6.3.1二项式定理课件(1)-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.3.1 二项式定理 (1) 复习引入 3. 组合数性质： 探究：我们知道， (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2， (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3. (1) 观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律? (2) 根据你发现的规律，你能写出(a＋b)4的展开式吗? (3) 进一步地，你能写出(a＋b)n的展开式吗? 探究：二项式定理 (a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a(a＋b)＋b(a＋b) ＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b ＝a2＋2ab＋b2 从上述过程可以看到，(a＋b)2是2个(a＋b)相乘，只要从一个(a＋b)中选一项（选a或b），再从另一个(a＋b)中选一项（选a或b），就得展开式的一项. 于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前， (a＋b)2的展开式共有 2×2＝22项，而且每一项都是a2－k×bk (k＝0,1,2)的形式. 项的形式： 2个(a+b)都不选b得到的，因此a2出现的次数相当于从2个(a+b)中取0个b（即都取a）的组合数 ，即a2只有1个； 由1个 (a+b) 中选a，另1个 (a+b) 中选b得到的. 由于b选定后，a的选法也随之确定，因此，ab出现的次数相当于从2个 (a+b) 中取1个b的组合数 ，即ab共有2个. 由2个 (a+b) 中都选b得到的. 因此，b2出现的次数相当于从2个 (a+b) 中取2个b的组合数 ，即b2只有1个. 思考1：同样地，如何利用分步乘法计数原理解释 (a＋b)3 的展开式？ 展开式共有： a3 a2b a2b a2b b3 ab2 ab2 ab2 项的形式： 四项 三项 项 思考2：由 的规律，你能用组合数表示出 的展开式吗？ + + + + ……… 项 第1项 第2项 第3项 … 第k+1项 第n+1项 你能用组合知识证明这个猜想吗？ … + + + + + + 8 证明： 证明： 二项式定理 归纳总结 二项式定理： —此公式叫做 通项公式. 上述公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的 二项展开式，它一共有 n＋1 项，其中各项的系数 叫做二项式系数. 二项展开式中的 叫做二项展开式的通项，用 来表示，即通 项为展开式第k＋1项，即 在二项式定理中，若设a=1, b=x，则得到公式 (1)各项的次数均为n； (2)各项里a的指数由n降到0，b的指数由0升到n. 例1：求 的展开式 . 解：根据二项式定理，可得 例题 课本P30 解： 课本31页 练习 例2： 解： 例题 课本P30 二项展开式中的某一项的“二项式系数”与“系数”是两个不同的概念， “二项式系数”：只指 “系数”：是指该项除字母以外的部分，通常指变量（如：x) 的系数. 反思归纳 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 解： 由通项公式，可得 课本P31 练习 解： 由通项公式，可得 课本P31 例3： 例题 解: 的展开式的通项为 根据题意，得 因此， x2的系数是 课本P30 解： 由通项公式，可得 练习 课本P31 解：当第一个因式选择“ －1” 时，其 它各因式选择“x”；当第二个因式选择“－2”时，其它各因式选择“ x”；……；当 第五个因式选择“ －5” 时，其它各因式 选择“x”．因此展开式中含 x4的系数为 课本P31 1.在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是（ ） A.－5 B.5 C.－10 D.10 随堂检测 解析： (2) 展开式中的倒数第4项为_________ . 2. （1） 的展开式中含有x3的系数是_________. 解析： 2.(2) 展开式中的倒数第4项为_________ . 令7－2k＝－3，得k＝5. 解得a＝1. 4.化简： 解： 4.化简： 解: (2)二项展开式的通项： 1.二项式定理： (1)二项式系数： 课堂小结 2．要熟记 是第r＋1项，而不是第r项． 3．要注意区分某项的系数与二项式系数． 课外作业 1. 排列数公式： （ ）. 2.组合数公式: （ ）. 注： . 项是从 个因式中取1个b，有 种； 项是从 个因式中取2个b，有 种； …… 项是从 个因式中取 个b，有 种； …… 项是从 个因式中都取b，有 种． 项是从 个因式中都不取b，有 种； 5.已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(2,x)))n展开式中第三项的系数比第二项的系数大162，求： (1)n的值； (2)展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数. 解：(1)因为T3＝Ceq \o\al(2,n)(eq \r(x))n－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x)))2＝4Ceq \o\al(2,n)xf(n－6,2)eq \s\up14() ， T2＝Ceq \o\al(1,n)(eq \r(x))n－1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x)))＝－2Ceq \o\al(1,n)xf(n－3,2)eq \s\up14() ， 依题意得4Ceq \o\al(2,n)＋2Ceq \o\al(1,n)＝162，所以2Ceq \o\al(2,n)＋Ceq \o\al(1,n)＝81， 所以n2＝81，n＝9. (2)设第k＋1项含x3，则Tk＋1＝Ceq \o\al(k,9)(eq \r(x))9－keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x)))k ＝(－2)kCeq \o\al(k,9)xf(9－3k,2)eq \s\up14() ， 所以eq \f(9－3k,2)＝3，k＝1，所以第二项为含x3的项， T2＝－2Ceq \o\al(1,9)x3＝－18x3. 二项式系数为Ceq \o\al(1,9)＝9. 《选择性必修第三册》 “复习巩固”1，3，4，5（1）（2）； “拓广探索”10. $$