精品解析：甘肃省天水市秦州区天水市第一中学2024-2025学年高三上学期第三次诊断性检测（11月月考）数学试题

天水一中2024年第一学期高三第三次诊断性检测 数学试卷 考生须知： 1．答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚； 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效； 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回； 4．满分150分，考试时间120分钟． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的定义域是，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 函数在上是减函数，则（ ） A. B. C. D. 4. ，若，则等于（ ） A. B. 1 C. D. 5. 若，，则所在象限是（ ） A. 第一或第三象限 B. 第一或第二象限 C. 第二或第四象限 D. 第三或第四象限 6. 若，是第三象限的角，则 A. B. C. D. 7. （ ） A. B. C. D. 8. 设偶函数的定义域为，当时，是增函数；则，，的大小关系（ ） A. B. C. D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 将函数的图象向左平移个单位后，所得图象关于轴对称，则实数的值可能为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，设函数，，，若的最大值为，最小值为，那么和的值可能为（ ） A. 4与1 B. 5与2 C. 5与3 D. 6与4 11. 已知，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设 则a，b，c的大小关系为________．(用“>”连接) 13. 若函数在上的最小值为，则实数的值为________. 14. 当时，不等式恒成立，则a的取值范围是________ 四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前n项和，其中． （Ⅰ）证明是等比数列，并求其通项公式； （Ⅱ）若 ，求． 16. 如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，．点在侧棱上，且． （1）求证：平面； （2）设为的中点，求六面体体积． 17. 已知椭圆：的长轴为双曲线的实轴，且椭圆过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）点、是椭圆上异于点的两个不同的点，直线与的斜率均存在，分别记为，，且，求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标. 18. 某大学外语系有5名大学生参加南京青奥会翻译志愿者服务，每名大学生都随机分配到奥体中心体操和游泳两个比赛项目的场馆（每名大学生只参加一个项目的服务）. （1）求5名大学生中恰有2名被分配到体操项目的概率； （2）设分别表示5名大学生分配到体操、游泳项目的人数，记，求随机变量的分布列和数学期望. 19. 已知函数（，常数）． （1）当时，求的单调递增区间； （2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天水一中2024年第一学期高三第三次诊断性检测 数学试卷 考生须知： 1．答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚； 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效； 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回； 4．满分150分，考试时间120分钟． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可得，由此可得出结论. 【详解】任取，则，其中，所以，，故， 因此，. 故选：C. 2. 已知函数的定义域是，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】函数的定义域为等价于分母不等于0恒成立，讨论求解即可. 【详解】∵的定义域为， ∴只需分母不为即可，即恒成立， （1）当时，恒成立，满足题意， （2）当时，，解得， 综上可得. 故选：B. 【点睛】本题考查含有参数的函数的定义域为时，求参数范围，等价于不等式的恒成立问题. 3. 函数在上是减函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的单调性有，即可得结果. 【详解】因为函数在上是减函数， 所以. 故选：D 4. ，若，则等于（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求函数的导函数，由条件列方程求. 【详解】由题意可得：， 若，即， 则，解得． 故选：B． 5. 若，，则所在象限是（ ） A. 第一或第三象限 B. 第一或第二象限 C. 第二或第四象限 D. 第三或第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】对进行赋值即可判断. 【详解】当时，为第一象限角，当时，为第三象限角， 故选：A. 6. 若，是第三象限的角，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用同角三角函数的基本关系计算出的值，然后利用两角和的正弦公式可计算出的值. 【详解】是第三象限角，，且， 因此，， 故选B. 【点睛】本题考查两角和的正弦公式计算三角函数值，解题时充分利用同角三角函数的基本关系进行计算，考查运算求解能力，属于基础题. 7. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式及和角的余弦公式求解即得. 【详解】 . 故选：B 8. 设偶函数的定义域为，当时，是增函数；则，，的大小关系（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，以及单调性直接判断大小即可. 【详解】因为是偶函数，所以， 所以，， 又时，是增函数，且， 所以，即. 故选：C 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 将函数的图象向左平移个单位后，所得图象关于轴对称，则实数的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用辅助角公式可得，根据图象平移有，确定平移后的解析式，根据对称性得到的表达式，即可知可能值. 【详解】由题意，得：，图象向左平移个单位， ∴关于轴对称， ∴，即， 故当时，；当时，； 故选：BD 10. 已知，设函数，，，若的最大值为，最小值为，那么和的值可能为（ ） A. 4与1 B. 5与2 C. 5与3 D. 6与4 【答案】CD 【解析】 【分析】构造新函数，根据新函数的奇偶性，结合函数奇偶性的性质进行求解即可. 【详解】令，， ∴，∴为奇函数， 设的最大值为t，最小值为， ∴，，可得， ∵，∴2b为偶数， 故选：CD． 11. 已知，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，作差法以及特殊值法，即可求解. 【详解】对于，因为，所以，则，故选项成立； 对于，作差：，由已知可知：，当的符号不确定，故与的大小关系不确定，故选项错误； 对于，作差： ，因为，所以，，则，即，故选项正确； 对于，当，，时，满足，但，故选项错误； 综上：不等式恒成立的是， 故选：. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设 则a，b，c的大小关系为________．(用“>”连接) 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数、幂函数的单调性分析判断即可. 【详解】因为幂函数在内单调递增，则，即； 又因为指数函数在定义域内单调递减，则，即； 综上所述：. 故答案为：. 13. 若函数在上的最小值为，则实数的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数分析得的单调性，再分类讨论的取值范围，确定在上的最小值，从而列式得解. 【详解】因为，所以， 当时，恒成立，则在上单调递增， 所以，解得，矛盾舍去； 当时，令，得，此时单调递减； 令，得，此时单调递增； 当时，即时，在上单调递增， 此时，则，矛盾舍去； 当时，即时， 在上单调递减，在上单调递增， 此时，解得，满足条件； 当时，即时，在上单调递减， 此时，解得，矛盾舍去. 综上，. 14. 当时，不等式恒成立，则a的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法构成新函数，利用导数，分类讨论，根据新函数的单调性和取特殊值法，结合二次函数的性质进行求解即可. 【详解】令， 所以有，化简得： 设函数，原问题等价于在时恒成立， ，当时，， 因此当时，单调递增，要想在时恒成立， 只需，解得，而，所以； 当时，， 因为，所以，故不成立，显然此时在时不恒成立， 综上所述： 故答案为； 【点睛】本题考查了已知不等式恒成立利用导数求参数取值范围，考查了数学运算能力. 四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前n项和，其中． （Ⅰ）证明是等比数列，并求其通项公式； （Ⅱ）若 ，求． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）首先利用公式，得到数列的递推公式，即可得到是等比数列及的通项公式；（Ⅱ）利用（Ⅰ），用表示前项和，结合的值，建立方程可求得的值． 试题解析：（Ⅰ）由题意得，故，，. 由，得，即.由，得，所以. 因此是首项为，公比为的等比数列，于是. （Ⅱ）由（Ⅰ）得.由得，即. 解得. 【考点】数列的通项与前项和的关系，等比数列的定义、通项公式及前项和. 【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明（常数）；（2）中项法，即证明．根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列来求解． 16. 如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，．点在侧棱上，且． （1）求证：平面； （2）设为的中点，求六面体体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，以及写出相关的向量的坐标，从而得，，由此证明平面；（2）六面体体积为，由此能求出六面体的体积. 【详解】（1）如图，以点为坐标原点，以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，则，则，所以，，所以，，又，所以平面； （2）因为为的中点，所以，点到平面的距离，，所以六面体体积为 【点睛】本题考查了空间中线面垂直的证明，解答本题关键在于能利用空间向量法，通过求解相关向量，利用向量的数量积计算判断线线垂直，进而得线面垂直. 17. 已知椭圆：的长轴为双曲线的实轴，且椭圆过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）点、是椭圆上异于点的两个不同的点，直线与的斜率均存在，分别记为，，且，求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标. 【答案】（1） （2）定点为，证明如下： ①当直线的斜率存在时，设其方程为 由得 所以，所以 ， 因为， 所以， 所以 即， 化简得 所以即 所以，或， 当时，直线的方程为， 直线恒过定点，不满足题意； 当时，直线的方程为 直线恒过定点，满足题意； 所以直线恒过定点. ②当直线的斜率不存在时，设其方程为， 由得，所以， 所以， 解得（舍去）或， 所以直线也过定点. 综上，直线恒过定点. 【解析】 【分析】（1）由题意得，再根据椭圆上的一点即可求标准方程； （2）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，利用韦达定理求出与的斜率，并结合，列方程可得参数之间的关系，进而可求定点. 【小问1详解】 因为椭圆：的长轴为双曲线的实轴， 所以，所以椭圆：， 又因为椭圆过点，所以，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 略 18. 某大学外语系有5名大学生参加南京青奥会翻译志愿者服务，每名大学生都随机分配到奥体中心体操和游泳两个比赛项目的场馆（每名大学生只参加一个项目的服务）. （1）求5名大学生中恰有2名被分配到体操项目的概率； （2）设分别表示5名大学生分配到体操、游泳项目的人数，记，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】（1）；（2）分布列见解析；. 【解析】 【分析】（1）把名大学生都随机分配到奥体中心体操和游泳两个比赛项目的场馆共有种不同的分配方法，其中恰有名被分配到体操项目的分法有种，作比即可求得所求的概率； （2）分析题意可知的所有可能取值是，分别根据取每个值所对应的的值及其意义求得概率，得到随机变量的分布列和数学期望. 【详解】解：（1）设5名学生中恰有名被分到体操项目的事件为（）， 则. （2）的所有可能取值是1,3,5， ， ， ， 则随机变量的分布列为 1 3 5 故随机变量的数学期望. 19. 已知函数（，常数）． （1）当时，求的单调递增区间； （2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可； （2）求出函数的导数，问题转化为，令，求出函数的导函数，根据函数的单调性求出的最小值，进而求出的取值范围即可． 【小问1详解】 时，，， 令，解得或， 故的递增区间是； 【小问2详解】 若函数在上单调递增， 故在恒成立， 故， 令，则， 令，解得，令，解得， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 故的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $