第3章圆 解答题优生辅导训练 2024-2025学年北师大版九年级数学下册

2024-2025学年北师大版九年级数学下册《第3章圆》解答题优生辅导训练（附答案） 1．仅用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹． (1)如图，为的弦，画一条与长度相等的弦； (2)如图，正五边形内接于圆，请作出一条直径； 2．如图，已知的内接正十边形，交，于，，求证： (1)； (2)． 3．如图，的直径垂直弦于点E，F是圆上一点，D是的中点，连结交于点G，连结． (1)求证：． (2)若，，求的长． 4．已知：如图，内接于，为直径，的平分线交于点，交于点，于点，且交于点，连结、． (1)求证：； (2)求证：． 5．如图，是的直径，弦与点，已知，点为线段上任意一点，（点不与、重合），连接并延长与交于点，连接、、． (1)求的长； (2)与满足什么关系？并说明理由； (3)若，求的值． 6．已知四边形内接于，． (1)如图1，连接，若的半径为6，，求的长； (2)如图2，连接，若，，对角线平分，求的长． 7．在中，为直径，为上一点．    (1)如图①，过点作的切线，与的延长线相交于点，若，求的大小； (2)如图②，为上一点，且经过的中点，连接并延长，与的延长线相交于点，若，求的大小． 8．如图，在中，弦，点E在上，延长至点F，使，延长至点G，连结，使，． (1)连结，求证：． (2)若，为直径，求的度数． (3)连结，求证：． 9．已知是的直径，和是的两条切线，与相切于点E，分别交于D、C两点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接并延长交于点F，连接．若，，求图中阴影部分的面积． 10．如图，在中，，以为直径的分别与交于点D，E，过点D作，垂足为点F． (1)求证：直线是的切线； (2)求证：； (3)若⊙O的半径为4，，求阴影部分的面积． 11．如图，在一张四边形的纸片中，，，，以点为圆心，为半径的圆分别与交于点． (1)求证：与相切； (2)过点B作的切线；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (3)若用剪下的扇形围成一个圆锥的侧面，能否从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面？ 12．如图，、是圆O的两条直径，且，点E是上一动点（不与点B，D重合），连接并延长交的延长线于点F，点P在上，且，连接，分别交，于点M，N，连接． (1)求证：是圆O的切线； (2)设圆O的半径为4，在点E的移动过程中，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 13．如图，已知点是以为直径的上一点，于点，过点作的切线交直线于点，点为的中点，连接并延长交于点，射线交的延长线于． (1)则与的数量关系为_________； (2)求证：是的切线； (3)若，求的值． 14．如图，在的边上取一点O，以O为圆心，为半径画，与边相切于点D，，连接OA交于点E，连接，并延长交线段于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径； (3)在（2）的条件下，若F是的中点，求的值． 15．如图1，已知外一点P向作切线，点A为切点，连接并延长交于点B，连接并延长交于点C，过点C作，分别交于点E，交于点D，连接． (1)求证：； (2)如图2，当时， ①求的度数； ②连接，若点B关于直线的对称点为Q，连接．请直接写出的值． 16．已知：为的直径，弦交于点H，点F为弧上一点，连接交于点E，交于点G，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，连接，当，，时，求的长． 17．已知钝角三角形内接于，E、D分别为的中点，连接． (1)如图1，当点A、D、O在同一条直线上时，求证：． (2)如图2，当A、D、O不在同一条直线上时，取的中点F，连接交于点G，当时． ①求证：是等腰三角形； ②如图3，连并延长交于点H，连接．求证：． 18．如图，已知四边形内接于，连接交于点E，且平分． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，求证，是等边三角形； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折得到的射线交线段于点M，交于点N，若，求线段的长． 19．定义：如果一个四边形的一组对角互余，那么我们称这个四边形为“对角互余四边形”． (1)如图1，在对角互余四边形中，，且．若，求四边形的面积和周长． (2)如图2，在四边形中，连接，点O是外接圆的圆心，连接，求证：四边形是“对角互余四边形”； (3)在（2）的条件下，如图3，已知，，，连接，求线段的长． 20．如图，等腰中，，为的直径，交于点D，弦于点E； (1)如图1，求证：； (2)如图2，交于点G，连接交直径于点H，求证：； (3)如图3，过点H作于点N，若，，求的长． 参考答案： 1．（1）解：与长度相等的弦如图所示： （2）解：直径如图所示： 2．（1）证明：如图所示，连接，则， ∵是内接正十边形的边长， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵内接正十边形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（1）证明：∵是的中点， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连结， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∵直径， ∴． 4．（1）证明：平分， ， ， ； （2）证明：为的直径， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 5．（1）解：如图所示，连接， ∵直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图所示，连接， ∵， ∴， ∵是的直径，， ∴，即是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点O作，连接， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴同理可得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴． 6．（1）解：， 是直径， ∵的半径为6， ． 在中，由勾股定理，得， ∵ ∴， ； （2）解：如图2，连接，作于H， ，，， ． 平分， ， ， ． 四边形内接于，， ， 在中，由根据勾股定理，得， ∴， ∴． ， ∴是等腰直角三角形， 同理可得． 在中，， ． 7．（1）解：如图，连接，    ∵与相切于点， ∴，即， ∵， ∴， 在中，， ∴． （2）解：∵为的中点， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 8．（1）证明：∵弦， ，， ∴． ， ． （2）解：连接如图， 为直径， ． ， ． ． （3）证明：连结EC， ，都是所对的圆周角， ． ， ． 又，， ． ． ， ． 9．（1）证明：连接、、，如图所示： ∵和是它的两条切线， ∴，， ∴， ∴， ∵切于，则， 又∵， ∴平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，如图2所示： ∵，， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在，， ∴， 中，，， ∴图中阴影部分的面积． 10．（1）证明：如图，连接，则是的半径， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴直线是的切线； （2）解：连接，则， ∵， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴； （3）解：连接，过点O作于点H， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ． 11．（1）证明：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵的半径为， ∴是的半径， 又， ∴是的切线； （2）如图，作线段的垂直平分线，交于点，作直线，则即为所求， 理由，∵ ， ∴ ∴是直角三角形，且 ∴是的切线； （3）解：∵ ∴， ∴ 则圆锥的底面圆的半径为 如图，连接交于点，过点作 于点，交于点，过点作于点，则与相切， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 由（1）可知之间的距离为， ∴, ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ 设的半径为，则， ∴ 解得 ∴, ∴， ∴， ， ∵， 又， ∴， 即， ∵． ∴能从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面． 12．（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴是的切线； （2）解：是定值，理由见详解， 连接， ∵，、是圆O的两条直径， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是定值． 13．（1）解：与的数量关系为． 过点作的切线交直线于点， ， ， ， ，， ，， ， 点为的中点， ， ． 与的数量关系为． 故答案为：． （2）证明：连接，，，如图， 为圆的切线， ， ， 为直径， ． 由（1）知：， 为斜边上的中线， ． 在和中， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线； （3）解：连接，，如图， 由（2）知：， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 设圆的半径为，则，，． 在中， ， ， ． 在中， ， ， （不合题意，舍去）或． ． 在中，． 14．（1）证明：连OD， 在和中， ， ， ， 与相切， ， ， ， ， 为半径， 是切线； （2）解：连接OD， ，， ， ， ， ， ， ， ， 半径为； （3）解：为的中点，， ， ， ， ， ， ∴， ， ， 15．（1）证明：如图1，∵切于点A，是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图2，连接， ①∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ②存在．如图2，过点B作交于Q，连接， 由①得：， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴． 16．（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴； （2）解：∵为的直径，； ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点G到和的距离相等 ∴， ∴， ∴． 17．（1）证明：∵D是的中点，点A、D、O在同一条直线上， ∴， ∴， ∴， ∵E、D分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． （2）证明：①∵E、D分别为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形． ②延长交于点N，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵°， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．（1）证明：平分， ， 弧弧， ， 弧弧， ， ， ； （2）证明：如图：弧弧， ，且， ， ， 且， 为等边三角形； （3）解：如图：设， 为等边三角形， ， ， 弧弧， ， ， 弧弧， ， 弧弧， ， ， ， ， ， ， 在上截取，且， 是等边二角形， ， ，且， ， ， ． 19．（1）解：如图1， ∵四边形是对角互余四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为，周长为； （2）证明：如图2，延长交于点E，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是“对角互余四边形”； （3）解：如图3，作于点F，使点F与点A在直线的异侧， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段的长是． 20．（1）证明：连接， ∵是直径， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解:如图,连接. 设则 ∵， ∴， ， ， ， ， ∵是直径, , ， ，即， 解得或 (舍去)， ，， ， ∵， ∴， ∴，即， 解得：． 学科网（北京）股份有限公司 $$