精品解析：山东省临沂市郯城县美澳学校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

高二数学阶段性检测试题 （满分：150分　时间：120分钟） 注意事项： 1、答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2、回答选择题时，选择每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：（本大题共8小题，每题5分，共40.0分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 已知椭圆的焦点在轴，焦距为，且长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线经过定点P，直线经过点P，且的方向向量，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，且与垂直，则与的夹角为（ ） A. 60° B. 30° C. 135° D. 45° 5. 已知平面α的一个法向量，点在内，则到平面的距离为（ ） A. 10 B. 3 C. D. 6. 一束光线，从点出发，经轴反射到圆上的最短路径的长度是（ ） A. B. C. D. 7. 直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 8. 若直线与直线交于点，则到坐标原点距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有一个或多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.） 9. 关于直线，以下说法正确的是（ ） A. 直线l过定点 B. 时，直线l过第二，三，四象限 C. 时，直线l不过第一象限 D. 原点到直线l的距离的最大值为1 10. 已知圆和圆相交于、两点，下列说法正确的为（ ） A. 两圆有两条公切线 B. 直线的方程为 C. 线段的长为 D. 圆上点，圆上点，的最大值为 11. 我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆，，，，为顶点，，为焦点，P为椭圆上一点，下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有（ ） A. B. C. 轴，且 D. 四边形的内切圆过焦点， 三、填空题（本大题共3小题，共15.0分） 12. 已知椭圆的离心率等于，则实数__________. 13. 已知点在直线上，则的最小值为__________. 14. 正方体棱长为1，为该正方体外接球表面上的两点，在正方体表面且不在直线上，若，则的最小值为__________． 四、解答题（本大题共5小题，15题13分，16\17题各15分，18\19题各17分共77.0分） 15. 如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，. （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，，求的值. 16. 已知的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在的直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0. 求（1）AC所在的直线的方程； （2）点B的坐标． 17. 已知圆的圆心坐标，直线被圆截得弦长为． （1）求圆的方程； （2）从圆外一点向圆引切线，求切线方程． 18. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，且长轴长为8，为椭圆是异于，的点，满足的周长为12． （1）求椭圆的标准方程； （2）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值． 19. 已知三棱柱中，，，，． （1）求证：平面平面ABC； （2）若，在线段AC上是否存在一点P，使二面角的平面角的余弦值为？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学阶段性检测试题 （满分：150分　时间：120分钟） 注意事项： 1、答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2、回答选择题时，选择每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：（本大题共8小题，每题5分，共40.0分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，进而求出倾斜角. 【详解】变形为，故斜率为， 设直线倾斜角为，则， 因为， 故. 故选：C 2. 已知椭圆的焦点在轴，焦距为，且长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆焦点在轴，设出方程，结合题干条件列出方程组，求出，得到椭圆方程. 【详解】因为椭圆的焦点在轴，所以设椭圆方程为， 则，且， 解得：， 所以椭圆的标准方程为. 故选：D 3. 已知直线经过定点P，直线经过点P，且的方向向量，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，设上一点为，其中与不重合，根据的方向向量，求出，进而利用两点式，求出直线方程. 【详解】对化简得，，得，解得，点， 又直线经过点P，且的方向向量，可设上一点为，其中与不重合， 则，解得，故利用两点式，可得的直线方程为： . 故选：B 4. 已知，且与垂直，则与的夹角为（ ） A. 60° B. 30° C. 135° D. 45° 【答案】D 【解析】 【分析】由向量垂直及数量积的运算律求得，根据向量的夹角公式求夹角的大小. 【详解】由题设， 所以，而， 所以. 故选：D 5. 已知平面α的一个法向量，点在内，则到平面的距离为（ ） A. 10 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，，可得. 因为平面的一个法向量，点A在内， 所以到的距离为. 6. 一束光线，从点出发，经轴反射到圆上的最短路径的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作点关于轴对称点，连接交轴于点，交圆于点，根据三角形三边关系可确定为所求的最短距离，由可求得结果. 【详解】由圆的方程可得：圆心坐标，半径， 设点关于轴对称点为，则， 连接交轴于点，交圆于点，则为所求的最短距离， 证明如下：任取轴上一点，则（当且仅当三点共线时取等号）， ， 即最短路径的长度为. 故选：A. 7. 直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线为轴，则设CA=CB=1，则 ，，A（1，0，0），，故，，所以，故选C. 考点：本小题主要考查利用空间向量求线线角，考查空间向量的基本运算，考查空间想象能力等数学基本能力，考查分析问题与解决问题的能力. 8. 若直线与直线交于点，则到坐标原点距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】两直线均过定点且垂直，则交点P在以两定点为直径的圆上，由数形结合可求最值. 【详解】两直线满足，所以两直线垂直， 由得，过定点， 由得，过定点， 故交点P在以AB为直径的圆C上，其中，如图所示， 则线段OP的最大值为. 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有一个或多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.） 9. 关于直线，以下说法正确的是（ ） A. 直线l过定点 B. 时，直线l过第二，三，四象限 C. 时，直线l不过第一象限 D. 原点到直线l的距离的最大值为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】由确定定点坐标，根据a的符号判断直线所过的象限，根据时原点到直线l的距离的最大求最大距离. 【详解】由过定点，A正确； 当，过定点，斜率为负，故过第二、三、四象限，B正确； 当，过定点，且斜率为正，过一、二、三象限，故C错误； 要使原点到直线l的距离的最大，只需，即距离等于，D正确. 故选：ABD 10. 已知圆和圆相交于、两点，下列说法正确的为（ ） A. 两圆有两条公切线 B. 直线的方程为 C. 线段的长为 D. 圆上点，圆上点，的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】 由圆与圆相交可判断A；两圆方程作差可判断B；利用垂径定理可判断C；转化为圆心间的距离可判断D. 【详解】对于A，因为两圆相交，所以两圆有两条公切线，故A正确； 对于B，因为圆，圆， 两圆作差得即， 所以直线的方程为，故B错误； 对于C，圆的圆心为，半径为2， 则圆心到直线的距离， 所以，故C错误； 对于D，圆的圆心，半径为1， 所以，故D正确. 故选：AD. 11. 我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆，，，，为顶点，，为焦点，P为椭圆上一点，下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有（ ） A. B. C. 轴，且 D. 四边形的内切圆过焦点， 【答案】BD 【解析】 【分析】理解“黄金椭圆”的定义，利用椭圆的定义与性质，分析各个选项，求得对应的椭圆的离心率即可得解. 【详解】对于A，因为，所以，则或（舍去）， 解得，故A错误； 对于B，若，则由射影定理可得：， 即，所以，即， 又，解得，故B正确； 对于C，因为轴，不妨设，而， 又，则斜率相等，所以，即， 所以，故C错误； 对于D，因为四边形为菱形， 则四边形的内切圆的圆心为原点， 由圆的对称性可知，圆心到直线的距离等于， 因为，所以内切圆的半径为， 所以，又， 整理得：，， 又，解得，即，故D正确. 故选：BD. 【点睛】方法点晴：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解，但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 三、填空题（本大题共3小题，共15.0分） 12. 已知椭圆的离心率等于，则实数__________. 【答案】或 【解析】 【分析】 讨论椭圆焦点的位置，分两种情况求椭圆的离心率，再求实数的值. 【详解】当椭圆的焦点在轴时，，，， 所以，解得：， 当椭圆的焦点在轴时，，，， 所以，解得：. 故答案为：或 13. 已知点在直线上，则的最小值为__________. 【答案】5 【解析】 【分析】由题得表示点到点的距离，再利用点到直线的距离求解. 【详解】由题得表示点到点的距离. 又∵点在直线上， ∴的最小值等于点到直线的距离， 且. 【点睛】本题主要考查点到两点间的距离和点到直线的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 14. 正方体棱长为1，为该正方体外接球表面上的两点，在正方体表面且不在直线上，若，则的最小值为__________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由向量的共线定理可得三点共线，再利用向量加法和数乘的运算法则计算即可. 【详解】因为，所以三点共线， 又因为正方体棱长为1，所以该正方体外接球的半径， 所以 . 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，15题13分，16\17题各15分，18\19题各17分共77.0分） 15. 如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，. （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，，求的值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算求出即可； （2）根据向量的运算性质代入计算即可. 【小问1详解】 ， ， 故 ∵点E为AD的中点， 故. 【小问2详解】 由题意得， 故， 故 . 16. 已知的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在的直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0. 求（1）AC所在的直线的方程； （2）点B的坐标． 【答案】（1）2x＋y－11＝0；（2）B(－1，－3)． 【解析】 【分析】(1)根据题意设直线AC的方程为2x＋y＋t＝0，接着代点求解即可； （2）利用点B在直线BH，用点B坐标表示点M坐标，又点M在直线CM，点的坐标满足直线方程，列出方程组求解即可. 【详解】因为AC⊥BH， 所以设AC所在的直线的方程为2x＋y＋t＝0. 把A(5，1)代入直线方程2x＋y＋t＝0中，解得t＝－11. 所以AC所在的直线的方程为2x＋y－11＝0. （2）设B(x0，y0)，则AB的中点为. 联立得方程组， 化简得解得， 故B(－1，－3)． 【点睛】(1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件． (2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论． 17. 已知圆的圆心坐标，直线被圆截得弦长为． （1）求圆的方程； （2）从圆外一点向圆引切线，求切线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出圆的半径，由此可得出圆的方程； （2）对切线的斜率是否存在进行分类讨论，在第一种情况下，写出切线方程，直接验证即可；在第二种情况下，设出切线方程为，利用圆心到切线的距离等于圆的半径，由此可得出所求切线的方程. 【小问1详解】 解：圆心到直线的距离为， 所以，圆的半径为， 因此，圆的方程为. 【小问2详解】 解：当切线的斜率不存在时，则切线的方程为，且直线与圆相切，合乎题意； 当切线的斜率存在时，设切线方程为，即， 由题意可得，解得，此时，切线的方程为. 综上所述，所求切线的方程为或. 18. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，且长轴长为8，为椭圆是异于，的点，满足的周长为12． （1）求椭圆的标准方程； （2）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出椭圆的方程；（2）设出直线的方程为，利用“设而不求法”表示出，再表示出点到直线的距离，进而表示出，利用基本不等式求出面积的最大值． 【小问1详解】 由题意得，所以. 因为的周长为12，所以，所以， 故. 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 由题意，直线不与轴重合，故设直线的方程为， 由，得， ，即， ，．所以， 又点到直线的距离．所以， 所以（当且仅当时等号成立，且满足）. 故面积的最大值为． 19. 已知三棱柱中，，，，． （1）求证：平面平面ABC； （2）若，在线段AC上是否存在一点P，使二面角的平面角的余弦值为？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 由知：四边形为菱形． 连接，则，又且， ∴平面，平面，则； 又，即，而， ∴平面，而平面ABC， ∴平面平面ABC． （2）存在，， 【解析】 【分析】（1）连接，由线面垂直的判定有平面，根据线面垂直的性质，最后根据线面垂直、面面垂直的判定证结论. （2）构建空间坐标系，假设存在使题设条件成立，进而求得面、面的法向量，根据已知二面角余弦值及空间向量夹角的坐标表示列方程求，即可判断存在性. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以C为坐标原点，射线CA、CB为x、y轴的正向，平面上过C且垂直于AC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． ∵，，， ∴，，，． 设在线段AC上存在一点P，满足，使二面角的余弦值为，则， 所以，． 设平面的一个法向量为， 由，取，得； 平面的一个法向量为． 由，解得或． 因为，则． 故在线段AC上存在一点P，满足，使二面角的平面角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $