精品解析：重庆市杨家坪中学2024-2025学年高二上学期11月月考数学试题

重庆市杨家坪中学2024-2025学年高二上学期11月月考数学试题 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 外离 3. 已知两条直线：，则（ ） A. 或 B. C. D. 4. 正四面体ABCD的棱长为1，点为CD的中点，点为AM的中点，则BO的长为（ ） A. B. C. D. 5. 椭圆的左、右焦点分别记为，过左焦点的直线交椭圆于A、B两点.若弦长|AB|的最小值为3，且的周长为8，则椭圆的焦距等于（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6. 在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱的中点，则点到直线AE的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与圆，点，在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，，当取最小值时，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的焦点为，直线与椭圆交于M、N，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆，则椭圆的（ ） A. 焦点在轴上 B. 长轴长为 C. 短轴长为 D. 离心率为 10. 下列命题正确的有（ ） A. 已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为 B. 向量在向量上的投影向量的模为 C. 为空间任意一点，若，若四点共面，则 D. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是 11. 已知点在圆上运动，则（ ） A. 的取值范围是 B. 的最小值是 C. 的最大值为 D. 若直线，则满足到直线的距离为的点有3个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线关于点对称的直线方程为______. 13. 直线被圆截得的弦长为，则_________. 14. 已知棱长为的正方体内有一内切球，点在球的表面上运动，则的取值范围为______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线. （1）求过直线与的交点，且与直线垂直的直线的方程； （2）求过点，且圆心在直线上的圆的方程. 16. 已知直线，椭圆. （1）求证：对于任意实数，直线过定点，并求出点坐标； （2）当时，求直线被椭圆截得的弦长. 17. 如图，正方形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，平面平面平面ABCD，且. （1）求证：平面ABCD； （2）求平面ABF与平面EBF夹角的余弦值. 18. 如图1，在边长为4的菱形ABCD中，，点M，N分别是边BC，CD的中点，.沿MN将翻折到的位置，连接PA，PB，PD，得到如图2所示的五棱锥. （1）在翻转过程中是否总有平面平面PAG？证明你的结论； （2）设点E为线段PA的中点，点在线段BE上，且，当四棱锥MNDB的体积最大时，是否存在满足条件的实数，使直线MQ与平面PAB所成角的正弦值的最大值.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆．已知点到的距离是点到的距离的倍． （1）求点的轨迹的方程； （2）过点作直线，交轨迹于，两点，，不在y轴上． （i）过点作与直线垂直的直线，交轨迹于，两点，记四边形的面积为，求的最大值； （ii）设轨迹与轴正半轴的交点为，直线，相交于点，试证明点在定直线上，求出该直线方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市杨家坪中学2024-2025学年高二上学期11月月考数学试题 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将直线的一般式改成斜截式，根据倾斜角和斜率的关系，即可求出结果 【详解】根据题意可知直线可可变形为 故直线的斜率为， 设直线倾斜角为， 由可得. 故选：B 2. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 外离 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆心距与两圆半径的和、差比较可得． 【详解】由题意圆标准方程为， 所以，半径分别为，， ，因此两圆外切， 故选：C． 3. 已知两条直线：，则（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线平行充要条件即可判断， 【详解】由题意知，则，解之可得或（舍）. 故选：D 4. 正四面体ABCD的棱长为1，点为CD的中点，点为AM的中点，则BO的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，将用基底表达出来，再求向量模即可求解. 【详解】设， 因为正四面体ABCD的棱长为1，由题意可知 ，因为点为CD的中点，点为AM的中点， 所以， ， 因为， 所以. 故选：A 5. 椭圆的左、右焦点分别记为，过左焦点的直线交椭圆于A、B两点.若弦长|AB|的最小值为3，且的周长为8，则椭圆的焦距等于（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过焦点的弦长最小时，弦所在直线与轴（长轴）垂直，此时弦长为，焦点（弦边另一个焦点）的周长为，由此求得，得结论． 【详解】由题意可知，焦距等于2 故选：B． 6. 在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱的中点，则点到直线AE的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以D为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求点线距． 【详解】以D为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则,，， ，则方向的单位向量， 那么，所以F到直线AE的距离， 故选：D． 7. 已知直线与圆，点，在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，，当取最小值时，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由切线长公式知当时，最小，结合点到直线距离公式求得的最小值，然后作关于直线的对称点，可知当点为直线与的交点时，最小，由对称知此时与重合，从而易得最小值． 【详解】，所以当时，最小， 由点到直线的距离公式可得此时 ， 过作直线的对称点，再连接，与直线的交点即为所找的点， 由于关于直线对称，，与关于直线对称， 因此与就是同一条直线，即点就是点， 所以的最小值等于， 故选：C． 8. 已知椭圆的焦点为，直线与椭圆交于M、N，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由椭圆对称性知，原点O为MN的中点，进而可求得，由直线斜率可求得，根据椭圆定义即可求出椭圆的离心率. 【详解】由椭圆对称性知，原点O为MN的中点， 因为，所以， 所以，则， 又直线MN的倾斜角为，， 所以 则，又， 所以，所以. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆，则椭圆的（ ） A. 焦点在轴上 B. 长轴长为 C. 短轴长为 D. 离心率为 【答案】BD 【解析】 【分析】求出椭圆的、、的值，结合椭圆的几何性质逐项判断即可. 【详解】在椭圆中，，，， 对于A选项，椭圆的焦点在轴上，A错； 对于B选项，椭圆的长轴长为，B对； 对于C选项，椭圆的短轴长为，C错； 对于D选项，椭圆的离心率为，D对. 故选：BD. 10. 下列命题正确的有（ ） A. 已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为 B. 向量在向量上的投影向量的模为 C. 为空间任意一点，若，若四点共面，则 D. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】由特殊情况判断A，根据投影向量的求法判断B，由空间四点共面的性质判断C，根据直线斜率与倾斜角的关系判断D. 【详解】对A，当时，可得，此时，向量夹角为，不符合题意，但，故A错误； 对B，向量在向量上的投影向量 为，所以投影向量的模为，故B正确； 对C，，可得，若四点共面，则，解得，故C正确； 对D，由，当时，直线方程为，倾斜角，当时，可得斜率，由或，可得或，由，可得或，综上，可知，故D正确. 故选：BCD 11. 已知点在圆上运动，则（ ） A. 的取值范围是 B. 的最小值是 C. 的最大值为 D. 若直线，则满足到直线的距离为的点有3个 【答案】AD 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式列式求解判断AB；利用两点间的距离求出最大值判断C；求出圆心到直线距离判断D. 【详解】圆的圆心，半径， 对于A，令，由直线与圆有公共点，得，解得，A正确； 对于B，令，由直线与圆有公共点，得，解得，B错误； 对于C，表示圆上的点与定点 距离的平方与3的差，而，则的最大值为，C错误； 对于D，点到直线的距离为， 因此直线与圆相交，且经过圆的一条半径的中点，则到直线的距离为的点有3个，D正确. 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线关于点对称的直线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】设直线关于点对称的直线任一点为，根据点对称代入即可求解. 【详解】设直线上任一点关于点对称的直线任一点为， 可得，解之可得， 所以在直线上，代入即可得， 化简的，即. 故答案为： 13. 直线被圆截得的弦长为，则_________. 【答案】0或10 【解析】 【分析】由圆方程得出圆心和半径，再由弦长公式以及点到直线距离公式计算可得结果. 【详解】易知圆的圆心为，半径为 设圆心到直线的距离为，由弦长公式可得，解得； 所以圆心到直线的距离， 解得或. 故答案为：0或10 14. 已知棱长为的正方体内有一内切球，点在球的表面上运动，则的取值范围为______________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，即可表示出，结合图象及球的性质求出的取值范围. 【详解】以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设点，所以，， 所以 ， 因为表示点与点之间距离的平方， 所以当点的坐标为时，取得最大值为， 当与点重合时，取得最小值，所以的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线. （1）求过直线与的交点，且与直线垂直的直线的方程； （2）求过点，且圆心在直线上的圆的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出交点坐标，由平行得直线斜率，由点斜式得直线方程并整理； （2）设出圆的一般方程，代入已知条件列方程组求解． 【小问1详解】 由解得，，即直线与的交点为， 直线的斜率为直线的斜率， 直线的方程为，即：. 【小问2详解】 设圆的方程为， 则由题意有， 解得，， 所以，圆的方程为. 16. 已知直线，椭圆. （1）求证：对于任意实数，直线过定点，并求出点坐标； （2）当时，求直线被椭圆截得的弦长. 【答案】（1） 因为，整理可得， 由，解得， 此时，不管取何值，必成立. 所以直线必过定点. （2） 【解析】 【分析】（1）整理直线方程，建立方程组，可得答案； （2）联立直线方程与椭圆方程，写出韦达定理，利用弦长公式，可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，直线的方程为， 设直线与椭圆的交点为， 由，消去得：， ，， . 17. 如图，正方形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，平面平面平面ABCD，且. （1）求证：平面ABCD； （2）求平面ABF与平面EBF夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：如图，过点E作于，连接HD. 正三角形BCE的边长为. 平面平面ABCD，平面BCE， 平面平面平面ABCD， 又平面， 四边形EHDF为平行四边形.， 平面平面平面ABCD. （2） 【解析】 【分析】（1）过点E作于，连接HD，先证明四边形EHDF为平行四边形，从而可得，利用直线与平面平面的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用平面ABF与平面EBF夹角的余弦值的向量公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面ABCD，且ABCD为正方形， 以点坐标为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图. 则， . 设平面ABF的法向量为， 由，得， 令，则，所以平面ABF的法向量. 设平面EBF的法向量为， 由，得， 令，则，所以平面EBF的法向量. 设平面ABF与平面EBF的夹角为， 则. 所以平面ABF与平面EBF夹角的余弦值为. 18. 如图1，在边长为4的菱形ABCD中，，点M，N分别是边BC，CD的中点，.沿MN将翻折到的位置，连接PA，PB，PD，得到如图2所示的五棱锥. （1）在翻转过程中是否总有平面平面PAG？证明你的结论； （2）设点E为线段PA的中点，点在线段BE上，且，当四棱锥MNDB的体积最大时，是否存在满足条件的实数，使直线MQ与平面PAB所成角的正弦值的最大值.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 是，证明：点M，N分别是边BC，CD的中点，∴ 又菱形ABCD中，， ∴是等边三角形， ∴是MN的中点，∴. ∴ ∵在菱形ABCD中，，即  平面PAG， ∴平面PAG， 平面，∴平面平面PAG. （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由菱形易得,再证,即可得平面PAG，从而有平面平面PAG. （2）四棱锥的体积最大，则点到平面MNDB的距离最大.通过建立空间直角坐标系，求出平面PAB的法向量，表示出，将直线MQ与平面PAB所成角为的正弦表示成的函数再求最大值及的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意知，四边形MNDB为等腰梯形，且， 所以等腰梯形MNDB的面积. 要使得四棱锥的体积最大，只要点到平面MNDB的距离最大即可. 以点为坐标原点，GA、GM、GP所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图. 则， 点为线段PA的中点，， 设，则， ， 设平面PAB的法向量为， 由，得， 令，则，所以平面PAB的法向量. 又， 设直线MQ与平面PAB所成角为，则. 当且仅当时，取得最大值. 19. 古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆．已知点到的距离是点到的距离的倍． （1）求点的轨迹的方程； （2）过点作直线，交轨迹于，两点，，不在y轴上． （i）过点作与直线垂直的直线，交轨迹于，两点，记四边形的面积为，求的最大值； （ii）设轨迹与轴正半轴的交点为，直线，相交于点，试证明点在定直线上，求出该直线方程． 【答案】（1）； （2）（i）； （ii）由题可得，设，， 联立，消得，， 则，， 所以直线OP的方程为，直线CQ的方程为， 联立，解得， 则， 所以， 所以点N在定直线上． 【解析】 【分析】（1）设，根据两点距离公式建立方程，整理即可求解；（2）易知直线的斜率存在，设直线方程为，利用点到直线的距离公式和几何法求弦长表示；（i）结合点线距公式、基本不等式和三角形面积公式，分类讨论当时的取值范围即可；（ii）设，，直线方程联立圆得方程，利用韦达定理表示，同时表示和的方程，求出交点的坐标即可证明． 【小问1详解】 设点，由题意可得， 即，化简得， 所以点P的轨迹的方程为； 【小问2详解】 由题可知直线的斜率存在， 设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， （i）若，则直线的斜率不存在， 易得，，则， 若，则直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， 则 ， 当且仅当即时，取等号，又，所以的最大值为； （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $