3.4圆周角和圆心角的关系 解答题优生辅导训练 2024-2025学年北师大版九年级数学下册

2024-2025学年北师大版九年级数学下册《3.4圆周角和圆心角的关系》 解答题优生辅导训练（附答案） 1．如图，是半径为6的上的四点，且满足． (1)求证：是等边三角形． (2)直接写出圆心到的距离的长度． 2．如图，为的直径，为弦，于点，连接并延长交于点，连接交于点，，连接． (1)求证：： (2)若，求的长． 3．如图，在中，为弦，为直径，且于点，连接，过点作于点与相交于点，连接． (1)求证：是线段的中点． (2)若，求的半径． 4．如图，是的直径，弦与点，已知，点为线段上任意一点，（点不与、重合），连接并延长与交于点，连接、、． (1)求的长； (2)与满足什么关系？并说明理由； (3)若，求的值． 5．如图，的两条弦与互相垂直，于点E． (1)求证； (2)设的半径为R，求证：． 6．如图，是的直径，为上一点，连接并延长至点，使得，连接交于点，连接，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 7．如图，内接于，点D为弦的中点，连接，延长交弦的延长线于点E，与弦交于点F，与交于点G，已知． (1)求的半径； (2)求证：； (3)若，求的长． 8．已知是的弦，且，弦于点E． (1)如图1，若点C是劣弧的中点，，求的长； (2)如图2，若点C是优弧的中点，，求的长． 9．（1）【知识感悟】如图1，线段交于点，且，过点作交AC于点，求证；． （2）【知识应用】如图2，是等边三角形的外接圆，为上任意一点，连接并延长交的延长线于点E，交于点，连接，求证：． 10．圆内接四边形如图所示，直径于点E，的延长线交于点F，连接． (1)求证：． (2)已知，，求的半径长． (3)在（2）的条件下，若G是的中点，求的长． 11．如图，在中，将沿弦所在直线折叠，折叠后的弧与直径相交于点，连接． (1)若点恰好与点重合，则______； (2)判断的形状，并说明理由； (3)若，且，则______． 12．已知，四边形内接于，延长交于点P，且． (1)若， ①求证：． ②当时，求的度数（用含n的代数式表示）． (2)若，的半径为3，求的最大值． 13．如图，在中，直径垂直弦于点，连接，作于点，交线段于点（不与点重合），连接． (1)若，求的长． (2)求证：． (3)若，猜想的度数，并证明你的结论． 14．如图1，四边形内接于，为直径，上存在点，满足，连结并延长交的延长线于点，与交于点． (1)若，请用含的代数式表示． (2)如图2，连结，．求证：． (3)在（2）的条件下，若，，求的周长． 15．如图1，四边形内接于，，点C在上，于点F．    (1)连，设为x度，为y度，写出y关于x的函数表达式． (2)如图2，作于点G，连接并延长交于点H．若，求的长． 16．如图，内接于，交于点，连接．     (1)如图，求证：平分； (2)如图，延长交于点，连接，交于点，，求的度数； (3)如图，在（）的条件下，若，，求弦的长． 17．如图1所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接，求证：． [初步探索]．小明同学思考如下：将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，可得三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题： 根据小明的思路，若圆的半径为5，则的最大值为 ． [类比迁移]．如图2所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与重合），连接，若圆的半径为5，求周长的最大值． [拓展延伸]．如图3所示，等腰，点在圆上，，圆的半径为5，连接，求的最小值． 18．在中，为的直径，弦于点，弦 于点，与 交于点． (1)如图，求证：； (2)如图，连接，求证：； (3)如图，在（）的条件下，过点 作交 于 点，连接交于点，若，的面积为，求的长． 19．在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，已知，，是的外接圆，点D在上（），连接． 【特殊化感知】 （1）如图1，若，点D在延长线上，则与的数量关系为______； 【一般化探究】； （2）如图2，若，点C、D在同侧，判断与的数量关系并说明理由； 【拓展性延伸】； （3）若，直接写出满足的数量关系 20．问题提出 如图①，、是的两条弦，，是的中点，，垂足为，求证：． 小敏在解答此题时，利用了“补短法”进行证明，她的方法如下： 如图②，延长至，使，连接、、、、． （请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．） 推广运用 如图③，等边内接于，，是上一点，，，垂足为，则的周长是 ． 拓展研究 如图④，若将“问题提出”中“是的中点”改成“是的中点”，其余条件不变，“”这一结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，写出、、三者之间存在的关系并说明理由． 参考答案： 1．（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． （2）连接，并延长，交于点，连接， 则：， ∴， 在中，，， ∴． 2．（1）证明：∵， ∴， ∵所对的圆周角是， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∵与点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，设， ∴，， ∴， ∵是的直径，， ∴， ∴， ∵与点， ∴， 在中，， ∴， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴，， ∴． 3．（1）证明：， ． ， ． ∵， ∴， ． ∵， ， ， 是线段的中点． （2）解：如图，连接． 设，则． 由（1），知， ． ， ，即， 解得（负值已舍去）， ∴的半径为． 4．（1）解：如图所示，连接， ∵直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图所示，连接， ∵， ∴， ∵是的直径，， ∴，即是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点O作，连接， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴同理可得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴． 5．解：（1）作直径，连接， 则有，， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的中点， 且为的中点， 在中，， ． （2）由（1）可知， 的半径为R， ， ，为直角三角形， ． 6．（1）证明：是的直径， ， ， ， ， ； （2）解：是的直径， ， ， ， 在中，， 设，则， ， ， ， ， ，， ， 在中，， ， 解得：或（舍去）， ． 7．（1）解：∵点D为弦的中点，O为圆心，， ∴， 设⊙O的半径为r， 则， ∵， ∴， ∴． ∴的半径为5； （2）证明：延长交于点K，连接，如图， ∵为的直径， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴； （3）解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴． 由（1）知：， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， ∴． 8．（1）解：延长、相交于点，连接， 是劣弧的中点， ， ， ， ，， ， 、、、四点共圆， ， ， ， ； （2）解：连接、、与相交于点， 是优弧的中点， ， ， ，， ， ，， ， ，， ， ， ． 9．证明：（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由①+②得，， ∴； （2）构造的外接圆，记为，延长交于点，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴， 由得，， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．（1）证明：如图，连接交于点M， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵弦于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与都是所对的圆周角， ∴， ∴， ， ； （2）解：如图，连接 设的半径长为，则， ∵弦于点， ∴ ， ∵在中，， ∴， ∴或（舍去）， ∴的半径长为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵G是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．（1）解：作出与相等的，当点恰好与点重合时，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 即， ∴， 故答案为：； （2）解：为等腰三角形，理由如下： 由（）可知，， ∴为等腰三角形； （3）解：过点作于，则，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（1）①证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴； 解：②∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∴． ∴； （2）解：过点A作于点E，如图，设， ∵， ∴， 由勾股定理得： ， ， ∴ ． 在中， ∵， ∴． ∵直径是圆中最长的弦， ∴当为直径时，取最大值， ∵的半径为3， ∴当时，的最大值为：． 13．（1）解：直径垂直弦， ， ， ， ， ， 由圆周角定理得， ， 在和中， ， ， ； （2）证明： 是的直径， ， 在和中， ， ， ， ， 由（1）知， ， 又 ， ； （3）解：，证明如下： 如图，连接，    ， ， 直径垂直弦， ，， 又 ， ， ， 设，， 则，   ， ， 又 ， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ，   ， 即， ， ． 14．（1）解：， ， ， ， 为直径， ， ； （2）证明：连接，如图， 为直径， ， ， ， ． 由（1）知：， ， ． 在△和△中， ， ， ． （3）解：连接，过点作于点，如图， ， ， ， ． ， ． 为直径， ， ， ． 为直径， ， ，． 由（2）知：， ， ，， 的周长． 15．（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴； ∵， ∴，    ∵设为x度， ∴， ∴， ∴ ， 即； （2）解：连接，，，、，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 16．（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴等于的半径， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； （3）解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 17．解：初步探索证明：由旋转得，，，， ， ， 、、三点在同一条直线上， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ； 是的弦，且的半径为5， 当经过圆心，即是的直径时，，此时的值最大， 的最大值是10， 故答案为：10． 类比迁移解：如图2，，， 是的直径，且圆心在上， ，， 将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，则，，， ， ， 、、三点在同一条直线上， ， ， 当经过圆心，即是的直径时，，此时的值最大， ， 的最大值是， ， 周长的最大值是． 拓展延伸解：如图3，连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接， ，， ， 连接、， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为． 18．（1）证明：∵为的直径，于点， ∴，， ∴，， ∴， ∵ 于点， ∴， ∴， ∴， 即， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∵于点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接，过点作于，则， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴四边形是平行四边形， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵的面积为， ∴， 即， 解得， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得，， ∴， ∴． 19．解：（1）∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵是的外接圆，点D在延长线上， ∴垂直平分，为直径， ∴，，， ∴， ∵，， ∴ ∴； 故答案为：； （2）如图所示，在上截取， ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴，则 ∴ ∵四边形是圆内接四边形， ∴ ∴； ∵，， ∴是等边三角形，则 ∴， 又∵ ∴ 在中 ∴ ∴， ∴ 即； （3）∵， ∴为的直径， ∵， ∴， ∴， 当点在上时，如图：在上截取， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点在上时，如图，延长至点，使， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 综上：或 20．解：问题提出：证明：如图2，延长至，使，连接、、、、， 是的中点， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ， ； 推广运用：解：如图3，截取，连接，，， 由题意可得：，， 在和中 ， ， ， ， ，则， ， ， 则的周长是， 故答案为：； 拓展研究：不成立，、、三者之间的关系：， 证明：延长交于点，连接，，，交于， 是的中点， ， 在和中，， ，， ，， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$