2.2基本不等式练习-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2基本不等式 练习 一、单选题 1．若，，且，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，都是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知正实数，满足，则下列说法错误的是（   ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 4．已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 5．已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．已知正实数x，y满足，则的最小值为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 7．下列不等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（      ） A．若，则的最大值为 B．函数的最小值为 C．已知，且，则的最小值为 D．若正数，满足，则的最小值是 11．关于的方程的两实根为，，且，，则（   ） A． B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最小值为 三、填空题 12．设、为非零实数，给出下列不等式：①；②；③，其中恒成立的是 ．（填序号） 13．已知正数、、满足，，则的最小值为 ． 14．已知，，则的最小值为 . 四、解答题 15．对于正数，，，，求证 (1) (2) 16．求下列各式的最值 (1)当时，求的最小值； (2)已知，求的最大值. 17．（1）已知，求的取值范围. （2）已知，求的最小值； （3）已知，，且，求的最小值. 18．根据要求完成下列问题： (1)已知，求出的最小值，以及取最小值x，y的值； (2)已知a，b，c，，比较与的大小并说明理由； (3)利用（2）的结论解决下面问题：已知m，n均为正数，且，求的最大值. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C B D A D C BCD ACD 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】取可判断ABD是否正确；再利用基本等式判断C. 【详解】因为，，当，时， ，，，所以ABD选项错误. 由基本不等式，得，当且仅当时取等号， 故选：C. 2．B 【分析】通过举反例可以证明充分性不成立，再利用重要不等式可以证明必要性. 【详解】取，，此时，， 满足，此时不成立； 当时，因为， 所以， 所以， 所以， 即， 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3．C 【分析】利用基本不等式判断A，B，C；利用二次函数判断D. 【详解】对于A，因为正实数，满足， 所以， 当且仅当时取到最大值，故A正确； 对于B，因为，为正实数， 所以， 当且仅当即时，取到最小时，故B正确； 对于C，因为，所以，故， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 由于，所以取不到等号，故C错误； 对于D，因为，所以，故， 所以， 所以当时取到最小值.故正确 故选：C 4．B 【分析】由题意得，再结合基本不等式即可求解. 【详解】， 所以 ， 当且仅当，且，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：. 5．D 【分析】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果. 【详解】，因为，故， 则，当且仅当，也即取得等号， 故的最小值为. 故选：D. 6．A 【分析】由题设可得，再应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】由，可得，故， 则， 当且仅当，时取等号，故目标式的最小值为9. 故选：A 7．D 【分析】根据基本不等式使用的条件判断即可. 【详解】对于A：当时，，故A错误； 对于B：取，，故B错误； 对于C：当时，无意义，故C错误； 对于D：，取等条件为，即，故D正确. 故选：D 8．C 【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为，，且， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为. 故选：C. 9．BCD 【分析】AB选项直接利用基本不等式求最值；CD选项通过代入得到积是定值，然后利用基本不等式求最值. 【详解】因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，则A错误； 因为，所以，当且仅当时等号成立，则B正确； 因为，所以，所以， 当且仅当时，等号成立，则C正确； 因为，所以，所以，同理可得， 则，当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：BCD. 10．ACD 【分析】对A变形得，再利用基本不等式即可；对B变形为，再利用基本不等式即可；对C直接利用基本不等式即可；对D，减少变量后再利用基本不等式即可. 【详解】对于A，，， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为.故A正确； 对于B，因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以函数的最小值为，故B错误； 对于C，因为，，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.故C正确； 对于D，因为，，，所以， 则， 当且仅当即时等号成立，此时， 所以的最小值为.故D正确. 故选：ACD. 11．ABD 【分析】根据韦达定理可得，即可代入求解A，根据基本不等式即可求解B，利用，结合基本不等式即可求解CD. 【详解】由的两实根为，可得， 故，或， 对于A，，A正确， 对于B，由，，可得，故，当且仅当时取等号，故B正确， 对于C，由可得， 故， 当且仅当，即取等号，故C错误， 对于D，由可得，故，当且仅当，即时取等号，故D正确， 故选：ABD 12．①② 【分析】本题利用重要不等式及其推论可判断①②，利用特殊值法可判断③. 【详解】因为，所有，所以①正确； 因为，所以②正确； 当时，不等式的左边为，右边为， 原不等式显然不成立，所以③错误． 故答案为：①②. 13．/ 【分析】根据基本（均值）不等式，先求的最小值，再求的最小值. 【详解】已知：正数、、满足，. 因为（当且仅当即时取“”）. 所以（当且仅当时取“”）. 所以（当且仅当时取“”）. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 14． 【分析】由题意得，利用基本不等式中1的妙用，从而有，展开后利用基本不等式即可求解. 【详解】∵，∴． 由可得， ∴ ， 当且仅当且，即时取等号， 则的最小值为. 故答案为：. 15．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）变形，利用基本不等式证明； （2）解法一：利用作差法证明，得，令，即得结论； 解法二：利用第一问结论证明，令，即得结论； 解法三：不妨设，取，分为，两种情况讨论证明. 【详解】（1）， 当且仅当时取等号， （2）解法一：注意到因式分解 ， 当且仅当时取到， 所以， 令，则有. 解法二：由第一问可知， ， 不等式两边同除可得， 两边同时取次方即可得， 令，则有. 方法3：不妨设，取， ①若，则（将其设为）， 因此有， ②若，不妨设，则有， 否则，因中前两项之和小于或等于，第三项等于，其计算结果不可能等于，与矛盾. 下面证明，只需证. 显然. 不妨设，则， ， 由于，所以，即. 因此有，所以. 而， 所以由①可得.证毕. 16．(1) (2) 【分析】（1）由，结合基本不等式求解即可； （2）由，结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为； （2）因为，所以， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最大值为. 17．（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）运用不等式性质计算范围即可；（2）运用基本不等式计算最小值即可；（3）运用乘1法计算即可. 【详解】（1），故， 所以，即. （2），，（当且仅当，即时取等号）， 的最小值为； （3）， （当且仅当，即时取等号）， 的最小值为. 18．(1)的最小值为24，此时； (2)，理由见解析； (3)的最大值为5. 【分析】（1）根据基本不等式“1”的妙用方法去计算即可求解； （2）两式作差，根据差值情况即可比较； （3）由（2）得，由该不等式即可得解. 【详解】（1）因为， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为24，此时. （2），理由如下： 因为 ， 所以 （3）由（2）可得， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为5. 学科网（北京）股份有限公司 $$