福建省福州市鼓楼区三牧中学2024-2025学年七年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年福建省福州市鼓楼区三牧中学七年级（上）期中数学试卷 一、选择题（共10小题，每题4分） 1．（4分）在日常生活中，若收入300元记作+300元，则支出180元应记作（　　） A．+180元 B．+300元 C．﹣180元 D．﹣480元 2．（4分）5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上．用科学记数法表示1300000是（　　） A．13×105 B．1.3×105 C．1.3×106 D．1.3×107 3．（4分）下列各式中，书写正确的是（　　） A． B． C．x÷y D． 4．（4分）下面说法中错误的是（　　） A．368万精确到万位 B．近似数1.8与1.80精确度不一样 C．2.58精确到百分位 D．0.0450精确到万位 5．（4分）若与﹣5xb﹣2y3是同类项，则a+b的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（4分）若，则m的值为（　　） A．±2 B．或 C． D． 7．（4分）下列说法中正确的是（　　） A．单项式﹣2xy3的次数是4 B．﹣xyz2的次数是2 C．2x3y﹣8x2+x是二次三项式 D．单项式的系数是﹣3 8．（4分）下列变形正确的是（　　） A．2÷8×＝2÷（8×） B．6÷（+）＝6÷+6÷ C．（﹣8）×（﹣5）×0＝40 D．（﹣2）××（﹣5）＝5 9．（4分）若有理数a、b在数轴上表示的点的位置如图所示，下列结论：①﹣a＞b；②ab＞0；③a﹣b＜0；④|a|＞|b|；⑤a+b＞0；⑥．其中正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．（4分）等边三角形ABC在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和﹣1，若三角形ABC绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则翻转2024次后，点B所对应的数是（　　） A．2023 B．2023.5 C．2024.5 D．2024 二、填空题（共6小题，每题4分） 11．（4分）＝ 　 　． 12．（4分）若（x+1）2+|y+2|＝0，则x﹣y＝　 　． 13．（4分）当x＝﹣1，y＝3时，代数式x3﹣2y的值为 　 　． 14．（4分）若（a﹣3）x2y|a|+|b+2|是关于x，y的五次单项式，则a+b＝ 　 　． 15．（4分）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1．将一个十进制数转化为二进制，只需把该数写成若干个2n的数的和，依次写出1或0即可．如19＝1×24+0×23+0×22+1×21+1＝（10011）2，即（89）10＝（10011）2，则将十进制数91转换成二进制数为 　 　． 16．（4分）观察下面的一列单项式：﹣2x、4x3、﹣8x5、16x7、…根据你发现的规律，第n个单项式为　 　． 三、解答题（共9小题） 17．（12分）计算： （1）﹣3+2+（﹣4）﹣（﹣5）； （2）a+2（5a+3）； （3）（﹣1）2024×2+（﹣2）3÷4； （4）． 18．（8分）某检修小组乘汽车从P地出发，在东西方向的公路上检修沿街设备．若规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中行驶记录如下（单位：千米）： ﹣4，+7，﹣9，+8，+6，﹣4，﹣3． （1）求收工时的位置在P地的什么方向？距离P地多少千米？ （2）若汽车每千米耗油0.08升，这天共耗油多少升？ 19．（6分）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m既不是正数也不是负数，求的值． 20．（8分）先化简，再求值：2（6a2﹣ab）﹣3（4a2﹣5ab+3），其中a＝﹣1，b＝2． 21．（10分）已知某品牌运动鞋每双进价120元，为确定一个合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如表： 第1天 第2天 第3天 第4天 售价x/（元/双） 150 200 250 300 销售量y/双 40 30 24 20 （1）用式子表示y与x的关系，y与x成什么比例关系？ （2）若单价定为240元，每天的销售利润为多少？ 22．（6分）数a、b、c在数轴上对应的位置如图所示． （1）a+c 　 　0，c+b 　 　0，a﹣b 　 　0． （2）化简|a+c|﹣|c+b|+|a﹣b|． 23．（10分）小明装饰新家，为自己房间的长方形窗户选择了一种装饰物一如图所示的阴影部分． （1）挂上这种装饰物后，窗户中能射进阳光的部分的面积是多少？ （2）当a＝5m，b＝2m时，求窗户中能射进阳光的部分的面积是多少？（结果保留π） 24．（12分）观察下面由“※”组成的图案和算式，并解答问题： 1+3＝4＝22， 1+3+5＝9＝32， 1+3+5+7＝16＝42， 1+3+5+7+9＝25＝52． （1）试猜想1+3+5+7+⋯+37+39＝ 　 　； （2）试猜想1+3+5+7+9+⋯+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n+3）＝ 　 　； （3）按上述规律计算：21+23+25+27+⋯+199的值． 25．（14分）已知：如图数轴上有A、B、C三点，点A和点B间距20个单位长度且点A、B表示的有理数互为相反数，AC＝40，数轴上有一动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右沿数轴运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）点A表示的有理数是 　 　，点C表示的有理数是 　 　，点P表示的数是 　 　（用含t的式子表示）； （2）当t＝　 　秒时，P、B两点之间相距10个单位长度？ （3）若点A、点B和点C与点P同时在数轴上运动，点A以1个单位/秒的速度向左运动，点B和点C分别以3个单位/秒和4个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数m，使得mAP+5BP﹣3CP为一个定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 2024-2025学年福建省福州市鼓楼区三牧中学七年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共10小题，每题4分） 1．（4分）在日常生活中，若收入300元记作+300元，则支出180元应记作（　　） A．+180元 B．+300元 C．﹣180元 D．﹣480元 【答案】C 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【解答】解：“正”和“负”相对，所以，若收入300元记作+300元，则支出180元应记作﹣180元． 故选：C． 【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． 2．（4分）5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上．用科学记数法表示1300000是（　　） A．13×105 B．1.3×105 C．1.3×106 D．1.3×107 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：1300000＝1.3×106， 故选：C． 【点评】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．（4分）下列各式中，书写正确的是（　　） A． B． C．x÷y D． 【答案】D． 【分析】根据代数式的书写要求判断各项． 【解答】解：选项A正确的书写格式是， 选项B正确的书写格式是， 选项C正确的书写格式是， 选项D正确． 故选：D． 【点评】本题考查代数式的书写习惯，掌握代数式的书写习惯是解题的关键． 4．（4分）下面说法中错误的是（　　） A．368万精确到万位 B．近似数1.8与1.80精确度不一样 C．2.58精确到百分位 D．0.0450精确到万位 【答案】D 【分析】根据各个选项中的说法，可以判断是否正确，然后即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：368万精确到万位，故选项A正确，不符合题意； 近似数1.8精确到0.1，1.80精确到0.01，故选项B正确，不符合题意； 2.58精确到百分位，故选项C正确，不符合题意； 0.0450精确到万分位，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查近似数和有效数字，解答本题的关键是明确一个近似数的精确度． 5．（4分）若与﹣5xb﹣2y3是同类项，则a+b的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据同类项的定义列出方程，再求解即可． 【解答】解：由同类项定义可知b﹣2＝1，2a﹣1＝3， 解得a＝2，b＝3， ∴a+b＝2+3＝5． 故选：D． 【点评】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项． 6．（4分）若，则m的值为（　　） A．±2 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据绝对值的定义进行解答即可． 【解答】解：∵，即|﹣m|＝， ∴﹣m＝， 即m＝， 故选：B． 【点评】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的关键． 7．（4分）下列说法中正确的是（　　） A．单项式﹣2xy3的次数是4 B．﹣xyz2的次数是2 C．2x3y﹣8x2+x是二次三项式 D．单项式的系数是﹣3 【答案】A 【分析】单项式中的数字因数叫做单项式的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和；多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数．根据单项式和多项式的有关概念解答即可． 【解答】解：A．单项式﹣2xy3的次数是4，正确； B．﹣xyz2的次数是4，故不正确； C．2x3y﹣8x2+x是四次三项式，故不正确； D．单项式的系数是，故不正确； 故选：A． 【点评】本题考查了单项式和多项式的有关概念，熟记有关概念是解题的关键． 8．（4分）下列变形正确的是（　　） A．2÷8×＝2÷（8×） B．6÷（+）＝6÷+6÷ C．（﹣8）×（﹣5）×0＝40 D．（﹣2）××（﹣5）＝5 【答案】D 【分析】A、乘除是同级运算，应按从左往右的顺序进行，而不能先算乘法，再算除法； B、除法不满足分配律，对于混合运算，有括号应该先算括号里面的； C、根据有理数的乘法法则，几个数相乘，有一个因数为0，积就为0，可知（﹣8）×（﹣5）×0＝0≠40； D、根据有理数的乘法法则计算等号的左边，再与等号的右边比较． 【解答】解：A、2÷8×＝2×＝，2÷（8×）＝2÷1＝2，故错误； B、6÷（+）＝6÷＝，6÷+6÷＝12+18＝30，故错误； C、0乘以任何数都得0，（﹣8）×（﹣5）×0＝0，故错误； D、（﹣2）××（﹣5）＝5，故正确． 故选：D． 【点评】本题考查了有理数的运算．需牢固掌握运算顺序与运算法则． 有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，就先算括号里面的．对于同级运算，需按从左往右的顺序进行． 9．（4分）若有理数a、b在数轴上表示的点的位置如图所示，下列结论：①﹣a＞b；②ab＞0；③a﹣b＜0；④|a|＞|b|；⑤a+b＞0；⑥．其中正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据数轴得到a、b的正负，再根据有理数的运算来解答． 【解答】解：∵a＜0，b＞0，|a|＞|b|，∴﹣a＞b，故①符合题意； ②∵a＜0，b＞0，∴ab＜0，故②不符合题意； ③∵a＜0，b＞0，∴a﹣b＜0，故③符合题意； ④根据数轴上a距原点比b距原点的距离大，∴|a|＞|b|，故④符合题意； ⑤∵a＜0，b＞0，|a|＞|b|，∴a+b＜0，故⑤不符合题意； ⑥∵a＜0，b＞0，∴，故⑥符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的运算，解题的关键是根据数轴上点的特征来进行计算． 10．（4分）等边三角形ABC在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和﹣1，若三角形ABC绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则翻转2024次后，点B所对应的数是（　　） A．2023 B．2023.5 C．2024.5 D．2024 【答案】A 【分析】三角形为等边变形，可以先翻折几次，发现规律，根据规律求解翻折2024次后，点B对应的数． 【解答】解：由题意可知，翻折一次后，点B对应的数为1，翻折两次后，点B对应的数为1，翻折三次后，点B对应的数为2.5， 翻折4次后，点B对应的数为4，以此类推，不难发现，在翻折一次后，每经过翻折3次，点B对应的数增加3， 且（2024﹣1）÷3＝674⋯⋯1，即在翻折2023次，点B对应的数为1+674×3＝2023，此时再翻折一次，点B对应的数仍为2023． 故选：A． 【点评】此题主要需要学生先将此三角形翻折几次并发现其规律． 二、填空题（共6小题，每题4分） 11．（4分）＝ 　　． 【答案】． 【分析】根据两数相乘，同号得正，并把绝对值相乘计算即可． 【解答】解：＝＝， 故答案为：． 【点评】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 12．（4分）若（x+1）2+|y+2|＝0，则x﹣y＝　1　． 【答案】1． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵（x+1）2+|y+2|＝0， ∴x+1＝0，y+2＝0， ∴x＝﹣1，y＝﹣2， ∴x﹣y＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 13．（4分）当x＝﹣1，y＝3时，代数式x3﹣2y的值为 　﹣7　． 【答案】﹣7． 【分析】根据题意，直接把x＝﹣1，y＝3代入所求式子中求解即可． 【解答】解：当x＝﹣1，y＝3时， x3﹣2y ＝（﹣1）3﹣2×3 ＝﹣1﹣6 ＝（﹣1）+（﹣6） ＝﹣7， 故答案为：﹣7． 【点评】本题考查了代数式求值，解决本题的关键是将数代入代数式计算． 14．（4分）若（a﹣3）x2y|a|+|b+2|是关于x，y的五次单项式，则a+b＝ 　﹣5　． 【答案】﹣5． 【分析】根据单项式是五次单项式得出|a|＝3，a﹣3≠0，|b+2|＝0，即可求出a、b的值，于是可求出a+b的值． 【解答】解：若（a﹣3）x2y|a|+|b+2|是关于x，y的五次单项式， 则|a|＝3，a﹣3≠0，|b+2|＝0， 所以a＝﹣3，b＝﹣2， 所以a+b＝﹣3+（﹣2）＝﹣5， 故答案为：﹣5． 【点评】本题考查了单项式，绝对值，熟知单项式的定义及单项式的系数、次数的定义是解题的关键． 15．（4分）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1．将一个十进制数转化为二进制，只需把该数写成若干个2n的数的和，依次写出1或0即可．如19＝1×24+0×23+0×22+1×21+1＝（10011）2，即（89）10＝（10011）2，则将十进制数91转换成二进制数为 　（1011011）2　． 【答案】（1011011）2． 【分析】由y＝27＝128＞91，26＝64＜91，判断出最高位是乘2的6次方，再逐步确定即可． 【解答】解：∵（91）10＝1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+1×21+1， ∴（91）10＝（1011011）2， ∴将十进制数91转换成二进制数为（1011011）2． 故答案为：（1011011）2． 【点评】此题主要题考查了有理数的混合运算，解答此题的关键是估计最高位是乘2的几次方． 16．（4分）观察下面的一列单项式：﹣2x、4x3、﹣8x5、16x7、…根据你发现的规律，第n个单项式为　（﹣2）nx2n﹣1　． 【答案】见试题解答内容 【分析】先根据所给单项式的次数及系数的关系找出规律，再确定所求的单项式即可． 【解答】解：∵﹣2x＝（﹣2）1•x1； 4x3＝（﹣2）2•x3； 8x5＝（﹣2）3•x5； ﹣16x7＝（﹣2）4•x7． 第n个单项式为（﹣2）n•x2n﹣1． 故答案为：（﹣2）nx2n﹣1． 【点评】本题考查了单项式的应用，解此题的关键是找出规律直接解答． 三、解答题（共9小题） 17．（12分）计算： （1）﹣3+2+（﹣4）﹣（﹣5）； （2）a+2（5a+3）； （3）（﹣1）2024×2+（﹣2）3÷4； （4）． 【答案】（1）0； （2）11a+6； （3）0； （4）1998． 【分析】（1）按照有理数加减运算法则，即可得到结果； （2）先去括号，再合并同类项，可得到结果； （3）先计算乘方，再进行乘除运算，最后进行加减运算，可得到结果； （4）把带分数化为整数和分数相加减的形式，再进行计算即可． 【解答】解：（1）﹣3+2+（﹣4）﹣（﹣5） ＝﹣3+2﹣4+5 ＝7﹣7 ＝0； （2）a+2（5a+3） ＝a+10a+6 ＝11a+6； （3）（﹣1）2024×2+（﹣2）3÷4 ＝1×2+（﹣8）÷4 ＝2﹣2 ＝0； （4） ＝（﹣200+）×（﹣10） ＝﹣200×（﹣10）+（﹣10） ＝2000﹣2 ＝1998． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 18．（8分）某检修小组乘汽车从P地出发，在东西方向的公路上检修沿街设备．若规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中行驶记录如下（单位：千米）： ﹣4，+7，﹣9，+8，+6，﹣4，﹣3． （1）求收工时的位置在P地的什么方向？距离P地多少千米？ （2）若汽车每千米耗油0.08升，这天共耗油多少升？ 【答案】（1）在东面，距P地1千米；（2）3.28升． 【分析】（1）求出行驶记录中的数据之和即可解决问题； （2）求出这天行驶的路程之和，再乘以每千米耗油0.08升即可解决问题． 【解答】解：（1）﹣4+7﹣9+8+6﹣4﹣3＝1（千米）， 答：在东面，距P地1千米； （2）将绝对值相加得：|﹣4|+|+7|+|﹣9|+|+8|+|+6|+|﹣4|+|﹣3|＝41（千米）， 41×0.08＝3.28（升）， 答：共耗油3.28升． 【点评】此题考查了正数与负数，有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减混合运算法则是关键． 19．（6分）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m既不是正数也不是负数，求的值． 【答案】﹣1． 【分析】由题意得，a+b＝0，cd＝1，m＝0，然后代值求解即可． 【解答】解：根据条件可知a+b＝0，cd＝1，m＝0， ∴， ∴的值为﹣1． 【点评】本题考查了相反数，倒数，0既不是正数也不是负数，代数式求值．熟练掌握相反数，倒数，0既不是正数也不是负数，代数式求值等知识点是解题的关键． 20．（8分）先化简，再求值：2（6a2﹣ab）﹣3（4a2﹣5ab+3），其中a＝﹣1，b＝2． 【答案】见试题解答内容 【分析】先去括号，然后合并同类项，最后将字母的值代入，即可求解． 【解答】解：2（6a2﹣ab）﹣3（4a2﹣5ab+3） ＝12a2﹣2ab﹣12a2+15ab﹣9 ＝13ab﹣9； 当a＝﹣1，b＝2时，原式＝13×（﹣1）×2﹣9＝﹣26﹣9＝﹣35． 【点评】本题考查了整式的加减与化简求值，正确进行计算是解题关键． 21．（10分）已知某品牌运动鞋每双进价120元，为确定一个合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如表： 第1天 第2天 第3天 第4天 售价x/（元/双） 150 200 250 300 销售量y/双 40 30 24 20 （1）用式子表示y与x的关系，y与x成什么比例关系？ （2）若单价定为240元，每天的销售利润为多少？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由表中数据得到xy＝6000，即可得到结果； （2）由题意，得到每双的利润，再乘以销量，即可得到每天的销售利润． 【解答】解：（1）由表中数据可得到：xy＝6000， 即：y＝， ∴y与x成反比例关系 ∴y与x的比例关系：y＝； （2）设每天的销售利润为w， ∴w＝（240﹣120）×＝3000， 答：每天的销售利润为3000元． 【点评】本题考查了列代数式的应用，根据题意得到x，y间的关系式是解题的关键． 22．（6分）数a、b、c在数轴上对应的位置如图所示． （1）a+c 　＜　0，c+b 　＜　0，a﹣b 　＞　0． （2）化简|a+c|﹣|c+b|+|a﹣b|． 【答案】（1）＜，＜，＞；（2）0． 【分析】（1）利用数轴知识解答； （2）利用绝对值的定义解答． 【解答】解：（1）a+c＜0，c+b＜0，a﹣b＞0． 故答案为：＜，＜，＞； （2）由（1）得， |a+c|﹣|c+b|+|a﹣b| ＝﹣（a+c）﹣[﹣（c+b）]+（a﹣b） ＝﹣a﹣c+c+b+a﹣b ＝0． 【点评】本题考查了数轴和绝对值，解题的关键是掌握数轴知识和绝对值的定义． 23．（10分）小明装饰新家，为自己房间的长方形窗户选择了一种装饰物一如图所示的阴影部分． （1）挂上这种装饰物后，窗户中能射进阳光的部分的面积是多少？ （2）当a＝5m，b＝2m时，求窗户中能射进阳光的部分的面积是多少？（结果保留π） 【答案】（1）； （2）窗户中能射进阳光的部分的面积是（20﹣π）m2． 【分析】（1）分别用含a，b的代数式表示出窗户及装饰物的面积即可解决问题． （2）将a＝5m，b＝2m代入（1）中的代数式即可解决问题． 【解答】解：（1）由题知， 窗户的面积可表示为：a（b+）＝2ab， 装饰物的面积可表示为：， 所以窗户中能射进阳光的部分的面积是2ab﹣． （2）将a＝5m，b＝2m代入（1）中的代数式可得， 2ab﹣＝2×5×2﹣×22＝（20﹣π）m2， 所以窗户中能射进阳光的部分的面积是（20﹣π）m2． 【点评】本题考查列代数式，能用含a，b的代数式表示出窗户及装饰物的面积是解题的关键． 24．（12分）观察下面由“※”组成的图案和算式，并解答问题： 1+3＝4＝22， 1+3+5＝9＝32， 1+3+5+7＝16＝42， 1+3+5+7+9＝25＝52． （1）试猜想1+3+5+7+⋯+37+39＝ 　400　； （2）试猜想1+3+5+7+9+⋯+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n+3）＝ 　（n+2）2　； （3）按上述规律计算：21+23+25+27+⋯+199的值． 【答案】（1）400； （2）（n+2）2； （3）9900． 【分析】（1）根据所给算式，结合图案发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）根据（1）中发现的规律即可解决问题． 【解答】解：（1）由题知， 因为1+3＝4＝22， 1+3+5＝9＝32， 1+3+5+7＝16＝42， 1+3+5+7+9＝25＝52， …， 所以1+3+5+…+2n﹣1＝n2， 当2n﹣1＝39，即n＝20时， 1+3+5+7+⋯+37+39＝202＝400． 故答案为：400． （2）由（1）知， 1+3+5+7+9+⋯+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n+3）＝（n+2）2． 故答案为：（n+2）2． （3）原式＝1+3+5+…+199﹣（1+3+5+…+19） ＝1002﹣102 ＝9900． 【点评】本题主要考查了数字变化的规律、有理数的混合运算及去括号与添括号，能根据所给算式及图案发现1+3+5+…+2n﹣1＝n2是解题的关键． 25．（14分）已知：如图数轴上有A、B、C三点，点A和点B间距20个单位长度且点A、B表示的有理数互为相反数，AC＝40，数轴上有一动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右沿数轴运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）点A表示的有理数是 　﹣10　，点C表示的有理数是 　30　，点P表示的数是 　﹣10+2t　（用含t的式子表示）； （2）当t＝　5或15　秒时，P、B两点之间相距10个单位长度？ （3）若点A、点B和点C与点P同时在数轴上运动，点A以1个单位/秒的速度向左运动，点B和点C分别以3个单位/秒和4个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数m，使得mAP+5BP﹣3CP为一个定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设点B表示的数为x，则点A表示的数为﹣x，由数轴可知AB＝20，求出x，根据AC＝40算出点C表示的数，再由点P的运动速度和时间求出点P表示的数即可； （2）分点P在点B左边和点P在点B右边两种情况列方程求解进行解答即可； （3）根据题意先将点A、点B和点C表示的数算出来，再算出AP、BP、CP并代入mAP+5BP﹣3CP中，合并同类项，由存在性问题的解法列方程求解即可解答． 【解答】解：（1）设点B表示的数为x，则点A表示的数为﹣x， ∵点A和点B间距20个单位长度， ∴x﹣（﹣x）＝20， 解得x＝10， ∴点A表示的有理数是﹣10；点B表示的有理数是10， ∵AC＝40， ∴点C表示的有理数是﹣10+40＝30， ∵动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右沿数轴运动，运动时间为t秒， ∴点P表示的数是﹣10+2t， 故答案为：﹣10，30，﹣10+2t； （2）当点P在点B左边时（0＜t＜10），PB＝10﹣（﹣10+2t）＝20﹣2t， ∵P、B两点之间相距10个单位长度， ∴20﹣2t＝10，解得t＝5， 当点P在点B右边时（t＞10），PB＝﹣10+2t﹣10＝2t﹣20， ∵P、B两点之间相距10个单位长度， ∴2t﹣20＝10，解得t＝15， ∴当t＝5或15秒时，P、B两点之间相距10个单位长度， （3）存在常数m，使得mAP+5BP﹣3CP为一个定值， 理由如下： 由题意可知，点A表示的数为﹣10﹣t；点B表示的数为10+3t；点C表示的数为30+4t， ∴AP＝﹣10+2t﹣（﹣10﹣t）＝3t；BP＝10+3t﹣（﹣10+2t）＝20+t；CP＝30+4t﹣（﹣10+2t）＝40+2t， ∴mAP+5BP﹣3CP ＝3mt+5（20+t）﹣3（40+2t） ＝（3m﹣1）t﹣20， ∵要使得mAP+5BP﹣3CP为一个定值， ∴3m﹣1＝0，解得， ∴mAP+5BP﹣3CP＝﹣20， ∴，这个定值为﹣20． 【点评】本题考查的是数轴的知识、一元一次方程的应用，掌握相反数的概念、灵活运用数形结合思想和分情况讨论思想是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$