精品解析：吉林省逐梦芳华2024-2025学年八年级上学期期中测试数学试卷A卷

逐梦芳华——阶段性学业水平测评卷 （吉林省八年级上学期期中考试A卷） 数学试题 本试卷包括六道大题，共26道小题，共6页．全卷满分120分，考试时间为120分钟．考试姓名结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、班级、学号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题2分，共12分） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．下面是对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：由轴对称图形的定义可知，四个选项中，只有D选项中的图形是轴对称图形， 故选：D． 2. 下列各组数中，可以成为一个三角形三边长的是（ ） A. 3、4、5 B. 3、4、7 C. 3、4、8 D. 3、5、8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，熟记三角形任意两边之和大于第三边，任意两边的差小于第三边是解题的关键． 根据三角形三边关系：可用较小的两边之和大于第三边，求解即可． 【详解】A．，能组成三角形，故该选项符合题意； B．，不能组成三角形，故该选项不符合题意； C．，不能组成三角形，故该选项不符合题意； D．，不能组成三角形，故该选项不符合题意； 故选：A． 3. 若等腰三角形的两边长分别为4和2，则这个等腰三角形的周长为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解题的关键在于分情况讨论．分2是腰长和底边两种情况，利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解． 【详解】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4， ∵， ∴不能组成三角形， ②2是底边时，三角形的三边分别为4、4、2，能组成三角形， 周长， 综上所述，三角形的周长为． 故选：C． 4. 某城市几条道路的位置关系如图所示，已知，与的夹角为，若与的长度相等，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，等边对等角，先由平行线的性质求出的度数，再根据等边对等角得到，据此根据三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵与的长度相等， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5. 如图中的字母表示三角形的边长，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质．先求出边的对角，再根据全等三角形的性质“全等三角形的对应角相等”得出答案． 【详解】解：根据三角形内角和可得边的对角， ∵两个三角形全等， ∴， 故选：C． 6. 如图，在中，垂直平分，交边于点D，交边于点E，连接．若，的周长为10，则的长为（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键.根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可得，即可求解. 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴的周长， ∵， ∴， 故选：B. 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 三角形的外角和为_______度． 【答案】 【解析】 【分析】根据多边形的外角和定理即可得出答案． 【详解】解：由多边形的外角和定理可知： 三角形的外角和为： 故答案为： 【点睛】本题考查了多边形的外角和；熟知多边形的外角和等于是解题的关键． 8. 若等边的周长为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，牢记等边三角形的性质是解题的关键：等边三角形的三边都相等，三个内角都相等，并且每一个内角都等于． 根据等边三角形的性质及已知条件即可直接得出答案． 【详解】解：是等边三角形， ， 又等边的周长为， ， ， 故答案为：． 9. 如图，已知，，由尺规作图痕迹可求出的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了作角平分线（尺规作图），三线合一等知识点，熟练掌握用尺规作角平分线的方法是解题的关键． 由尺规作图痕迹可判断出是角平分线，然后根据已知条件及三线合一即可得出答案． 【详解】解：由尺规作图痕迹可判断出是角平分线， 又， ， 故答案为：． 10. 如图，要测量两岸相对的两点A、B的距离，可以在的垂线上取两点C、D，使，再定出的垂线，使点A、C、E在同一条直线上，这时测得的长度就是的长度，这是由时，得到的缘故．此问题中判定的依据是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，由题意可得，再利用即可证明，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 在和中， ， ∴， ∴判定的依据是， 故答案为：． 11. 在的正方形网格中，的位置如图所示，则到两边的距离相等的点应是________．（选填“C”或“D”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据正方形网格看出平分线上的点是解题的关键． 根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，注意观察点、中的哪一点在的平分线上即可． 【详解】解：从正方形网格中可以看出，点在的平分线上，点不在的平分线上， 点到两边的距离相等， 故答案为：． 12. 如图，在中，，是高，，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，先求出，据此可求出的长，再求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图放置的正五边形和正六边形的边长相等，则________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和，熟练正五边形的内角，正六边形的内角是解题的关键． 根据正五边形的内角和和正六边形的内角和公式求得正五边形的内角和正六边形的内角，即可得结论． 【详解】解：由题意可得，正五边形的每个内角为，正六边形的每个内角为， ， 故答案为：12． 14. 如图是蜡烛的平面镜成像原理图，以桌面所在直线为x轴，镜面所在直线为y轴建立平面直角坐标系，若火焰顶部P点的坐标是，则对应虚像火焰顶部Q点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—轴对称，理解平面镜成像原理并运用数形结合思想是解题的关键． 根据平面镜成像原理及关于坐标轴对称的点的坐标规律，即可直接得出答案． 【详解】解：火焰顶部P点的坐标是，且对应虚像火焰顶部Q点与P点关于y轴对称， 对应虚像火焰顶部Q点的坐标是， 故答案为：． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 如图，，，，求证：． 【答案】 证明：在和中， ， ． 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理证明即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理与公理是解题的关键． 16. 如图，在中，，是的角平分线，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据等边对等角结合内角和定理得到，再由角平分线得到，最后由三角形的外角即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在中，． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和和外角定理，角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 17. 在中，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据题意得出，再由三角形内角和为得出，进行计算即可，熟练掌握三角形内角和为是解此题的关键． 【详解】解： ， ， ， ． 18. 如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度相等，当，，时，求的长度． 【答案】的长度为8． 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定及性质．先根据定理判断出，再根据全等三角形的性质求出，即可求出． 【详解】解：根据题意，得，，， ∴， ∴， ∴， 答：的长度为8． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在给定的网格中，已有两个小正方形被涂黑，按下列要求画图． （1）在图①中，涂黑一个空白小正方形，使它与原来被涂黑的小正方形组成的新图案是一个轴对称图形； （2）在图②中，涂黑两个空白小正方形，使它与原来被涂黑的小正方形组成的新图案是一个轴对称图形； （3）在图③中，涂黑三个空白小正方形，使它与原来被涂黑的小正方形组成的新图案是一个轴对称图形． 【答案】（1） 如图所示， （2） 如图所示， （3） 如图所示， 【解析】 【分析】本题主要考查了根据轴对称图形的定义作图，准确分析判断是解题的关键． （1）利用轴对称图形的性质作图即可； （2）利用轴对称图形的性质作图即可； （3）利用轴对称图形的性质作图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 如图，是的角平分线，、分别是和的高． （1）求证：垂直平分； （2）若，求证：是等边三角形． 【答案】（1） 证明：∵是的角平分线， ∴，即．             ∵、分别是和的高， ∴．             又∵， ∴，                  ∴，，                  ∴点A，点D在的垂直平分线上， ∴垂直平分； （2） 证明：由（1）知，，， 在四边形中，， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】（1）由角平分线和高线的定义易证，即得出，，从而即证垂直平分； （2）根据四边形内角和为，可求出，即证明是等边三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形高的定义，三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定，四边形内角和，等边三角形的判定等知识，涵盖知识点较多，熟练掌握是解题关键． 21. 如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E． （1）求证：△CEB≌△ADC； （2）若AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长． 【答案】 （1）证明：∵∠ACB＝90°，BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠BCE+∠DCA＝90°，∠BEC＝∠CDA＝90°， ∴∠ACD+∠CAD＝90°， ∴∠BCE＝∠CAD， 在△CEB和△ADC中， ， ∴△CEB≌△ADC（AAS）； （2）0.8cm 【解析】 【分析】（1）由AD⊥CE，BE⊥CE，可以得到∠BEC＝∠CDA＝90°，再根据∠ACB＝90°，可以得到∠BCE＝∠CAD，然后即可证明结论成立； （2）根据（1）中的结论和AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，可以求得BE的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵△CEB≌△ADC， ∴BE＝CD，CE＝AD＝2.5cm． ∵DC＝CE﹣DE，DE＝1.7cm， ∴DC＝2.5﹣1.7＝0.8cm， ∴BE＝0.8cm． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 22. 已知三角形的三边长分别为3、5和m． （1）若3是该三角形的最短边长，求m的取值范围； （2）当m为整数时，直接写出三角形周长的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）11，15 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解此题的关键． （1）由三角形三边关系可得，再结合3是该三角形的最短边长即可得解； （2）由（1）可得，，结合m为整数可得的最小值为，的最大值为，再根据周长公式计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵三角形的三边长分别为3、5和m， ∴，即， ∵3是该三角形的最短边长， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可得，， ∵m为整数， ∴的最小值为，此时周长最小，为， 的最大值为，此时周长最大，为． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 如图，线段AB上两点C、D，，，，连接DE并延长至点M，连接CF并延长至点N，DM，CN交于点P，； （1）求证：； （2）求证：是等腰三角形． 【答案】（1） 证明： 在和中， ； （2） 证明： ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）由推导出即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明 （2）由得由平行线的性质得所以即可由“等角对等边”证明是等腰三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等式的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，正确找到全等三角形的对应边和对应角并且证明是解题的关键． 24. 如图，在中，，，，点为上的点，，垂足为点，． （1）求证：为的平分线； （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， ， 又， 为的平分线； （2） 【解析】 【分析】（1）由垂线的定义可得，由已知条件及角平分线的判定定理即可得出结论； （2）利用可证得，于是可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由三角形角平分线的定义可得，然后由三角形外角的性质即可求出的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ，， ， ， ， 由（1）可得：为的平分线， ， ． 【点睛】本题主要考查了垂线的定义，角平分线的判定定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，三角形角平分线的定义，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质及角平分线的判定定理是解题的关键． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 如图，是等边三角形，，动点P、Q分别从点A、B同时出发，点P以的速度沿向终点B匀速运动，点Q以的速度沿折线向终点A匀速运动．连接，设点P的运动时间为x（秒）（）． （1）________，________；（用含x的式子表示） （2）当是等边三角形时，求x的值； （3）当是等边三角形时，x的值为________； （4）当或为直角三角形时，直接写出x的值． 【答案】（1） （2） （3） （4）秒或2秒或秒 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，等边三角形的性质与判定，30度所对的直角边是斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据运动的起点，以及运动的方向和速度进行分类讨论，再结合勾股定理列式化简，即可作答． （2）根据是等边三角形，，得出，，结合是等边三角形，，代入计算，即可作答． （3）因为是等边三角形，，所以，，再结合是等边三角形，得，，代入计算，即可作答． （4）进行分类讨论，再结合30度所对的直角边是斜边的一半，进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵动点P、Q分别从点A、B同时出发，点P以的速度沿向终点B匀速运动，点Q以的速度沿折线向终点A匀速运动． ∴， 过点B作, ∵是等边三角形， ∴ 当，则， 则 则 则 即 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵是等边三角形，， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， 即， 解得； 【小问3详解】 解：依题意，如图所示： ∵是等边三角形，， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 解得， 故答案为：； 【小问4详解】 解：∵是等边三角形，， ∴，， ∵为直角三角形， ∴或 当则， ∴， 即， 解得； 当则， ∴ 即 解得； ∵为直角三角形， ∴或 当则 ∴， 即， 解得； 当则， ∴， 即， 解得； 综上：当或为直角三角形时， x的值为秒或2秒或秒． 26. 【阅读理解】 如图①，在中，，点D是边的中点，连接．求证：． 证明：延长至点E，使，连接． ∵点D是边的中点，∴． 又∵________，∴________，∴． 在中，， ∴，∴________________． 请将你上面的填空补充完整． 【方法运用】 （1）如图②，在中，是边上中线，若，，则AD的取值范围是________． （2）请你把证明补充完整． 如图③，在中，点D为BC中点，．求证：． 证明：延长到点G，使，连接． ∵，， ∴，∴． 连接，∵，∴． ∵，，∴，∴． 【拓展提升】 如图④，在中，是角平分线，过的中点M作垂线，分别交的延长线于点F、E．当，时，直接写出的长． 【答案】阅读理解：，，，方法运用： （1）． （2）证明：延长到点G，使，连接． ∵，， ∴， ∴． 连接， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 拓展提升：7． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边关系的应用，等腰三角形的性质与判定等等： 阅读理解：根据已给推理过程，结合线段之间的关系证明即可； 方法运用：（1）根据阅读理解的结论求解即可； （2）延长到点G，使，连接．证明，得到． 连接，再证明，得到，由，即可证明； 拓展提升：如图所示，延长交于H，过点B作交于G，先证明，得到，再证明，进一步证明，得到，则． 【详解】阅读理解：证明：延长至点E，使，连接． ∵点D是边的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴． 方法运用：（1）延长至点E，使，连接， 由阅读理解可知， ∴， ∴； （2）略 拓展提升：如图所示，延长交于H，过点B作交于G， ∵在中，是角平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 逐梦芳华——阶段性学业水平测评卷 （吉林省八年级上学期期中考试A卷） 数学试题 本试卷包括六道大题，共26道小题，共6页．全卷满分120分，考试时间为120分钟．考试姓名结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、班级、学号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题2分，共12分） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．下面是对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，可以成为一个三角形三边长的是（ ） A. 3、4、5 B. 3、4、7 C. 3、4、8 D. 3、5、8 3. 若等腰三角形的两边长分别为4和2，则这个等腰三角形的周长为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 4. 某城市几条道路的位置关系如图所示，已知，与的夹角为，若与的长度相等，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图中的字母表示三角形的边长，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，垂直平分，交边于点D，交边于点E，连接．若，的周长为10，则的长为（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 三角形的外角和为_______度． 8. 若等边的周长为，则________． 9. 如图，已知，，由尺规作图痕迹可求出的长是________． 10. 如图，要测量两岸相对的两点A、B的距离，可以在的垂线上取两点C、D，使，再定出的垂线，使点A、C、E在同一条直线上，这时测得的长度就是的长度，这是由时，得到的缘故．此问题中判定的依据是________． 11. 在的正方形网格中，的位置如图所示，则到两边的距离相等的点应是________．（选填“C”或“D”） 12. 如图，在中，，是高，，若，则__________． 13. 如图放置的正五边形和正六边形的边长相等，则________． 14. 如图是蜡烛的平面镜成像原理图，以桌面所在直线为x轴，镜面所在直线为y轴建立平面直角坐标系，若火焰顶部P点的坐标是，则对应虚像火焰顶部Q点的坐标是________． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 如图，，，，求证：． 16. 如图，在中，，是的角平分线，若，求的度数． 17. 在中，，求的度数． 18. 如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度相等，当，，时，求的长度． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在给定的网格中，已有两个小正方形被涂黑，按下列要求画图． （1）在图①中，涂黑一个空白小正方形，使它与原来被涂黑的小正方形组成的新图案是一个轴对称图形； （2）在图②中，涂黑两个空白小正方形，使它与原来被涂黑的小正方形组成的新图案是一个轴对称图形； （3）在图③中，涂黑三个空白小正方形，使它与原来被涂黑的小正方形组成的新图案是一个轴对称图形． 20. 如图，是的角平分线，、分别是和的高． （1）求证：垂直平分； （2）若，求证：是等边三角形． 21. 如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E． （1）求证：△CEB≌△ADC； （2）若AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长． 22. 已知三角形的三边长分别为3、5和m． （1）若3是该三角形的最短边长，求m的取值范围； （2）当m为整数时，直接写出三角形周长的最大值和最小值． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 如图，线段AB上两点C、D，，，，连接DE并延长至点M，连接CF并延长至点N，DM，CN交于点P，； （1）求证：； （2）求证：是等腰三角形． 24. 如图，在中，，，，点为上的点，，垂足为点，． （1）求证：为的平分线； （2）求的度数． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 如图，是等边三角形，，动点P、Q分别从点A、B同时出发，点P以的速度沿向终点B匀速运动，点Q以的速度沿折线向终点A匀速运动．连接，设点P的运动时间为x（秒）（）． （1）________，________；（用含x的式子表示） （2）当是等边三角形时，求x的值； （3）当是等边三角形时，x的值为________； （4）当或为直角三角形时，直接写出x的值． 26. 【阅读理解】 如图①，在中，，点D是边的中点，连接．求证：． 证明：延长至点E，使，连接． ∵点D是边的中点，∴． 又∵________，∴________，∴． 在中，， ∴，∴________________． 请将你上面的填空补充完整． 【方法运用】 （1）如图②，在中，是边上中线，若，，则AD的取值范围是________． （2）请你把证明补充完整． 如图③，在中，点D为BC中点，．求证：． 证明：延长到点G，使，连接． ∵，， ∴，∴． 连接，∵，∴． ∵，，∴，∴． 【拓展提升】 如图④，在中，是角平分线，过的中点M作垂线，分别交的延长线于点F、E．当，时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $