精品解析：河南省商丘市商师联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷

2023~2024学年度高二下学期期中联考试卷 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册，选择性必修第三册第六章~第七章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数在处的导数为2，则（ ） A. B. 2 C. D. 2. 《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》三部贺岁片引爆了2024年春节电影市场．某电影院同时段播放这三部电影，小李和小王每人只能选择看其中的一场电影，则不同的选择方案有（ ） A. 2种 B. 3种 C. 6种 D. 9种 3. 已知等比数列满足，，则数列前7项的和为（ ） A. 256 B. 255 C. 128 D. 127 4. 设随机变量，若，则的最大值为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 5. 已知事件，，若，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 从中任取5个数字，记由这5个数字组成的无重复数字的五位数为，其中满足的五位数的个数为（ ） A. 126 B. 756 C. 1260 D. 7560 7. 已知数列满足，数列的前项和为，若对恒成立，则实数的最小值是（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 已知2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，则实数a的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是等差数列的前项和，，且，则（ ） A. 公差 B. C. D. 时，最小 10. 2024年3月，中华人民共和国全国人民代表大会与中国人民政治协商会议在北京召开（以下简称“两会”），两会结束后，5名人大代表A，B，C，D，E站成一排合影留念，则下列说法正确的是（ ） A. 若A与B相邻，则有48种不同站法 B. 若C与D不相邻，则有24种不同站法 C. 若B在E的左边（可以不相邻），则有60种不同站法 D. 若A不在最左边，D不在最中间，则有78种不同站法 11. 甲盒中装有3个蓝球、2个黄球，乙盒中装有2个蓝球、3个黄球，同时从甲、乙两盒中取出个球交换，分别记交换后甲、乙两个盒子中蓝球个数的数学期望为，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，若，则______． 13. 已知随机变量的分布列如下： 2 3 6 若随机变量满足，则______． 14. 若函数有两个零点，则实数的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知二项式且为常数的展开式中第7项是常数. （1）求的值； （2）若该二项式展开式中各项系数之和为，求展开式中的系数. 16. 已知函数的两个极值点满足. （1）求的值； （2）求在区间上的最值. 17. 为了迎接即将到来的生物实验操作考试，小李同学每天都要去实验室做两次实验.某天，他来到实验室，决定做实验或实验，已知小李同学做实验成功的概率为，做实验成功的概率为，假设每次做实验是否成功相互独立. （1）小李每次都随机等可能的从实验与实验中选择一个实验进行操作，求他两次实验恰好成功一次的概率； （2）小李同学决定进行2次实验操作，有以下两种方案， 方案一:第一次实验，小李随机等可能的选择实验或实验中的一种，若第一次实验成功，则第二次继续做第一次的实验，若第一次实验不成功，则第二次做另一个实验； 方案二:第一次实验，小李随机等可能的选择实验或实验中的一种，无论第一次实验是否成功，第二次都继续做第一次的实验. 若方案选择以及实验操作互不影响，以实验成功次数的期望值作为决策依据，你认为哪个方案更好? 18. 在数列中，，且. （1）求的通项公式； （2）记数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调区间； （2）设且，若存在，使得，试比较与的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023~2024学年度高二下学期期中联考试卷 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册，选择性必修第三册第六章~第七章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数在处的导数为2，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的定义，即可求解. 【详解】． 故选:A． 2. 《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》三部贺岁片引爆了2024年春节电影市场．某电影院同时段播放这三部电影，小李和小王每人只能选择看其中的一场电影，则不同的选择方案有（ ） A. 2种 B. 3种 C. 6种 D. 9种 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步计数原理即可得到答案. 【详解】依题意，每个人选择方案都有3种，所以两个人不同的选择方案有种， 故选：D． 3. 已知等比数列满足，，则数列前7项的和为（ ） A. 256 B. 255 C. 128 D. 127 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式，建立基本量的方程组求解，再应用前项和公式即可得. 【详解】设等比数列的公比为，因为，， 可得解得，， 所以数列前项的和. 故选：D. 4. 设随机变量，若，则的最大值为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项分布的数学期望得的范围，再根据二项分布方差运算公式结合二次函数的单调性求得的最大值. 【详解】随机变量，由得，解得. ， 易知二次函数的开口向下，对称轴为，所以在上单调递增， 于是时取得最大值，即最大值为. 故选：C. 5. 已知事件，，若，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件概率公式计算，注意在时，． 【详解】因为， 所以，， ， ，， ， 故选：C． 6. 从中任取5个数字，记由这5个数字组成的无重复数字的五位数为，其中满足的五位数的个数为（ ） A. 126 B. 756 C. 1260 D. 7560 【答案】B 【解析】 【分析】采用分步乘法计数原理，第一步先任取共有种取法，第二步按照已知条件的排列顺序排位共有种排法，最后求出乘积即可. 【详解】第一步：从9个数中任取5个数，有种取法； 第二步：将取出的5个数中最大的放中间数位，从余下的4个数字中取2个排在一端，余下的排在另一端，共有种排法， 所以符合条件的五位数有个. 故选：B. 7. 已知数列满足，数列的前项和为，若对恒成立，则实数的最小值是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列求出，求出，求出即可求解. 【详解】因为，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以， ，因为对恒成立， 所以，所以的最小值是1. 故选：B. 8. 已知2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，则实数a的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式定理将多项式进行展开，利用整除的性质即可得到结论. 【详解】 ， ∵能被11整除， ∴要使能被11整除，则能被11整除， ∵，∴，则，解得， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是等差数列的前项和，，且，则（ ） A. 公差 B. C. D. 时，最小 【答案】AD 【解析】 【分析】由等差数列的性质有，可得公差的符号和数列中项的正负，判断选项即可. 【详解】是等差数列的前项和，设公差为，，即， 得，所以，即， 有，因为，所以，所以，故A正确，B错误； ，故错误； 时，时，所以当时，取得最小值，故D正确. 故选：AD. 10. 2024年3月，中华人民共和国全国人民代表大会与中国人民政治协商会议在北京召开（以下简称“两会”），两会结束后，5名人大代表A，B，C，D，E站成一排合影留念，则下列说法正确的是（ ） A. 若A与B相邻，则有48种不同站法 B. 若C与D不相邻，则有24种不同站法 C. 若B在E的左边（可以不相邻），则有60种不同站法 D. 若A不在最左边，D不在最中间，则有78种不同站法 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用捆绑法求A与B相邻的排法数，判断选项A；利用插空法求C与D不相邻的排法数，判断选项B；根据倍缩法求B在E的左边的排法数，判断选项C；优先考虑的位置，结合排列知识和两大计数原理求A不在最左边，D不在最中间的排法，判断选项D. 【详解】若A与B相邻，则有种不同站法，A正确； 若C与D不相邻，则有种不同站法，B错误； 若B在E的左边（可以不相邻），则有种不同站法，C正确； 若A不在最左边，D不在最中间， 当A排在最中间时，满足条件的排法有种， 当A不排在最中间时，满足条件的排法有种， 故共有种不同排法，D正确. 故选：ACD. 11. 甲盒中装有3个蓝球、2个黄球，乙盒中装有2个蓝球、3个黄球，同时从甲、乙两盒中取出个球交换，分别记交换后甲、乙两个盒子中蓝球个数的数学期望为，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】按分别求出的分布列及期望，即可逐项判断得解. 【详解】X表示交换后甲盒子中的蓝球数，Y表示交换后乙盒子中的蓝球数， 当时，，，， 则，，AB正确； 当时，，， ，，， 因此，，C正确，D错误． 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】直接根据正态分布的对称性得到答案. 【详解】由正态分布的性质得. 故答案为：. 13. 已知随机变量的分布列如下： 2 3 6 若随机变量满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据随机变量的分布列求得a，即可求得的期望，由方差公式求得，根据方差的性质即可求得答案. 【详解】由分布列的性质可知，所以， 所以， 故， 因为，所以， 故答案为：32 14. 若函数有两个零点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】条件可转化为方程有两个根，令，可得函数的图象 与直线有两个交点，利用导数研究函数的性质及图象可得结论. 【详解】令， 所以. 令，，求导可得， 所以函数在上单调递增，且，所以， 令，则有两个零点等价于函数的图象与直线有两个交点. 因为， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以， 当时，，当时，， 则，解得，即实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知二项式且为常数的展开式中第7项是常数. （1）求的值； （2）若该二项式展开式中各项系数之和为，求展开式中的系数. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用题给条件列出关于的方程，解之即可求得的值； （2）先利用题给条件求得a的值，进而即可求得展开式中的系数. 【小问1详解】 二项式的展开式中第7项为 ， 由题意得，解得. 【小问2详解】 令，得，所以或， 解得，或（舍去）. 该二项式展开式通项为 ， 令，解得， 故展开式中的系数为. 16. 已知函数的两个极值点满足. （1）求的值； （2）求在区间上的最值. 【答案】（1） （2）最大值为36，最小值为-16 【解析】 【分析】（1）有2个极值点等价于导函数有2个零点，根据条件运用韦达定理求解； （2）根据导函数求出的单调区间，根据单调性以及闭区间两端的函数值求解. 【小问1详解】 ，令，则有2个零点，显然 ， 由韦达定理得 ，又代入①得： ， 再代入②得： ， ，符合题意， ； 【小问2详解】 ，得下表： -1 2 0 0 单调递减 极小值-16 单调递增 极大值11 单调递减 又， ， 所以在区间上的最大值为36，最小值为-16； 综上，，在区间上的最大值为36，最小值为-16. 17. 为了迎接即将到来的生物实验操作考试，小李同学每天都要去实验室做两次实验.某天，他来到实验室，决定做实验或实验，已知小李同学做实验成功的概率为，做实验成功的概率为，假设每次做实验是否成功相互独立. （1）小李每次都随机等可能的从实验与实验中选择一个实验进行操作，求他两次实验恰好成功一次的概率； （2）小李同学决定进行2次实验操作，有以下两种方案， 方案一:第一次实验，小李随机等可能的选择实验或实验中的一种，若第一次实验成功，则第二次继续做第一次的实验，若第一次实验不成功，则第二次做另一个实验； 方案二:第一次实验，小李随机等可能的选择实验或实验中的一种，无论第一次实验是否成功，第二次都继续做第一次的实验. 若方案选择以及实验操作互不影响，以实验成功次数的期望值作为决策依据，你认为哪个方案更好? 【答案】（1） （2）方案一略好 【解析】 【分析】（1）记选择实验为事件，选择实验为事件，实验成功为事件，利用全概率公式求出，再由独立重复试验的概率公式计算可得； （2）记和分别是方案一与方案二中实验成功的次数，则、的取值均为，，，求出相应的概率，计算出期望，即可判断. 【小问1详解】 记选择实验为事件，选择实验为事件，实验成功为事件， 则 所以. 所以两次实验恰好成功一次的概率. 【小问2详解】 记和分别是方案一与方案二中实验成功的次数，则、的取值均为，，， 所以， ， ， 所以. ， ， ， 所以. 因为，所以方案一略好. 18. 在数列中，，且. （1）求的通项公式； （2）记数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，然后根据累加法结合条件即可求解； （2）利用错位相减法求出，然后根据恒成立分类讨论即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以，即， 当时， ， 所以，又符合， 所以； 【小问2详解】 由题意知， ， 两式相减得， 所以，若不等式对任意的恒成立， 当，时，则， 所以，当，时， 则，所以，即， 所以，即的取值范围为. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调区间； （2）设且，若存在，使得，试比较与的大小. 【答案】（1） 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. （2） 【解析】 【分析】（1）先求导函数,再分和两种情况讨论判断正负确定单调区间; （2）根据已知设,把二元问题转化为关于的函数,结合单调性得证. 【小问1详解】 由题意得的定义域为，且. 若，在上恒成立，故在上单调递增； 若，因为，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 由题意得， ， ， 设，设，则， 所以在上单调递增，所以当时，，即， 又，且，所以，所以，即， 又在上单调递增，所以，即. 【点睛】关键点点睛: 把二元转化为一元，构造新函数，结合导函数性质证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $