精品解析：河南省新乡市名校2024-2025学年高三上学期阶段性诊断测试（期中）数学试题

高三阶段性诊断测试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容（立体几何、解析几何、数列除外）. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 下列命题既是真命题又是存在量词命题的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知选项A、D为全称量词命题，令可得选项B正确，根据二次根式的概念可得选项C错误. 【详解】根据题意可知，选项A、D为全称量词命题，选项B、C为存在量词命题. 当时，，选项B为真命题. 当时，，选项C为假命题. 故选：B. 2. 若与均为定义在上的奇函数，则函数的部分图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分析的奇偶性，然后直接判断即可. 【详解】因为与均为定义在上的奇函数， 所以， 又因为的定义域为且关于原点对称， 且， 所以为偶函数， 故图象关于轴对称且，符合要求的只有选项B， 故选：B. 3. 已知函数，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据的表达式，即可结合根式以及分式的性质求解. 【详解】, 由且，得且， 所以函数的定义域是. 故选：D 4. 将本不同的杂志分成组，每组至少本，则不同的分组方法数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不平均分组问题，结合排列组合即可求解. 【详解】依题意可得分组的本数分配只有种，即，，， 则不同的分组方法数为. 故选：C 5. 设的实部与虚部相等，且实部不为，的虚部是实部的倍，且在复平面内对应的点位于第三象限，则“在复平面内对应的点位于第一象限”是“在复平面内对应的点位于第二象限”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据“在复平面内对应的点位于第一象限”与“在复平面内对应的点位于第二象限”互相推出的情况判断属于何种条件. 【详解】根据题意，不妨设，， 若在复平面内对应的点位于第一象限，则， 则， 所以的实部，虚部，故对应点在第二象限， 所以“在复平面内对应的点位于第一象限”可以推出“在复平面内对应的点位于第二象限”； 若在复平面内对应的点位于第二象限，由上可知， 所以且，可得，所以在复平面内对应的点位于第一象限， 所以“在复平面内对应的点位于第二象限”可以推出“在复平面内对应的点位于第一象限”； 由上可知，属于充要条件， 故选：C. 6. 函数的所有零点的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的零点与两函数的交点横坐标的关系，借助于函数图象的对称性，即可求得. 【详解】由可得， 则函数的零点即函数与函数在上的交点的横坐标. 对于函数，其最小正周期为， 当时，函数单调递减，函数值从3减小到-3, 当时，函数单调递增，函数值从-3增大到3. 类似可得函数在区间上的图象变化情况. 如图分别作出和在上的图象如下. 由图可知，两函数在上的图象关于直线对称， 故两者的交点与也关于直线对称， 故 即函数的所有零点的和为 故选：C. 7. 定义非空数集的“和睦数”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合的“和睦数”是，的“和睦数”是，的“和睦数”是1.对于集合，其所有非空子集的“和睦数”的总和为（ ） A. 82 B. 74 C. 12 D. 70 【答案】A 【解析】 【分析】分别列举子集，根据“和睦数”的定义，即可求解每种情况的“和睦数”，相加即可求解. 【详解】，非空子集有个. 当子集为单元素集，，，时，“和睦数”分别为1，2，3，6，和为12； 当子集为双元素集，，，，，时， “和睦数”分别为3，4，7，5，8，9，和为36； 当子集为三元素集，，，时， “和睦数”分别为4，7，8，7，和为26； 当子集为四元素集时，“和睦数”为. 故“和睦数”的总和为. 故选：A 8. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用幂函数、指数函数、对数函数的性质计算大小即可. 【详解】因为，所以在上均单调递增， 所以，即， 对于，构造函数， 易知时，，即此时函数单调递增，则， 所以， 因为在上单调递增，所以， 综上. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 2019~2023年快递业务量及其增长速度如图所示，则（ ） A. 2019~2023年快递业务量逐年上升 B. 2019~2023年快递业务量的极差为685.5亿件 C. 2019~2023年快递业务量的增长速度的分位数为 D. 2019~2023年快递业务量的增长速度的平均数为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图像和百分位数的计算公式依次判断每个选项即可. 【详解】对A：由图可知：2019~2023年快递业务量逐年上升，故A正确； 对B：2019~2023年快递业务量的极差为：（亿件），故B正确； 对C：因为，所以2019~2023年快递业务量的增长速度的分位数为，故C错误； 对D：由，故D正确. 故选：ABD 10. 已知函数的极小值点为1，且的极小值为，则（ ） A. B. C. 有3个零点 D. 直线与的图象有2个公共点 【答案】AC 【解析】 【分析】运用导数值为0来计算判定A,B，借助导数研究函数单调性，极值，结合图像可判定C,D. 【详解】由函数的极小值点为1，得，则，得，A正确. 又且的极小值为，则，得，B错误. 或， 在，上单调递增，在上单调递减，则的极大值为， 画出草图，所以有3个零点，直线与的图像仅有1个公共点，C正确，D错误. 故选：AC. 11. 已知，，且不等式恒成立，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】AB 【解析】 【分析】由，令，利用基本不等式求的最小值，即可求得的取值范围. 【详解】由，，则不等式， 令， 则， 又，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； 则，当且仅当时，等号成立； 又，当且仅当，即时，等号成立； 故，当且仅当时，等号成立； 所以，解得， 因此可得的最小值为，的最大值为， 故选：AB. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，，若，则与夹角的余弦值为__________. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算律和向量的夹角公式计算即可. 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为： 13. 将一副三角板按如图所示的位置拼接：含角的三角板的长直角边与含角的三角板的斜边恰好重合.与相交于点.若，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角板的内角以及边长利用三角恒等变换和等面积法即可得. 【详解】由题可知. 由可得： ， 则， 解得. 故答案为： 14. 已知函数的定义域为，，且.若关于x的不等式在上有解，则a的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用赋值法求出函数的解析式，再代入，转化不等式为在上有解，参变分离转化为求函数的最值问题即可求解. 【详解】令，则， 令，则，则， 所以在上有解，即在上有解， 即存在，使得即， 而函数在上单调递减， 当时，取得最小值，因此， 所以a的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在上的值域为. （1）求； （2）将的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象，求的解析式与单调递增区间. 【答案】（1） （2），单调递增区间为() 【解析】 【分析】（1）采用换元法令，先分析的单调性，然后根据的最小值求解出的值； （2）先根据图象变换求解出的解析式，然后根据单调递增区间的公式结合整体替换法求解出的单调递增区间. 【小问1详解】 因为，所以， 令，因为，所以， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，，当时，， 所以，且， 所以. 【小问2详解】 的图象上所有点的横坐标变为原来的可得， 的图象上所有点的纵坐标变为原来两倍可得； 令， 所以， 所以的单调递增区间为(). 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性. 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【解析】 【分析】（1）求导函数，利用导数的几何意义可得直线的斜率，即可由点斜式得直线的方程； （2）求导函数，即可对讨论求解. 【小问1详解】 当时，， 则，则. 因为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 的定义域为，. 当时，当时，，故在上单调递减. 当时，令，得， 当时，，则在上单调递增. 当时，，则在上单调递减. 综上，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减. 17. 的内角，，的对边分别为，，，已知，. （1）若，求及； （2）若的面积为，求内切圆的半径. 【答案】（1）， （2）当时，； 当时， 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理可求解，即可根据正弦定理得，利用弦切互化，结合二倍角公式即可求解， （2）根据面积公式可得，即可分类求解，进而利用等面积法求解半径. 【小问1详解】 因为，，所以， 所以， 又，所以. 由，得， 所以. 【小问2详解】 因为的面积， 所以， 故 当时，， 当时，， 则或. 内切圆的半径. 当时，； 当时，. 18. 某工厂打算购买2台设备，该设备有一种易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个200元.在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件，价格为每个320元.在使用期间，每台设备需要更换的零件个数T的分布列为 4 5 6 7 0.3 0.2 0.4 0.1 表示2台设备使用期间需更换的零件个数，代表购买2台设备的同时购买易损零件的个数. （1）求的分布列； （2）以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，试问在和中，应选择哪一个? 【答案】（1） 8 9 10 11 12 13 14 0.09 0.12 0.28 0.22 0.2 0.08 0.01 （2）应选 【解析】 【分析】（1）由每台设备需更换零件个数的分布列求出的所有可能值，并求出对应的概率即可得解； （2）分别求出和时购买零件所需费用的期望，比较大小即可作答. 【小问1详解】 由题意，的可能取值为8，9，10，11，12，13，14， 则， ， ， ， ， ， ， 则的分布列为： 8 9 10 11 12 13 14 0.09 0.12 0.28 0.22 0.2 0.08 0.01 【小问2详解】记为当时购买零件所需费用，的可能取值为2000，2320，2640，2960，3280， 则，， ， ， ， 则. 记为当时购买零件所需费用，的可能取值为2200，2520，2840，3160， 则，， ， ， ， 显然， 所以应选择. 19. 设函数定义域为，若，，则称为“循环函数”. （1）试问函数是否为“循环函数”？说明你的理由. （2）已知函数，证明：存在常数，使得为“循环函数”. （3）已知对任意，函数，都满足. . ①证明：为“循环函数”； ②若，证明：当时，. 【答案】（1） ，是“循环函数”. 当，则， 当时，，则. 当时，，； 因此对任意的，都有， 故是“循环函数”. （2） 根据题意可知函数， 显然，， 易知函数的定义域为，要使任意满足， 那么， 因此不妨令， 当时，，     则，     所以存在常数，使得为“循环函数”. （3）①由题意得对，恒成立， 所以存在常数，使得. 令，得解得，. 由，得为“循环函数”. ②若，则，. 要证明， 所以即证， 即证， 不妨设， 显然， 所以导函数， 显然当时，导函数，此时函数单调递增； 当时，导函数，此时函数单调递减； 所以， 设， 因此，， 显然当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 故, 即， 所以， 即， 即． 【解析】 【分析】（1）直接利用“循环函数”的定义证明即可； （2）由函数的定义域与值域一致，确定常数的值，然后验证“循环函数”的定义即可； （3）先联立方程，结合利用赋值法得到，，①利用“循环函数”的定义证明即可；②先求出的解析式，然后构造函数求最值求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①略 ②略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤： (1)作差或变形； (2)构造新的函数； (3)利用导数研究的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三阶段性诊断测试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容（立体几何、解析几何、数列除外）. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 下列命题既是真命题又是存在量词命题的是（ ） A. B. C. D. 2. 若与均为定义在上的奇函数，则函数的部分图象可能为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 将本不同的杂志分成组，每组至少本，则不同的分组方法数为（ ） A. B. C. D. 5. 设的实部与虚部相等，且实部不为，的虚部是实部的倍，且在复平面内对应的点位于第三象限，则“在复平面内对应的点位于第一象限”是“在复平面内对应的点位于第二象限”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 函数的所有零点的和为（ ） A. B. C. D. 7. 定义非空数集的“和睦数”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合的“和睦数”是，的“和睦数”是，的“和睦数”是1.对于集合，其所有非空子集的“和睦数”的总和为（ ） A. 82 B. 74 C. 12 D. 70 8. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 2019~2023年快递业务量及其增长速度如图所示，则（ ） A. 2019~2023年快递业务量逐年上升 B. 2019~2023年快递业务量的极差为685.5亿件 C. 2019~2023年快递业务量的增长速度的分位数为 D. 2019~2023年快递业务量的增长速度的平均数为 10. 已知函数的极小值点为1，且的极小值为，则（ ） A. B. C. 有3个零点 D. 直线与的图象有2个公共点 11. 已知，，且不等式恒成立，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，，若，则与夹角的余弦值为__________. 13. 将一副三角板按如图所示的位置拼接：含角的三角板的长直角边与含角的三角板的斜边恰好重合.与相交于点.若，则___________. 14. 已知函数的定义域为，，且.若关于x的不等式在上有解，则a的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在上的值域为. （1）求； （2）将的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象，求的解析式与单调递增区间. 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性. 17. 的内角，，的对边分别为，，，已知，. （1）若，求及； （2）若的面积为，求内切圆的半径. 18. 某工厂打算购买2台设备，该设备有一种易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个200元.在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件，价格为每个320元.在使用期间，每台设备需要更换的零件个数T的分布列为 4 5 6 7 0.3 0.2 0.4 0.1 表示2台设备使用期间需更换的零件个数，代表购买2台设备的同时购买易损零件的个数. （1）求的分布列； （2）以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，试问在和中，应选择哪一个? 19. 设函数定义域为，若，，则称为“循环函数”. （1）试问函数是否为“循环函数”？说明你的理由. （2）已知函数，证明：存在常数，使得为“循环函数”. （3）已知对任意，函数，都满足. . ①证明：为“循环函数”； ②若，证明：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $