3.2.2 双曲线的简单几何性质（第二课时）课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.2 双曲线 3.2.2 双曲线的简单几何性质 （第二课时） 一 二 三 学习目标 进一步掌握双曲线的方程及其性质的应用,会判断直线与椭圆的位置关系 能解决与双曲线有关的弦长及中点弦问题 能利用双曲线的知识解决简单的实际问题. 学习目标 复习回顾 图象 范围 对称性 顶点 渐近线 离心率 或 或 关于坐标轴和原点都对称 双曲线的简单几何性质 性质 双曲线 关于坐标轴和原点都对称 典例解析 例4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面(图3.2-10).它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高为55m.试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1m). A′ A O x y B′ B C′ C 解：根据双曲线的对称性，在冷却塔的轴截面所在平面建立如图所示的直角坐标系Ozy,使小圆的直径AA'在x轴上，圆心与原点重合. 这时,上、下口的直径BB’ ,CC'都平行于x轴，且|CC′| =13×2 , ǀBB′ǀ=25×2. 设双曲线方程为 典例解析 例5 F O x y l d M H • 解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，动点M的轨迹就是点的集合 x y . F F' O M . . 1.定点——双曲线的焦点； 定直线——双曲线的准线； 常数e——双曲线的离心率. 2.双曲线与准线位置关系： 3.焦点到准线的距离： 左准线 右准线 双曲线的第二定义： 新知拓展 例6 动点M(x, y)与定点F(4, 0)的距离和M到定直线l : 的距离的比是常数 求动点M的轨迹. 例5 问题1 将本例与椭圆一节中的例6（P113）比较，你有什么发现？ 新知探究 新知拓展 圆锥曲线的统一定义： 巩固练习 课本P127 典例解析 例6 F2 O x y A B F1 • • • • 解1： 由双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0) 因为直线AB的倾斜角是30º，且经过右焦点F2, 典例解析 例6 F2 O x y A B F1 • • • • 解2： 新知探究 问题2 类比直线与椭圆的位置关系，直线与双曲线的位置关系会有哪几种？ y O 相离：无公共点 相切：1个切点 相交：2个交点 x (交于左支/右支/异支) 相交：1个交点 (直线与渐近线平行) O x y O x y O x y 新知探究 问题3 如何利用直线与双曲线的方程（代数法）来判断直线与双曲线的位置关系？ （以焦点在x轴上的双曲线 为例） (1)当直线斜率不存在时，设直线方程为x=m(x∈R) 直线与双曲线相离 ① ② 直线与双曲线相切 （切点为顶点） ③ 直线与双曲线相交 （交点在同支上） F2 O x y F1 • • (2)当直线斜率存在时，设直线方程为x=kx+m(k,m∈R) 新知探究 消去y得，(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0 (＊) ① 此时直线为渐近线，则(＊)无解，直线与双曲线相离 此时直线与渐近线平行，(＊)为一元一次方程，有唯一解； 直线与双曲线相交（一个交点） F2 O x y F1 • • (2)当直线斜率存在时，设直线方程为x=kx+m(k,m∈R) (b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0 (＊) 新知探究 ② (＊)为二元一次方程， 计算△得值，根据△的值来判断直线与双曲线的位置关系： (i)△＜0 方程无实数根 相离 没有公共点 (ii)△=0 方程有唯一实数根 相切 一个公共点 (iii)△＞0 方程有两实数根 相交 两个公共点 如何判断两个交点在同支上还是异支上？ 新知探究 以上过程可用框图表示如下：（直线斜率存在且为非渐近线时） 把直线方程代入双曲线方程 得到一元一次方程 得到一元二次方程 直线与双曲线的 渐近线平行 相交（一个交点） 计 算 判 别 式 △>0 △=0 △<0 相交 相切 相离 一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支 典例解析 【例】已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取值范围,使直线与双曲线： (1)没有公共点; (2)有两个公共点; (3)只有一个公共点; (4)交于异支两点； (5)与左支交于两点. 巩固练习 课本P127 巩固练习 课本P127 能力提升 x y o . . N M 解法一 能力提升 解法二 x y o . . N M 能力提升 x y o . . N M 课堂小结 本节课你学会了哪些主要内容？ 1.双曲线性质的应用 2.双曲线的第二定义 3.双曲线与直线的位置关系 $$