精品解析：广西玉林市第一中学、容县高级中学2024-2025学年高二上学期11月联考数学试题

2024年秋季期11月高二年级联考试题 数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、班别、考号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应的题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 圆的圆心坐标和半径分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 顶点在原点，准线方程为的抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 3. 双曲线的离心率为，则（ ） A. 1 B. C. D. 4. 如图，空间四边形中，，，，在线段上，且，点为中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 若两异面直线与的方向向量分别是，，则直线与的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 6. 已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 A. ＋＝1 B. ＋＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1 7. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A. ] B. C. D. 8. 已知直线与直线的交点为P，则点P到直线距离的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 直线，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，的倾斜角的范围是 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，到的距离为 10. 如图，在长方体中，，点为线段上动点（包括端点），则下列结论正确的是（ ） A. 当点为中点时，平面 B. 当点为中点时，直线与直线所成角的余弦值为 C. 当点在线段上运动时，三棱锥的体积是定值 D. 点到直线距离的最小值为 11. 如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（ ） A. 点在曲线上 B. 点在上，则 C. 点在椭圆上，若，则 D. 过作轴的垂线交于两点，则 三、填空题：本题共3题，每题5分，共15分. 12. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且，那么___________ 13. 已知抛物线的焦点为，点在上，且点到直线的距离为，则__________. 14. 已知为坐标原点，双曲线的左､右焦点分别为，点在以为圆心､为半径的圆上，且直线与圆相切，若直线与的一条渐近线交于点，且，则的离心率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知直线经过两条直线和的交点. （1）若直线与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线与直线平行，求直线的方程及此时直线与直线的距离. 16. 已知双曲线的两个焦点分别是，点是双曲线上的一点，． （1）求双曲线的标准方程 （2）写出该双曲线的实半轴长和虚半轴长、顶点坐标、离心率、渐近线方程． 17. 已知圆C的方程为：． （1）若直线与圆C相交于A、B两点，且，求实数a的值； （2）过点作圆C的切线，求切线方程． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，且直线与所成角的大小为. （1）求的长； （2）求点到平面的距离. 19. 已知点在椭圆上，椭圆的离心率. （1）求椭圆的方程； （2）若不过点的直线交椭圆于，两点，直线，的斜率分别为，且， ①求证：直线AB经过定点； ②求面积的取值范围（为坐标原点）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季期11月高二年级联考试题 数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、班别、考号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应的题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 圆的圆心坐标和半径分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，由此得到结果. 【详解】圆的方程可化为：，圆心坐标为，半径. 故选：C. 2. 顶点在原点，准线方程为的抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出的值，可得出抛物线的标准方程. 【详解】由题意可知，抛物线的开口向左，设抛物线的标准方程为， 则，所以，所以抛物线的标准方程为． 故选：D． 3. 双曲线的离心率为，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的基本量关系求解即可. 【详解】由题意，，即，解得. 故选：B 4. 如图，空间四边形中，，，，在线段上，且，点为中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的基本定理可得出关于、、的表达式. 【详解】因为为的中点，则， 因为，则， 因此，. 故选：B. 5. 若两异面直线与的方向向量分别是，，则直线与的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】B 【解析】 【分析】 设异面直线与所成的角为，根据，即可求解. 【详解】由题意，两异面直线与的方向向量分别是，， 可得，，， 设异面直线与所成的角为，则， 又因为，所以， 即直线与的夹角为. 故选：B. 6. 已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 A. ＋＝1 B. ＋＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1 【答案】D 【解析】 【详解】设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得. 【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力. 7. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A. ] B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出图形，求出直线过定点，数形结合再由圆心到直线的距离等于半径和斜率的定义求解即可； 【详解】曲线即为半圆：， 其图象如图所示， 曲线与轴的交点为，而直线为过的动直线， 当直线与半圆相切时，有，解得， 当直线过时，有， 因为直线与半圆有两个不同的交点，故， 故选：A. 8. 已知直线与直线的交点为P，则点P到直线距离的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出两直线所过定点，确定动点P的轨迹方程，结合圆上的点到定直线的距离的最值，即可求得答案； 【详解】直线，分别过定点，，且互相垂直，所以点P的轨迹是以为直径的圆（不含点），这个圆的圆心坐标为，半径为. 圆心到直线l距离为， 因此圆上的点到直线l距离最大值为，最小为，取得最小值时圆上点的坐标是，因此取值范围是. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 直线，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，的倾斜角的范围是 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，到的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出直线的斜率范围判断A；由两直线平行求出a判断B；由两直线垂直求出a判断C；由平行线间距离公式计算判断D. 【详解】对于A，当时，直线的斜率， 当时，的倾斜角， 当时，的倾斜角，A错误； 对于B，由，得，解得，故B正确； 对于C，由，得，解得，C正确； 对于D，当时，，直线， 到的距离为，D正确. 故选：BCD 10. 如图，在长方体中，，点为线段上动点（包括端点），则下列结论正确的是（ ） A. 当点为中点时，平面 B. 当点为中点时，直线与直线所成角的余弦值为 C. 当点在线段上运动时，三棱锥的体积是定值 D. 点到直线距离的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A；利用空间向量求出向量夹角余弦判断B；利用三棱锥体积公式判断C；利用空间向量求出点到直线的距离最小值判断D. 【详解】在长方体中，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， 对于A，，，，， ，即， 而平面，因此平面，A正确； 对于B，，，B错误； 对于C，由选项A知，点到平面的距离为，而的面积， 因此三棱锥的体积是定值，C正确； 对于D，，则点到直线的距离 ，当且仅当时取等号，D正确. 故选：ACD 11. 如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（ ） A. 点在曲线上 B. 点在上，则 C. 点在椭圆上，若，则 D. 过作轴的垂线交于两点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由“双纽线”定义判断A；由“双纽线”定义得到，再计算判断B；由“双纽线”定义和椭圆定义判断C；设，由勾股定理得到，再解方程判断D. 【详解】对于A，，由定义知，A正确； 对于B，由点在上，得， 化简得，解得，，B错误； 对于C，椭圆的焦点坐标恰好为与， 则，由，得， 则，，C正确； 对于D，设，则，而，则， 又， 则，化简得，解得，， 因此1，，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3题，每题5分，共15分. 12. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且，那么___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到直线的方向向量与平面法向量互相垂直，结合向量的数量积列出方程，即可求解. 【详解】由直线的方向向量为，平面的法向量为， 因为，可得直线的方向向量与平面法向量互相垂直，所以， 解得. 故答案为： 13. 已知抛物线的焦点为，点在上，且点到直线的距离为，则__________. 【答案】5 【解析】 【分析】由条件求点到抛物线的准线的距离，结合抛物线定义可得结论. 【详解】抛物线的准线方程为， 设点的坐标为，则， 因为点到直线的距离为， 所以点到准线的距离为， 由抛物线定义可得. 故答案为：. 14. 已知为坐标原点，双曲线的左､右焦点分别为，点在以为圆心､为半径的圆上，且直线与圆相切，若直线与的一条渐近线交于点，且，则的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，由此求出，，即可求出点坐标，代入，即可得出答案. 【详解】不妨设点在第一象限，连接，则， 故，， 设，因为，所以为的中点， ，故.， 将代入中，故，则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知直线经过两条直线和的交点. （1）若直线与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线与直线平行，求直线的方程及此时直线与直线的距离. 【答案】（1）； （2），. 【解析】 【分析】（1）求出两条直线的交点得，再利用直线垂直设的方程为，把代入方程即得. （2）由直线平行设直线的方程为，把代入方程即得，再求出平行线间距离. 【小问1详解】 由，解得，即直线和的交点为， 由直线与直线垂直，设直线的方程为， 把点代入方程得，解得， 所以直线的方程为. 【小问2详解】 由直线平行于直线，设直线的方程为， 把点代入方程得，解得， 所以直线的方程为，直线与直线的距离. 16. 已知双曲线的两个焦点分别是，点是双曲线上的一点，． （1）求双曲线的标准方程 （2）写出该双曲线的实半轴长和虚半轴长、顶点坐标、离心率、渐近线方程． 【答案】（1） （2） 解：由（1）知，双曲线的方程为，可得， 所以双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，顶点坐标为， 离心率为，渐近线方程为. 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用双曲线定义，得到，再由，求得，即可求得双曲线的方程； （2）由（1）中双曲线的方程，得到的值，结合双曲线的几何性质，即可求解. 【小问1详解】 解：因为双曲线的两个焦点分别是，所以双曲线的焦点在轴上， 又因为点是双曲线上的一点，且， 根据双曲线的定义，可得，所以， 又由，所以， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 略 17. 已知圆C的方程为：． （1）若直线与圆C相交于A、B两点，且，求实数a的值； （2）过点作圆C的切线，求切线方程． 【答案】（1）或； （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，结合点到直线的距离公式，以及垂径定理，即可求解； （2）结合切线的定义和点到直线的距离公式，即可分类讨论思想，即可求解． 【小问1详解】 圆的方程为：， 则圆的圆心为，半径为2， 直线与圆相交于、两点，且， 则，解得或； 【小问2详解】 当切线的斜率不存在时，直线，与圆相切， 切线的斜率存在时，可设切线为，即， 由切线的定义可知，，解得， 故切线方程为， 综上所述，切线方程为或． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，且直线与所成角的大小为. （1）求的长； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，然后求出，利用直线与所成角的大小为求出的长即可； （2）先求出平面的法向量，再根据点到面的距离公式求出距离即可. 【小问1详解】 因为平面，且， 所以建立如图分别以为轴的空间直角坐标系， 则，令，则， 所以， 所以， 因为直线与所成角的大小为，所以， 即，解得（舍）或者， 所以的长为2； 【小问2详解】 由（1）知， 令平面的法向量为，因为， 所以，令，则，所以， 又，所以， 所以点到平面的距离为. 19. 已知点在椭圆上，椭圆的离心率. （1）求椭圆的方程； （2）若不过点的直线交椭圆于，两点，直线，的斜率分别为，且， ①求证：直线AB经过定点； ②求面积的取值范围（为坐标原点）. 【答案】（1） （2）①证明：联立，消元整理得， 时， 设，，则，， AI 由， 得， 所以， 所以， 化简得，即， 所以或， 当时过点，不合题意，舍去， 所以，即，此时过定点. ② 【解析】 【分析】（1）由点在椭圆上、离心率定义、即关系求出即可； （2）①直曲联立得到出韦达定理，表示出斜率，化简得到与的关系即可； ②由弦长公式求出，再由点到直线的距离公式求出，然后结合基本不等式求出范围即可； 【小问1详解】 由题意得，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 ①略 ②此时，所以，设到直线的距离为， 则，， ， 当且仅当时，当时， 所以. 【点睛】方法点睛：本题第二问的第一小问求直线过定点时，需利用韦达定理化简得到与的关系；第二小问求面积范围时，结合基本不等式讨论即可； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $