件为第i台车床加 工” (i＝1, 2, 3), 则 例2：有 3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%. (1) 任取一个零件，计算它是次品的概率； 设事件 写概率 代公式 课本50页 例2：有 3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%. (2) 如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1，2，3)台车床加工的概率. 解：如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1, 2, 3)台车床 加工的概率，就是计算在B发生的条件下，事件Ai发生的概 率. 课本50页 解：如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1, 2, 3)台车床 加工的概率，就是计算在B发生的条件下，事件Ai发生的概 率. 思考：例2中P(Ai), P(Ai|B)的实际意义是什么？ P(Ai)是试验之前就已知的概率，它是第i台车床加工的零件所占的比例，称为先验概率. 当已知抽到的零件是次品(B发生)，P(Ai|B)是这件次品来自第i台车床加工的可能性大小，通常称为后验概率. 如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，那么 就分别是第1, 2, 3台车床操作员应承担的份额. 已知结果求原因 已知原因求结果 将例2中的问题(2) 一般化，可以得到贝叶斯公式（选学 内容，不作考试要求）. *贝叶斯公式： 设A1, A2, …, An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An =Ω，且P(Ai )>0，i=1, 2, …, n，则对任意的事件 　， P(B)>0，有 对分子用乘法公式 对分母用全概率公式 注：贝叶斯公式是由英国数学家贝叶斯(T.Bayer,1702-1762)发现的，它用来描述两个条件概率之间的关系. （1）我们把事件B看作某一过程的结果， （2）根据历史资料，每一原因发生的概率已知， （3）而且每一原因对结果的影响程度已知， （3）如果已知事件B已经发生，要求此时是由第 i 个原因 引起的概率，则用Bayes公式. *贝叶斯公式的使用： 执果寻因 课本52页 两批同种规格的产品，第一批占 40%，次品率为5%；第二批占60%，次品率为4%. 将两批产品混合，从混合产品中任取1件. (1) 求这件产品是合格品的概率； *(2) 已知取到的是合格品，求它取自第一批产品的概率. 解：设B＝“取到合格品”, Ai＝“取到的产品来自第i批”(i＝1, 2), 则 课本52页 练习 例3：在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列. 由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0. 已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05. 假设发送信号0和1是等可能的. (1) 分别求接收的信号为0和1的概率； (2) 已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率. 例题 分析:设A=“发送的信号为0”,B=“接收到的信号为0”.为便于求解,我们可将题目中所包含的各种信息用图直观表示. 发送0(A) 接收0(B) 课本51页 解： 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率. 解：设B＝“中途停车修理”，A1＝“经过的是货车”， A2＝“经过的是客车”，则B＝A1B∪A2B， 由贝叶斯公式，得 练习 1.一袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中先后随意各取一球(不放回)，则第二次取到的是黑球的概率为（ ） 随堂检测 27 27 28 28 29 29 30 30 31 解：设A＝“迟到”；B1＝“乘飞机”；B2＝“乘动车”；B3＝“乘非机动车”.则 所求概率为P(A)，由全概率公式得： 31 (2)现在已经知道他迟到了，求他乘坐的是飞机的概率. 解：所求概率为P(B1|A)，由贝叶斯公式得： 课堂小结 由因求果 执果寻因 1.设事件 2.写概率 3.代公式 全概率公式　 条件概率P(B|A)＝ →乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A) *贝叶斯公式 课外作业 条件概率 一般地，设A，B为两个事件，且P(A)＞0，我们称P(B|A)＝_________为在______发生的条件下， 发生的条件概率，简称条件概率. 由题意P(A1)＝eq \f(2,5)，P(A2)＝eq \f(3,5)，P(B|A1)＝0.85，P(B|A2)＝0.88， 由全概率公式P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2) ＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868. 2．设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一、二车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为________． 解：设B＝{从仓库中随机提出的一台是合格品}， Ai＝{提出的一台是第i车间生产的}，i＝1,2.则 P(A1)＝0.3，P(A2)＝0.5，P(A3)＝0.2， P(B|A1)＝0.02，P(B|A2)＝0.01，P(B|A3)＝0.01. 由全概率公式得 P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3) ＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013. 3．有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 30%, 二厂生产的占 50% , 三厂生产的占 20%, 又知这三个厂的产品次品率分别为2% , 1%, 1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？ 解：设事件 B 为“任取一件为次品”，事件Ai为“任取一件为i厂的产品”，i＝1,2,3，则 P(A|B1)＝0.2，P(A|B2)＝0.6，P(A|B3)＝1． P(B1)＝0.4×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.7＝0.36， P(B2)＝0.4×0.5×0.3＋0.4×0.5×0.7＋0.6×0.5×0.7＝0.41， P(B3)＝0.4×0.5×0.7＝0.14. 4. 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4, 0.5, 0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率． 解：设A＝{飞机被击落}，Bi＝{飞机被i人击中}，i＝1,2,3，则 由全概率公式得 P(A)＝P(B1)P(A |B1)＋ P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3) ＝0.36×0.2＋0.41 ×0.6＋0.14 ×1＝0.458. 即飞机被击落的概率为0.458. P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3) ＝eq \f(1,5)×eq \f(1,3)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,4)＋eq \f(3,10)×eq \f(1,12)＝eq \f(13,60). 5.一位教授去参加学术会议，他乘坐飞机、动车和非机动 车的概率分别为0.2，0.5，0.3，现在知道他乘坐飞机、动 车和非机动车迟到的概率分别为eq \f(1,3)，eq \f(1,4)，eq \f(1,12). (1)求这位教授迟到的概率； P(B1|A)＝eq \f(P（AB1）,P（A）)＝eq \f(P（B1）P（A|B1）,P（A）)＝eq \f(\f(1,5)×\f(1,3),\f(13,60))＝eq \f(4,13). 《选择性必修第三册》 “复习巩固”4，5； “复习巩固”3； “综合运用”7. $$