6.3.1二项式定理(2)课件 -2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.3.2 二项式定理 (2) 1.二项式定理： . 二项式定理中，令a=1,b=x得 . 2.几个基本概念： (1)二项展开式：指的是 . (2)项数：二项展开式中共有____项. 复习引入 (3)二项式系数：指的是在二项展开式中各项的系 数___(k∈{0，1，2，…，n}). (4)通项：指的是二项展开式中的________，用Tk+1表 示，即通项为展开式的第k+1项，Tk+1=________. 例1：求 的展开式中常数项； 例题 解： 的展开式的通项是 分析：展开式中的常数项即 项. 求二项展开式特定项的步骤： 反思归纳 （1）写出通项公式并化简； （2）令x的次数取特定的值，建立方程求出k的值(注 意k∈{0，1，…，n})； （3）将k的值代回通项公式即得特定的项. 注:常数项的字母指数为0(即0次项). 1.求 展开式中的常数项. 解： ∴ 的展开式中的常数项为 练习 例2：求 展开式中所有的有理项. 例题 解： 展开式的通项公式是 分析：有理项是指所有的字母的指数恰好都是整数的项，即整数次幂项. 要使 为有理项，需要满足 令 ，则 所以，第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为 即 反思归纳 1.求 展开式中所有有理项的系数之和. 练习 解：因为Tr+1= 若该项为有理项,则 是整数, 又因为0≤r≤8,所以r=0或r=3或r=6, 所以所有有理项的系数之和为 例3：求 的展开式中x的系数. 解:法一 只有 中含有x的项，是展开式的第5项 因此，x项的系数是240. 例题 解:法二 只有 中含有x的项，是第2项 因此，x项的系数是240. 例3：求 的展开式中x的系数. 因此，x项的系数是 解:法三 的展开式的通项为 ， ， 的展开的通项为 ， . 的展开式的一般项为 例3：求 的展开式中x的系数. 1.形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题 (1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开，如(a＋ b)2·(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解. (2)观察(a＋b)n(c＋d)m是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7 ＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2. (3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑 ——“双通法”. 反思归纳 2.形如(a＋b＋c)n的展开式问题 三项或三项以上的式子的展开问题，应根据式子的特 点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为配方、 因式分解、项与项结合，项与项结合时，要注意合理 性和简捷性. 1.(1＋2x)3(1－x)4的展开式中，含x项的系数为（ ） A.10 B.－10 C.2 D.－2 解析：(1＋2x)3(1－x)4的展开式中含x项的系数是由两个因式相乘而得到的，为 即第一个因式的常数项和一次项分别乘第二个因式的一次项与常数项， 练习 2.已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中，含x2的项的系数为5，则a等于（ ） A.－4 B.－3 C.－2 D.－1 所以a＝－1，故选D. 1.(2017·全国卷Ⅰ) (1+x)6展开式中x2的系数为(　　) A.15 B.20 C.30 D.35 解析： (1+x)6展开式中含x2的项为 1· x2+ · x4=30x2，故x2的系数为30. 答案：C 随堂检测 A.25 B.－25 C.5 D.－5 令6－2k＝－2，或6－2k＝0，分别解得k＝4或k＝3. 3.(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为________. 解析：法一　(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5， 4.已知 的展开式中第5项的系数与第3项的 系数之比是14：3，求展开式中的常数项. 解： 故展开式中常数项是 (1)求n的值； 化简得90＋(n－9)(n－8)＝20(n－8)，即 n2－37n＋322＝0， 解得n＝14或n＝23. 因为n<15，所以n＝14. (2)写出它展开式中的所有有理项. 展开式中的有理项当且仅当k是6的倍数，又0≤k≤14， 所以展开式中的有理项共3项，分别是： 课堂小结 课外作业 2.已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2a,x)))8的二项展开式中常数项为1 120，则实数a的值是(　　) A．－1　　　B．1 C．±1 D．不确定 解析：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2a,x)))8的展开式的二项式通项为 Tr＋1＝Ceq \o\al(r,8)·x8－r·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2a,x)))r＝(－2a)rCeq \o\al(r,8)x8－2r，令8－2r＝0，解得r＝4， 所以T5＝Ceq \o\al(4,8)(－2a)4＝1 120，解得a＝±1. 1.求二项展开式的有理项，一般是先写出通项公式，注意必须合并通项公式中同一字母的指数，然后根据具体要求，令字母的指数属于整数，再根据数的整除性来求解； 2.对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致． 2．在(eq \r(x)＋eq \r(3,x))12的展开式中，含x的正整数次幂的项共有(　　) A．4项 B．3项 C．2项 D．1项 解析：(eq \r(x)＋eq \r(3,x))12的展开式的通项为 Tr＋1＝Ceq \o\al(r,12)(eq \r(x))12－r(eq \r(3,x))r＝ ， 6－eq \f(r,6)(0≤r≤12)为正整数，有3项，即r＝0，r＝6，r＝12时． 答案： B 含y2的项为T3＝Ceq \o\al(2,5)(x2＋x)3·y2， 其中(x2＋x)3中含x5的项为Ceq \o\al(1,3)x4·x＝Ceq \o\al(1,3)x5. 所以x5y2的系数为Ceq \o\al(2,5)Ceq \o\al(1,3)＝30. 法二　(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个 取y，两个取x2，一个取x即可得含x5y2的项，所以 x5y2的系数为Ceq \o\al(2,5)Ceq \o\al(2,3)Ceq \o\al(1,1)＝30. 5.已知(eq \r(x)＋eq \r(3,x))n(其中n<15)的展开式中第9项、第10项、 第11项的二项式系数成等差数列. 解：(eq \r(x)＋eq \r(3,x))n(其中n<15)的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数分别是Ceq \o\al(8,n)，Ceq \o\al(9,n)，Ceq \o\al(10,n).依题意得Ceq \o\al(8,n)＋Ceq \o\al(10,n)＝2Ceq \o\al(9,n)， 即eq \f(n！,8！（n－8）！)＋eq \f(n！,10！（n－10）！)＝2·eq \f(n！,9！（n－9）！)， 解：展开式的通项Tk＋1＝Ceq \o\al(k,14)xeq \f(14－k,2)·xeq \f(k,3)＝Ceq \o\al(k,14)·xeq \f(42－k,6)， k＝0，T1＝Ceq \o\al(0,14)x7＝x7； k＝6，T7＝Ceq \o\al(6,14)x6＝3 003x6； k＝12，T13＝Ceq \o\al(12,14)x5＝91x5. 1.求二项展开式的特定项的常见题型： (1)求第k项，Tk＝Ceq \o\al(k－1,n)an－k＋1bk－1； (2)求含xk的项(或xpyq的项)； (3)求常数项；（4）求无理项. 注意：求解特定项时必须合并通项公式中同一 字母的指数，根据具体要求，令其为特定值． 2.二项式定理的应用 整除或余数问题的处理方法. 《选择性必修第三册》 “复习巩固”6； “综合运用”8，9； “综合运用”5，“拓广探索”9. $$