专题3.14 圆（5大考点15类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题3.14 圆（5大考点15类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】点和圆的位置关系 点在圆外，；点在圆上，；点在圆内，； 【知识点二】圆的对称性 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦、两条弧、两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 【知识点三】垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧. 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 【知识点四】圆周角和圆心角的关系 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角的一半. 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 推论2：直径所对的圆周角是直角；圆周角所对的弦是直径. 推论3：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角. 【知识点五】确定圆的条件 （1）经过两点可作无数个圆，这些圆的圆心在这两点连线的垂直平分线上. （2）不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 【知识点六】直线和圆的位置关系 直线和圆的位置关系：（圆心到直线距离为，圆的半径为） 相交：直线与圆有两个公共点，； 相切：直线与圆有一个公共点，； 相离：直线与圆无公共点，. 【知识点七】切线性质定理与判定定理 切线定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的判定方法 （1） 直线与交点个数； （2） 直线到圆心的距离与半径关系； （3） 切线的判定定理. 【知识点八】切线长定理 （1） 切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线，这两条切线的夹角. （2）弦切角定理： 弦切角等于它所夹弧所对的圆周角. 【知识点九】圆的外心与内心 （1）外心：三角形外接圆的圆心叫三角形的外心.外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等. （2）锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边重点，钝角三角形的外心在三角形外部。 （3）三角形的一个内角等于它另外两个角顶点与外心连线夹角的一半. （4）内心：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做内心，它的性质是到三角形三边的距离相等。 【知识点十】三角形内切圆半径与三角形三边关系 （1）三角形的一个内角等于它另外两个角顶点与内心连线夹角减去再乘以2.. （2）三角形周长为，面积为，内切圆半径为,则. （3）直角三角形两直角边分别是，斜边为，内切圆半径为，则. 【知识点十一】圆内接正多边形、弧长公式、扇形面积公式、圆锥的侧面积公积 （1）正变形的圆心角为度. （2）弧长计算公式：在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长计算公式为. （3）如果扇形的半径为，圆心角为，那么扇形面积的计算公式为. （4）如果扇形的半径为，弧长为，那么扇形面积的计算公式为. （5）圆锥的母线长为l，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则圆锥的侧面积， 圆锥的全面积:. 知识点与题型目录 【考点一】圆的有关性质 【题型1】圆及相关概念辨析...................................................4 【题型2】点和圆的位置关系...................................................7 【题型3】圆的对称性........................................................10 【题型4】垂径定理及推论....................................................14 【题型5】圆周角和圆心角关系................................................19 【题型6】确定圆的条件......................................................26 【考点二】点和圆、直线和圆的位置关系 【题型7】直线和圆的位置关系................................................30 【题型8】切线的性质与判定综合..............................................34 【题型9】切线长定理........................................................39 【考点三】圆内接正多边形 【题型10】圆内接正多边形...................................................43 【考点四】弧长与扇形面积 【题型11】利用弧长公式求值.................................................45 【题型12】利用扇形公式求值.................................................49 【题型13】求圆的不规则图形面积.............................................52 【考点五】直通中考与拓展延伸 【题型14】直通中考.........................................................56 【题型15】拓展延伸.........................................................63 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】圆及相关概念辨析 【例1】（24-25九年级上·全国·课后作业）下列结论中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） ①直径是圆中最长的弦； ②长度相等的两条弧是等弧； ③面积相等的两个圆是等圆； ④等弧所对的圆心角相等； ⑤同圆中，两条相等的弦所对的弧相等； ⑥顶点在圆上的角是圆周角； ⑦将圆绕一点旋转一个角度可以和自身重合； ⑧圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴； ⑨半圆是弧； ⑩过圆心的线段是直径． 【答案】①③④⑨ 【分析】本题主要考查圆的有关性质．根据弦、直径、等圆、等弧的概念判断即可． 解：①直径是圆中最长的弦，说法正确； ②在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，原说法错误； ③面积相等的两个圆是等圆，说法正确； ④等弧所对的圆心角相等，说法正确； ⑤同圆中，两条相等的弦所对的优弧相等，劣弧相等，原说法错误； ⑥圆周角的定义包括两个基本特征：一是顶点位于圆周上，二是角的两边都与圆相交，原说法错误； ⑦将圆绕圆心旋转一个角度可以和自身重合，原说法错误； ⑧圆是轴对称图形，每一条直径所在直线都是它的对称轴，原说法错误； ⑨半圆是弧，说法正确； ⑩过圆心且两端都在圆上的线段是直径，原说法错误； 故答案为：①③④⑨． 【变式1】（23-24九年级上·江苏无锡·期中）以下命题：（1）等弧所对的弦相等；（2）相等的圆心角所对的弧相等；（3）三点确定一个圆；（4）圆的对称轴是直径；（5）三角形的内心到三角形三边距离相等．其中正确的命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项． 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关定义及性质． 解：（1）等弧所对的弦相等，正确，符合题意； （2）同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原命题错误，不符合题意； （3）不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误，不符合题意； （4）圆的对称轴是直径所在的直线，故原命题错误，不符合题意； （5）三角形的内心到三角形三边距离相等，正确，符合题意； 正确的命题有2个， 故选：B．． 【变式2】（2024·吉林长春·模拟预测）如图，为半圆的一条弦（非直径），连结、，分别以、为圆心，大于一半的长为半径画弧，两弧交于点，连结，交于点，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形性质，由，，可得为线段的垂直平分线，即可判断；根据三线合一即可判断；由已知不能确定与圆的半径是否相等，即无法确定是否是等边三角形，即可判断；掌握线段线段垂直平分线的判定和性质是解题的关键． 解：∵，， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴为线段的垂直平分线， ∴，，故选项正确； ∵，， ∴， 即，故选项正确； ∵由已知不能确定与圆的半径是否相等， ∴无法确定是否是等边三角形， 即无法确定是否等于，故选选不一定正确；故选：． 【变式3】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”．已知点A、B、C、D分别是“芒果”与坐标轴的交点，是半圆的直径，抛物线的解析式为，若，则图中 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，抛物线与坐标轴的交点问题，圆的知识，根据题意得，点坐标为，将点坐标代入抛物线的解析式为即可求得抛物线的解析式，令即可求得点的坐标，从而可求出的长，解题的关键是求出抛物线的解析式，从而求出点的坐标． 解：∵，是半圆的直径， ∴点坐标为，点坐标为， 将点坐标代入抛物线的解析式， 得，， 解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴点坐标为， ， ， 故答案为：． 【题型2】点和圆的位置关系 【例2】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，于点为的中点．   (1)以点为圆心，6为半径作圆，试判断点与的位置关系； (2)当的半径为多少时，点在上？ 【答案】(1)点A在上，点在内，点在外；(2)5. 【分析】 （1）各点到的距离与半径6作对比，大于半径的在圆外，等于半径的在圆上，小于半径的在圆内； （2）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得，所以当半径为5时，在上． 解:（1） 如图，在中，，，， ， 在上， ， ， ， ， 在内， ， 在外； （2） 在中，， 为的中点， ， 当的半径为5时，点在上； 【点拨】此题主要考查了点与圆的位置关系、直角三角形斜边上的中线的性质、勾股定理，解决本题要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． 【变式1】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知是线段上的两点，，以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使两点重合成一点C，构成，设，若以点B为圆心，为半径作，使点M和点N都在外，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三边关系、点与圆的位置关系、不等式组，比较基础．利用三角形的三边关系、点到圆心的距离与半径的关系分别列不等式，再求解即可． 解：在中， ， ， 解得：； ∵以点为圆心，为半径作圆，使点和点都在外， 且， ， ∴的取值范围是， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）在平面直角坐标系内，点，点B的坐标为，的半径为5．若点B在内，则a的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，点和圆的位置关系．设交轴于点，连接，利用勾股定理求得，根据点和圆的位置关系即可求解． 解：如图，设交轴于点，连接， ∵点，的半径为5， ∴，， ∴， 若点在内， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·全国·单元测试）在同一平面内，的半径是8，点不在上，若点到上的点的最小距离是，则点到上的点最大距离是 ． 【答案】13或19 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键． 由题意知，分点在内，点在外两种情况求解即可． 解：由题意知，分点在内，点在外两种情况求解； 当点在内，如图1， ∴，， ∴， ∴最大距离是13； 当点在外，如图2， ∴，， ∴， ∴最大距离是19； 综上所述，的半径是13或19； 故答案为：13或19． 【题型3】圆的对称性 【例3】（2023·安徽宣城·模拟预测）如图，内接于，D，E两点均在上，，，与的延长线相交于点F．   (1)求证： ； (2)若，，，求长． 【答案】(1)见解析; (2)15 【分析】（1）根据证明即可； （2）连接，证明，得出，根据，，，求出，即可求出． 解:（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：连接，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∴， 即． 【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，圆周角定理，三角形相似的判定和性质，解题的关键是熟练掌握同弧和等弧所对的圆周角相等． 【变式1】（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，为的直径，点C是弧的中点．过点C作于点G，交于点D，若，则的半径长是（　　） A．4 B．5.5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，弧、圆心角、弦之间的关系，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据垂径定理和点C是弧的中点得出，从而得出，再利用勾股定理进行求解即可． 解：连接，如图，设的半径为r， ∵， ∴，， ∵点C是弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴，解得， 即的半径为． 故选：C． 【变式2】（22-23九年级下·江苏南通·期末）如图所示，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是直径上一动点，若的直径为2，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】作点关于的对称点，连接交于点，连接，由三角形两边之和大于第三边即可得出此时最小，连接，根据点是半圆上一个三等分点、点是的中点，即可得出，再利用勾股定理即可求出的值，此题得解． 本题考查了圆心角、弧、弦的关系，轴对称中最短路线问题，三角形的三边关系以及勾股定理，根据三角形的三边关系确定取最小值时点的位置是解题的关键． 解：作点关于的对称点，连接交于点，连接， 此时最小，连接，如图所示．   点和点关于对称， ． 点是半圆上一个三等分点，点是的中点， ，， ． ， ． 故答案为：． 【题型3】垂径定理及推论 【例3】（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，为的直径，C是上一点， D是的中点，弦，垂足为F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2). 【分析】（1）利用垂径定理得到，根据题意得到，结合等量代换和弧、弦、圆心角的关系，即可证明； （2）连接，交于点，得到，证明，利用相似三角形性质和勾股定理求出，，，进而即可求出的长． 解:（1）为的直径，弦， ， D是的中点， ， ， ； （2）连接，交于点， D是的中点， ， 为的直径， ， ， ， 弦， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 【变式1】（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，是的弦，C是的中点． (1)连接，求证：垂直平分； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析; (2)5。 【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，熟练掌握辅助线的作法及数形结合的思想是解题关键． （1）由题意，有，运用垂径定理即可解得答案； （2）由（1）知，垂直平分，交点为，则，在中，利用勾股定理求得，设的半径为，则，，在中运用勾股定理解出答案． 解:（1）证明：如图， ∵C是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分． （2）解：由（1）知，垂直平分，交点为， ∵，， ∴， ∴在中，根据勾股定理，可知； 设的半径为， 则，， 在中， ，即， 解得：． 【变式2】（2024九年级上·江苏·专题练习）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 取的中点，作于点，取上的圆心，连接，设，利用勾股定理求解即可． 解：取的中点，作于点，取上的圆心，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， cm， 设，则， ∴， ∵cm， 在直角三角形中，， 即：， 解得： 故选：B． 【变式3】（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）一块含角的直角三角板和一块量角器如图摆放（三角板顶点A与量角器0刻度处重合），量角器与三角板交于点D，经测量知，点E为中点，点F为弧上一动点，则的最小值为（　　） A．9 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点到圆上的最值问题，等腰三角形的判定与性质，勾股定理及垂径定理，设量角器刻度处为点G，为半圆的直径，设的中点为O，则点O为圆心，连接，证明为等腰直角三角形，由当点O，E，F在一条直线上时，取得最小值，即可解答． 解：设量角器刻度处为点G，如图， 则为半圆的直径，设的中点为O，则点O为圆心，连接， ∵点E为中点， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵点F为弧上一动点， ∴当点O，E，F在一条直线上时，取得最小值． ∴的最小值为． 故选：C． 【变式4】（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，是的直径，点D是的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，的直径为10，则长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理；根据垂径定理求出，得到，证明，可得，利用勾股定理求出的长，再求出长，即可得到答案． 解：连接，如图： ，是的直径， ，， 为的中点， ， ， ， 的直径为10， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 故答案为：8． 【题型5】圆周角和圆心角关系 【例5】（24-25九年级上·浙江·期中）如图，已知是的直径，弦于点，弦于点，与交于点，，的延长线交于点．连接，． (1)直接写出图中所有与相等的角； (2)求证：； (3)若，求的长． 【答案】(1)有3个，分别是，，； (2)见解析；(3). 【分析】（1）由垂径定理推出垂直平分，因此，得到，由余角的性质得到，由圆周角定理得，即可证明；据此即可求解； （2）由和，可证明； （3）由，推出，令，则，得到，由勾股定理求出，进一步计算即可求解． 解:（1）直径， 垂直平分， ，， ， ， ， ， ， ， ， ∴与相等的角有3个，分别是，，； （2）证明：由（1）得， ∵， ∴； （3），， ， ， 令，则， ， ， ， ， 或， ， ， ， ． 【点拨】本题考查相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，关键是由推出，由勾股定理列出关于的方程． 【变式1】（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，内接于，是直径，，平分，则弦长为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，由题意知，，由勾股定理得，，则，由平分，可得，由，可得，由勾股定理得，，计算求解即可． 解：如图，连接， ∵是直径， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 故答案为：． 【点拨】本题考查了直径所对的圆周角为直角，角平分线，圆周角定理，勾股定理等知识．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，角平分线，圆周角定理，勾股定理是解题的关键． 【变式2】（22-23九年级上·江苏无锡·期中）如图，在圆内接四边形中，，，以为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若点的坐标为，则圆的直径长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的性质以及圆周角定理，得到线段为圆的直径是解答的关键．圆内接四边形中，相对的角互补，结合已知条件可求出的度数，从而判定为等腰直角三角形；根据勾股定理可得的值，进而得到圆的直径． 解：四边形是圆内接四边形， ， ， ， 又， ， ， 点的坐标为， ， ． ， 线段为圆的直径， 圆的直径为． 故答案为：． 【变式3】（2024·广西南宁·三模）如图，在的内接四边形中，，，，垂足为点E，则的长为 ．      【答案】1.5 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质以及勾股定理，相似三角形的判定和性质．过A作于点F，根据等腰三角形的性质以及勾股定理可得的长，再由，可得，根据勾股定理可得的长，然后根据，即可求解． 解：如图，过A作于点F，    ∵，， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 即， 解得：， 由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 故答案为：1.5． 【变式4】（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，是的内接三角形，是的直径，过点作交的延长线于点，点在上，连接，，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析; (2) 【分析】本题主要考查了圆周角、直角三角形两锐角互余、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练运用相关知识是解题关键． （1）首先根据“直径所对的圆周角为直角”可得，进而可得，即有，结合，可得，进一步可得，然后根据，可知，即可证明结论； （2）首先确定，再根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可知，结合易得，然后根据三角形内角和定理求解即可． 解:（1）证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型6】确定圆的条件 【例5】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）设x，y是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的外接圆面积为 ． 【答案】 【分析】设这个直角三角形的斜边为，根据勾股定理，得到，将其代入，解得，即得到这个直角三角形的外接圆直径，进而求得这个直角三角形的外接圆面积． 解：设这个直角三角形的斜边为， 由题意得，， ∵， ∴， 令， 则有，， 整理得，， 解得，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∵为直角三角形的斜边， ∴， ∵，， ∴， ∴这个直角三角形的外接圆直径为，半径为， ∴这个直角三角形的外接圆面积为， 故答案为：． 【点拨】本题考查了勾股定理，换元法解一元二次方程以及三角形的外接圆的相关性质及面积，灵活运用以上知识点是解题的关键． 【变式1】（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）方程的两个根是直角三角形的两边边长，则这个直角三角形的外接圆半径为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查解一元二次方程，勾股定理，直角三角形的外接圆，掌握直角三角形外接圆半径的求法是解题的关键． 先解一元二次方程求出直角三角形的两边边长，然后分两种情况求出斜边，最后利用直角三角形外接圆半径是斜边的一半求出答案即可． 解：∵ ， ∴， 则或， 解得 ． ∵方程的两个根分别是直角三角形两边边长， 当是两直角边长时， 则斜边长为， 这个直角三角形的外接圆半径为， 当是斜边边长时， 则另一条直角边长为， 则这个直角三角形的外接圆半径为， 故答案为：或． 【变式2】（24-25九年级上·河北沧州·期末）在一个六角形体育馆的一角内，用长为30的围栏设置一个运动器材储存区域（如图所示），已知，B是墙角线上的一点，C是墙角线上的一点，，则储存区域面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，作的外接圆，圆心为O，取中点H，作直线，分别与交于点两点，过点A作于点G，连接，则为的直径，根据是的外接圆，且点H为中点，证明是等边三角形，求出，设的半径为x，则，，在中，利用勾股定理求出，进而得到，根据三角形三边关系得到当点A，Q重合时，即点重合，有最大值，最大值为的长，即可解答． 解：如图，作的外接圆，圆心为O，取中点H，作直线，分别与交于点两点，过点A作于点G，连接， 则为的直径， 是的外接圆，且点H为中点， ，， ， 四边形是内接四边形，且， ， 是等边三角形， ， ， 设的半径为x，则，， 在中，，即， 解得：， ， ， ， 当点A，Q重合时，此时点重合，最大，最大值为的长， 此时，， 故选：C． 【点拨】本题考查了三角形外接圆的性质，垂径定理，三角形三边关系，等边三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线，利用三角形三边关系找到中边上高的最大值是解题的关键． 【变式3】（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，在中，，，，是的角平分线，过，，三点的圆与斜边交于点，连接． (1)求证：； (2)求外接圆的半径． 【答案】(1)证明见解析; (2) 【分析】（1）观察图形可以看出和这两条边分别在和两个三角形中，所以只要证明就可以解答． （2）用上述的结论，可推出的长，再证得，运用相似三角形的性质可得．从而可求得，即可求得．再由勾股定理求得，即可得出结果． 解:（1）证明：， 为直径， ． 是的角平分线， ． 在和中， ， ， ； （2）在中，，，， ． ，， ． ， ． ，， ， ． ，，，， ， ． 在中，，，， ， 的外接圆的半径为． 【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的外接圆，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题． 【题型7】直线和圆的位置关系 【例7】（23-24九年级下·全国·课后作业）已知的斜边，直角边，以点为圆心作． (1)当半径为________时，直线与相切； (2)当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为________； (3)当与线段没有公共点时，半径的取值范围为__________． 【答案】(1)； (2)或；(3)或． 【分析】（）如图作于，求出的值即可判断； （）当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为或 ； （）当与线段没有公共点时，半径的取值范围为或， 本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理，等面积法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 解：（1）如图作于，    在中，，，， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， ∴当半径时，直线与相切， 故答案为：； （2）观察图形可知， 当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为或 ， 故答案为：或； （3）观察图形可知， 当与线段没有公共点时，半径的取值范围为或，故答案为：或． 【变式1】（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以OA为直径在x轴上方作半圆，直线l的解析式为，若直线l与半圆只有一个公共点，则t的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查圆的切线，一次函数的图象和性质，直线l与x轴的夹角为，与半圆相切时，与半圆只有一个公共点，画出示意图，求出直线l与x轴的交点坐标，即可求解． 解：如图，当直线l：与半圆相切时，与半圆只有一个公共点，设圆心为B，切点为C，直线l与x轴的交点为D，连接， 点A的坐标为， 点B的坐标为， ， 直线l与半圆相切， ， 直线l：与x轴的夹角为， 是等腰直角三角形， ， ， 点D在x轴的负半轴， 点D的坐标为， 将代入，得， 解得． 故答案为：． 【变式2】（2021·四川成都·一模）如图，已知正方形ABCD中，两动点M和N分别从顶点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，再连接PC，若，则PC长的最小值为 ． 【答案】 【分析】先证明，得出，证出，得出点P在以AB为直径的圆上运动，运动路径一条弧，连接OC交圆O于P，此时PC最小，，由勾股定理求出，得出即可． 解：由题意得：， ∵四边形ABCD是正方形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，运动路径一条弧，是这个圆的，如图所示： 连接OC交圆O于P，此时PC最小， ， ， 由勾股定理得：， ； 故答案为：． 【点拨】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证出点P在以AB为直径的圆上运动是解题关键． 【题型8】切线的性质与判定综合 【例8】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，为的直径，切于点，与的延长线交于点，交延长线于点，连接，，已知，，． (1)求证：是的切线； (2)连接，求的长． 【答案】(1)见解析; (2) 【分析】（1）由已知角相等及直角三角形的性质得到为直角，即可得证； （2）在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，由切线长定理得到，进而求出，延长、相交于点，证明，由全等三角形的性质得出，，求出的长，则可得出答案． 解:（1）证明：， ， ，，， ， ， 为的半径， 为的切线； （2）延长、相交于点， 在中，，， 根据勾股定理得：， 与都为的切线， ， ； 与都为的切线， 平分， ， ， ， 又， ， ，， ， 在中，， ． 【点拨】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 【变式1】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质、圆周角定理，解题的关键是正确添加辅助线． 连接，，先根据切线的性质求出，进而求出，再根据求出，再求出即可． 解：连接，， ，是的切线，，是切点， ，， ． ， ． 是直径， ， ， 即． ， ， ， ． 故选：A． 【变式2】（重庆市凤鸣山中学教育集团校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题）如图，是的直径，是的切线，点B为切点．连接交于点D，点E是上一点，连接，，过点A作交的延长线于点F．若，，，则的长度是 ，的长度是 ．    【答案】 【分析】先证明，得出，则，求出，再由勾股定理求得，即可由勾股定理求得的长；然后连接，证明，得出，再由求解． 解：是的直径， ， ∵是的直径，是的切线， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即， 解得：或(不符合题意，舍去)， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得：； 如图所示，连接，   ， ， ，， ， ， ； 故答案为：；． 【点拨】本题主要考查了切线的性质，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定等等，证明是解题的关键． 【变式3】（24-25九年级上·湖北·期中）如图，已知的半径为4，圆心P在抛物线上运动，当与x轴相切时，圆心P的横坐标为 ． 【答案】或或0 【分析】本题考查了切线的性质、二次函数的性质，由题意可得点的纵坐标为绝对值为4时，与x轴相切，分两种情况，的纵坐标为4或时，代入抛物线，得到x的解即可；熟练掌握切线的性质及二次函数的性质是解此题的关键． 解：与轴相切， 点的纵坐标的绝对值为4， 当时，，解得， 当时，，解得， 圆心的横坐标为：或或0． 故答案为：或或0． 【题型9】切线长定理 【例9】（23-24九年级上·湖北·周测）已知：如图，抛物线经过原点和三点． (1)求抛物线的解析式． (2)设抛物线与轴的另一个交点为．以为直径作，如果过抛物线上一点作的切线，切点为，且与轴的正半轴交于点，连接．已知点的坐标为，求四边形的面积．（用含的代数式表示） (3)延长交于点，连接，当点在（2）的条件下运动到什么位置时，能使得？请求出此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将O、A、B三点坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值，从而确定抛物线的解析式； （2）先求得点C的坐标，再根据切线长定理可得到，根据“SSS”可证得，则它们的面积相等，因此四边形EOMD的面积其实是的面积的2倍，以OM为底，OE为长可求出的面积，即可得到四边形EOMD的面积表达式； （3）在中，，所以和等底同高，它们的面积相等，由此可证得与的面积相等，由于这两个三角形共用底边OM，则轴，根据OM的半径即得到直线PD的解析式，联立抛物线的解析式即可求出P点的坐标． 解：（1）抛物线经过原点和三点， ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的解析式为，当时，或， 抛物线与轴的另一个交点为． 的半径为2，即， 都是OM的切线，点的坐标为， ， 又， ， ； （3）解：在中，， 和等底同高， ， 设点D的坐标为， ， 当时，即，， ，这两个三角形共用底边， 此时轴， 又为切线， 点D的坐标为， 点P在直线上，设点P的坐标为， 点P在抛物线上， ， 解得， 当时，点P的坐标为或． 【点拨】此题是二次函数与圆的综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式、全等三角形的判定和性质、切线长定理、函数图象与坐标轴的交点及图形面积的求法等重要知识．注意能够发现、的面积关系，从而得到直线轴的位置关系是解题的关键． 【变式1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，其内切圆分别与相切于点D、E、F，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C．5 D．3 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内切圆，切线长定理、勾股定理等知识．根据切线长定理得：，再利用勾股定理列方程可得的长． 解：∵的内切圆分别与相切于点D、E、F，，， ， ， ， ， 解得：（舍）或2， 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，，是的切线，切点为，点在上，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，连接，由圆的内接四边形的性质可得，进而可得，再根据切线长定理可得，即得，最后根据三角形内角和定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 解：连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，是的切线，切点为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型10】圆内接正多边形 【例10】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，正方形内接于，M为弧中点，连接． (1)求证：； (2)连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正多边形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理，掌握正方形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理是解题的关键． （1）根据正方形的性质得到，根据圆心角、弧、弦的关系得到，得到，即可得到结论； （2）连接，根据正方形的性质求出和，计算即可． 解：（1）∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵M为的中点， ∴， ∴， ∴； （2）连接． ∵四边形是正方形， ∴． ∵M为弧的中点， ∴， ∴． 【变式1】（24-25九年级上·山东滨州·开学考试）正三角形的内切圆半径、外接圆半径和正三角形高的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是圆内接正多边形，画出图形，连接，连接并延长交于点，得到直角三角形，利用角所对的直角边等于斜边的一半，得到，然后求出与的关系，计算，与的比，正确画出图形得到相应关系是解题的关键． 解：如图，画出图形，连接，连接并延长交于点，得到直角三角形，则， ， 是边上的高，， ． ． 即正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为． 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416，如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正八边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正六边形近似估计的面积，可得的估计值为 ．（结果保留根号）    【答案】/ 【分析】本题考查了正多边形与圆的综合，掌握等边三角形的判定及性质、含 角的直角三角形的特征是解题的关键． 连接、， 作于，利用正多边形的性质得，再根据等边三角形的判定及性质得进而可得，再利用割补法求得正六边形的面积，进而可求解． 解：连接、， 作于， 如图：    ∵六边形是正六边形， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ∴的估计值为 故答案为：． 【题型11】利用弧长公式求值 【例11】（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图， 在中，．将绕点逆时针旋转，得到，若点的对应点恰好落在线段上，则点的运动路径长是多少？（结果用含的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，弧长的计算，解题的关键是明确点的运动轨迹．根据旋转的性质得到点的运动路径是圆弧的长度，根据弧长公式计算即可． 解： 解：以为圆心作圆弧，如图所示，在中，， ， ， ， 将绕点逆时针旋转，得到， ， ， 是等边三角形， ， 将绕点逆时针旋转，得到， ， 点的运动路径长为 【变式1】（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，，现以三角形的一条边为直径作圆，圆与另外两条边所在的直线交于点D，E（D，E不与的顶点重合），则的长为（    ） A．或 B．或 C．或2π D．或 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，等腰三角形的性质等，分两种情况讨论，作出图形，根据等腰三角形的性质，利用圆周角定理求得∠DOE的度数，然后求得圆O的半径，利用弧长公式求得即可． 解：如图1，以为直径作，交于D，交、的延长线于点D、E，连接、， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，O是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； 如图2，以为直径作，交于D，交的延长线于E，连接、， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 综上，的长为或， 故选：A． 【变式2】（2023·河南新乡·二模）如图，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点的对应点恰好落在边上，若的长为，则的长为 ． 【答案】2 【分析】连接，，由旋转可知，根据弧长公式得，得，在中，根据勾股定理得，即，即可求出． 解：如图，连接，， 由旋转可知 ∵的长为， ， ， 四边形是矩形， ，， ∴ ∴ 在中，， ， ． 故答案为：． 【点拨】本题考查了弧长的计算，矩形的性质和旋转的性质，熟记公式是解题的关键． 【题型12】利用扇形公式求值 【例11】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径长为，．将绕圆心O逆时针旋转至 ，点在上，求边扫过区域（图中阴影部分）的面积． 【答案】 【分析】本题考查旋转和含角的直角三角形的性质以及扇形的面积公式．根据题意结合图形可知是解题关键． 根据旋转和含角的直角三角形的性质，可求出和的长度，再结合图形，即可求出阴影部分面积． 解：如图可知， ∵，是由绕圆心O逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ，， ． 【变式1】（2024·山西·模拟预测）如图，正六边形的边长为4，以A为圆心，的长为半径画弧，得，连接，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查正六边形的性质和扇形的面积计算，连接，过点B作，先计算正六边形的面积，再计算扇形的面积，相减即可得出答案． 解：连接，过点B作，如图， ∵正六边形的边长为4， ∴， ∵ ∴， ∴， 在中，， ∴ 同理可证，， ∴， ∴， 又， ∴图中阴影部分的面积为 故选：A 【变式2】（2023·福建莆田·模拟预测）如图，以锐角的三条边为直径作圆．如果三角形外的阴影部分总面积为450，而三角形内部的深色阴影部分面积为90，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积的计算，圆的面积的计算，正确的识别图形找出各图形之间的关系是解题的关键． 设外的6个小弓形的面积和为 ，观察图形得到外的3个半圆的面积和三角形外的阴影部分总面积外的3个半圆的面积和，得到的面积(另外3个半圆的面积和三角形内部的深色阴影部分面积)，于是得到答案 解：设外的6个小弓形的面积和为， 外的3个半圆的面积和三角形外的阴影部分总面积外的3个半圆的面积和， ∴的面积(另外3个半圆的面积和三角形内部的深色阴影部分面积) [另外3个半圆的面积和(外的3个半圆的面积和)] ； 故答案为∶． 【题型13】求圆的不规则图形面积 【例13】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）（1）课本再现：如图，，是的两条切线，切点分别为，．则图中的与，与有什么关系？请说明理由， （2）知识应用：如图，、、分别与相切于点、、，且，连接、，延长交于点，交于点，过点作交于． ①求证：是的切线； ②当，时，求的半径及图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②半径是，图中阴影部分的面积是 【分析】本题考查圆的切线的证明、扇形的面积计算等，解题的关键在于熟练掌握圆的知识点，切线的证明与性质，圆中的相关面积计算等． （1）连接和，根据切线的性质，可得，即可得出结论； （2）①根据题意求证，即可得出，即可得出答案；②根据，求出的长，再用三角形面积减去扇形面积即可得出答案． 解：（1）证明：如图，连接和， 和是的两条切线， ，． 又，． ， ，． （2）①证明：、、分别与相切于点、、， 、分别平分、． 又． ． ． 又， ， 又经过半径的外端点， 是的切线． ②解：连接，则， ，， ∴， ∴， ， 即⊙O的半径为． ∴ 综上所述：的半径是，图中阴影部分的面积是． 【变式1】（2024·河南周口·三模）如图，边长为的等边三角形的外心为点G，以点G为圆心，长为半径作半圆，直径交于点D，以为邻边作矩形交半圆于点E，将半圆在下方的部分沿向上翻折，使得点F与点G重合，则图中阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题目主要考查特殊图形的面积，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质等，理解题意，做出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 连接，根据题意及勾股定理确定，再由等边三角形及菱形的判定证明四边形为菱形，确定阴影部分的面积和即为得面积，即可求解． 解：连接，如图示： ∵边长为的等边三角形，矩形， ∴，， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴四边形为菱形， ∴阴影部分的面积和即为得面积， ∴， 故选：A． 【变式2】（2024·广东·模拟预测）如图，已知正六边形的边长为2，分别以顶点C，E为圆心，正六边形边长为半径画，两弧的交点为O，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正六边形的性质、扇形的面积、等边三角形的判定与性质等知识点，连接，作，可推出四边形是菱形；根据正六边形的性质可得，进一步推出均为等边三角形；根据阴影部分的面积即可求解． 解：连接，作如图所示： 由题意得：， ∴四边形是菱形， ∵是正六边形， ∴， ∴， ∴均为等边三角形， ∴ ∴ ∴阴影部分的面积， 故答案为： 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型14】直通中考 【例1】（2024·山东德州·中考真题）如图，圆与都经过A，B两点，点在上，点C是上的一点，连接并延长交于点P，连接． (1)求证： (2)若，． ①求的半径； ②求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①2 ② 【分析】对于（1），连接，在中，先根据同弧所对的圆周角相等得，然后在中，根据圆周角定理得，可得答案； 对于（2）①，由结合（1），可得，再连接，作，可得，，进而得出，然后在中，根据得出答案； 对于②，先说明是等边三角形，即可求出其面积，在中，求出弓形的面积，然后根据得出答案． 解：（1）如图所示． 连接， 在中，， 在中，， ∴； （2）①，∵， ∴． 连接，过点作，交于点D， ∴，， ∴． 在中，， 即， ∴， 所以的半径是2； ②∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴垂直平分，垂直平分， ∴点三点共线． 在中，， 在中，． 在中，上标点，． 在中， ． 【点拨】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，线段垂直平分线的性质和判定，勾股定理，余弦，求扇形的面积，等边三角形的性质和判定，构造辅助线是解题的关键． 【例2】（2024·山东淄博·中考真题）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习． 【操作发现】 小明作出了的内接等腰三角形，．并在边上任取一点（不与点，重合），连接，然后将绕点逆时针旋转得到．如图① 小明发现：与的位置关系是__________，请说明理由： 【实践探究】 连接，与相交于点．如图②，小明又发现：当确定时，线段的长存在最大值． 请求出当．时，长的最大值； 【问题解决】 在图②中，小明进一步发现：点分线段所成的比与点分线段所成的比始终相等．请予以证明． 【答案】操作发现：与相切；实践探究：；问题解决：见解析 【分析】操作发现：连接并延长交于点M，连接，根据直径所对圆周角为直角得到，根据旋转的性质得到，由圆周角定理推出，等量代换得到，利用直角三角形的性质即可证明，即可得出结论； 实践探究：证明，得到，结合三角形外角的性质得到，易证，得到，设，则，得到，利用二次函是的性质即可求解； 问题解决：过点E作交于点N，由旋转的性质知：，证明，推出，由旋转的性质得：， 得到，根据，易证，得到，即可证明结论． 解:操作发现： 解：连接并延长交于点M，连接， 是直径， ， ， 由旋转的性质得， ， ， ， 是的半径， 与相切； 实践探究： 解： 由旋转的性质得：， 即， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 当时，有最大值为； 问题解决： 证明：过点E作交于点N， 由旋转的性质知：， ， ， ， ， 由旋转的性质得：， ， ， ， ， ， ， ． 【点拨】本题考查圆周角定理，切线的证明，旋转的性质，三角形相似的判定与性质，二次函数最值的应用，正确作出辅助线，构造三角形相似是解题的关键． 【例3】（2023·四川资阳·中考真题）如图，已知的圆心O在的边上，与相交于A、E两点，且与边相切于点D，连结． (1)若，求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析; (2)的半径长为3 【分析】（1）连接，则，所以，由切线的性质得，则，而，所以，即可推导出，进而证明是的切线； （2）由，得，由是的直径，得，由，，得，而，即可证明，得，则，于是得，求得，则的半径长为3． 解:（1）证明：连接，则， ∴， ∵的圆心O在上，且与边相切于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的半径长为3． 【点拨】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、切线的判定与性质、直径所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质等知识．综合运用以上知识是解题的关键． 【题型15】拓展延伸 【例1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，是的外接圆，点在上．连接交于点，． (1)如图1，求证：为的直径； (2)如图2，连接，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点在弧上，连接交于点，连接，若，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析; (2)见解析; (3)。 【分析】（1）根据圆周角定理得到，结合已知推出，即可证明； （2）根据圆周角定理结合三角形内角和定理推出，，即可得出结论； （3）过点B作，垂足为，过点O作，垂足为，连接，根据，先证明，由圆周角定理，解直角三角形求出的半径，利用勾股定理建立方程求出，，，，再利用三角形面积公式求出，进而求出，解直角三角形求出，再利用勾股定理求出，进而即可得出结果． 解:（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴，即, ∴为的直径； （2）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点B作，垂足为，过点O作，垂足为，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， 设，则， ∴ 在中，，即， 整理得：， 解得：或（舍去）， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 在中，，即， 解得：（负值舍去）， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【点拨】此题考查圆综合题，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，解题的关键是学会添加辅助线，构造直角三角形，记住一些基本图形、基本结论． 【例2】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，点为坐标的原点，抛物线交轴于、两点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求、的值； (2)如图1，点为该抛物线的顶点，连接，点在的延长线上，连接，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图2，在（2）的条件下，过点作，，交轴于点，连接、，过点作交的延长线于点，连接，过点作于点，连接，若，求直线的解析式． 【答案】(1)，． (2).(3)直线的解析式 【分析】利用待定系数法求得二次函数解析式即可； 根据二次函数得，利用待定系数法求得直线的解析式为，则，结合坐标点得，利用三角形面积即可求得面积； 连接，利用两点之间的距离求得，根据抛物线的对称性可知，证得则是等腰直角三角形，进一步得A，P，B，D四点共圆，可得平分，延长至点R，使得，过点D作，可证明，进一步证得，可判定为的角平分线，则点D为的内心，再次证明和，利用勾股定理求得，则有，求得点，可求得直线的解析式为，有点，即可求得点，同理可求得直线的解析式为，设点，利用两点之间的距离求得a，即可求得直线的解析式． 解:（1）解：∵抛物线交轴于、两点，点的坐标为，点的坐标为 ∴ 解得： ∴，． （2）解：由（1）可知二次函数 ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为 ∴， 设的解析式为 则 解得： 则的解析式为， ∴， ∴． （3）解：∵为顶点坐标，抛物线与x轴的交点坐标为，，连接， ∴， 则由抛物线的对称性可知：， 又， ∵ ∴， 则是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，， 则， 则A，P，B，D四点共圆， 又∵， ∴为圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 延长至点R，使得，过点D作，如图， 则， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的角平分线， 则点D为的内心， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， 设， ∵， ∴，解得， ∵，， ∴， 在中，则，解得， 那么，，，， ∴， ∴， 则点， 设直线的解析式为，则 ，解得， 那么，直线的解析式为， 则点， 过点E作于点H，则， ∴， ∴点， 同理可求得直线的解析式为， 设点， ∵， ∴，解得， 则点， ∴同理可求得直线的解析式为， 故直线的解析式． 【点拨】本题主要考查二次函数和三角形的综合，难度较大，涉及知识点有待定系数法求解析式、两点之间的距离、二次函数的性质、等腰三角形的判定和性质、四点共圆、三角形内心的判定和性质，以及三角形的全等，解题的关键是熟悉二次函数的性质和三角形的性质． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.14 圆（5大考点15类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】点和圆的位置关系 点在圆外，；点在圆上，；点在圆内，； 【知识点二】圆的对称性 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦、两条弧、两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 【知识点三】垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧. 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 【知识点四】圆周角和圆心角的关系 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角的一半. 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 推论2：直径所对的圆周角是直角；圆周角所对的弦是直径. 推论3：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角. 【知识点五】确定圆的条件 （1）经过两点可作无数个圆，这些圆的圆心在这两点连线的垂直平分线上. （2）不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 【知识点六】直线和圆的位置关系 直线和圆的位置关系：（圆心到直线距离为，圆的半径为） 相交：直线与圆有两个公共点，； 相切：直线与圆有一个公共点，； 相离：直线与圆无公共点，. 【知识点七】切线性质定理与判定定理 切线定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的判定方法 （1） 直线与交点个数； （2） 直线到圆心的距离与半径关系； （3） 切线的判定定理. 【知识点八】切线长定理 （1） 切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线，这两条切线的夹角. （2）弦切角定理： 弦切角等于它所夹弧所对的圆周角. 【知识点九】圆的外心与内心 （1）外心：三角形外接圆的圆心叫三角形的外心.外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等. （2）锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边重点，钝角三角形的外心在三角形外部。 （3）三角形的一个内角等于它另外两个角顶点与外心连线夹角的一半. （4）内心：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做内心，它的性质是到三角形三边的距离相等。 【知识点十】三角形内切圆半径与三角形三边关系 （1）三角形的一个内角等于它另外两个角顶点与内心连线夹角减去再乘以2.. （2）三角形周长为，面积为，内切圆半径为,则. （3）直角三角形两直角边分别是，斜边为，内切圆半径为，则. 【知识点十一】圆内接正多边形、弧长公式、扇形面积公式、圆锥的侧面积公积 （1）正变形的圆心角为度. （2）弧长计算公式：在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长计算公式为. （3）如果扇形的半径为，圆心角为，那么扇形面积的计算公式为. （4）如果扇形的半径为，弧长为，那么扇形面积的计算公式为. （5）圆锥的母线长为l，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则圆锥的侧面积， 圆锥的全面积:. 知识点与题型目录 【考点一】圆的有关性质 【题型1】圆及相关概念辨析...................................................4 【题型2】点和圆的位置关系...................................................5 【题型3】圆的对称性.........................................................6 【题型4】垂径定理及推论.....................................................6 【题型5】圆周角和圆心角关系.................................................8 【题型6】确定圆的条件.......................................................9 【考点二】点和圆、直线和圆的位置关系 【题型7】直线和圆的位置关系................................................10 【题型8】切线的性质与判定综合..............................................11 【题型9】切线长定理........................................................12 【考点三】圆内接正多边形 【题型10】圆内接正多边形...................................................13 【考点四】弧长与扇形面积 【题型11】利用弧长公式求值.................................................14 【题型12】利用扇形公式求值.................................................14 【题型13】求圆的不规则图形面积.............................................15 【考点五】直通中考与拓展延伸 【题型14】直通中考.........................................................16 【题型15】拓展延伸.........................................................17 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】圆及相关概念辨析 【例1】（24-25九年级上·全国·课后作业）下列结论中正确的是 ．（填写所有正确结论序号） ①直径是圆中最长的弦； ②长度相等的两条弧是等弧； ③面积相等的两个圆是等圆； ④等弧所对的圆心角相等； ⑤同圆中，两条相等的弦所对的弧相等； ⑥顶点在圆上的角是圆周角； ⑦将圆绕一点旋转一个角度可以和自身重合； ⑧圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴； ⑨半圆是弧； ⑩过圆心的线段是直径． 【变式1】（23-24九年级上·江苏无锡·期中）以下命题：（1）等弧所对的弦相等；（2）相等的圆心角所对的弧相等；（3）三点确定一个圆；（4）圆的对称轴是直径；（5）三角形的内心到三角形三边距离相等．其中正确的命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（2024·吉林长春·模拟预测）如图，为半圆的一条弦（非直径），连结、，分别以、为圆心，大于一半的长为半径画弧，两弧交于点，连结，交于点，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”．已知点A、B、C、D分别是“芒果”与坐标轴的交点，是半圆的直径，抛物线的解析式为，若，则图中 ． 【题型2】点和圆的位置关系 【例2】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，于点为的中点．   (1)以点为圆心，6为半径作圆，试判断点与的位置关系； (2)当的半径为多少时，点在上？ 【变式1】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知是线段上的两点，，以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使两点重合成一点C，构成，设，若以点B为圆心，为半径作，使点M和点N都在外，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）在平面直角坐标系内，点，点B的坐标为，的半径为5．若点B在内，则a的范围是 ． 【变式3】（24-25九年级上·全国·单元测试）在同一平面内，的半径是8，点不在上，若点到上的点的最小距离是，则点到上的点最大距离是 ． 【题型3】圆的对称性 【例3】（2023·安徽宣城·模拟预测）如图，内接于，D，E两点均在上，，，与的延长线相交于点F．   (1)求证： ； (2)若，，，求长． 【变式1】（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，为的直径，点C是弧的中点．过点C作于点G，交于点D，若，则的半径长是（　　） A．4 B．5.5 C． D． 【变式2】（22-23九年级下·江苏南通·期末）如图所示，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是直径上一动点，若的直径为2，则的最小值是 ．    【题型3】垂径定理及推论 【例3】（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，为的直径，C是上一点， D是的中点，弦，垂足为F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式1】（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，是的弦，C是的中点． (1)连接，求证：垂直平分； (2)若，，求的半径． 【变式2】（2024九年级上·江苏·专题练习）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径长是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）一块含角的直角三角板和一块量角器如图摆放（三角板顶点A与量角器0刻度处重合），量角器与三角板交于点D，经测量知，点E为中点，点F为弧上一动点，则的最小值为（　　） A．9 B． C． D． 【变式4】（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，是的直径，点D是的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，的直径为10，则长为 ． 【题型5】圆周角和圆心角关系 【例5】（24-25九年级上·浙江·期中）如图，已知是的直径，弦于点，弦于点，与交于点，，的延长线交于点．连接，． (1)直接写出图中所有与相等的角； (2)求证：； (3)若，求的长． 【变式1】（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，内接于，是直径，，平分，则弦长为 ． 【变式2】（22-23九年级上·江苏无锡·期中）如图，在圆内接四边形中，，，以为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若点的坐标为，则圆的直径长度是 ． 【变式3】（2024·广西南宁·三模）如图，在的内接四边形中，，，，垂足为点E，则的长为 ．      【变式4】（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，是的内接三角形，是的直径，过点作交的延长线于点，点在上，连接，，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【题型6】确定圆的条件 【例5】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）设x，y是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的外接圆面积为 ． 【变式1】（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）方程的两个根是直角三角形的两边边长，则这个直角三角形的外接圆半径为 ． 【变式2】（24-25九年级上·河北沧州·期末）在一个六角形体育馆的一角内，用长为30的围栏设置一个运动器材储存区域（如图所示），已知，B是墙角线上的一点，C是墙角线上的一点，，则储存区域面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，在中，，，，是的角平分线，过，，三点的圆与斜边交于点，连接． (1)求证：； (2)求外接圆的半径． 【题型7】直线和圆的位置关系 【例7】（23-24九年级下·全国·课后作业）已知的斜边，直角边，以点为圆心作． (1)当半径为________时，直线与相切； (2)当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为________； (3)当与线段没有公共点时，半径的取值范围为__________． 【变式1】（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以OA为直径在x轴上方作半圆，直线l的解析式为，若直线l与半圆只有一个公共点，则t的值是 ． 【变式2】（2021·四川成都·一模）如图，已知正方形ABCD中，两动点M和N分别从顶点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，再连接PC，若，则PC长的最小值为 ． 【题型8】切线的性质与判定综合 【例8】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，为的直径，切于点，与的延长线交于点，交延长线于点，连接，，已知，，． (1)求证：是的切线； (2)连接，求的长． 【变式1】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（重庆市凤鸣山中学教育集团校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题）如图，是的直径，是的切线，点B为切点．连接交于点D，点E是上一点，连接，，过点A作交的延长线于点F．若，，，则的长度是 ，的长度是 ．    【变式3】（24-25九年级上·湖北·期中）如图，已知的半径为4，圆心P在抛物线上运动，当与x轴相切时，圆心P的横坐标为 ． 【题型9】切线长定理 【例9】（23-24九年级上·湖北·周测）已知：如图，抛物线经过原点和三点． (1)求抛物线的解析式． (2)设抛物线与轴的另一个交点为．以为直径作，如果过抛物线上一点作的切线，切点为，且与轴的正半轴交于点，连接．已知点的坐标为，求四边形的面积．（用含的代数式表示） (3)延长交于点，连接，当点在（2）的条件下运动到什么位置时，能使得？请求出此时点的坐标． 【变式1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，其内切圆分别与相切于点D、E、F，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C．5 D．3 【变式2】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，，是的切线，切点为，点在上，若，则 ． 【题型10】圆内接正多边形 【例10】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，正方形内接于，M为弧中点，连接． (1)求证：； (2)连接，求的度数． 【变式1】（24-25九年级上·山东滨州·开学考试）正三角形的内切圆半径、外接圆半径和正三角形高的比为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416，如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正八边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正六边形近似估计的面积，可得的估计值为 ．（结果保留根号）    【题型11】利用弧长公式求值 【例11】（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图， 在中，．将绕点逆时针旋转，得到，若点的对应点恰好落在线段上，则点的运动路径长是多少？（结果用含的式子表示）． 【变式1】（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，，现以三角形的一条边为直径作圆，圆与另外两条边所在的直线交于点D，E（D，E不与的顶点重合），则的长为（    ） A．或 B．或 C．或2π D．或 【变式2】（2023·河南新乡·二模）如图，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点的对应点恰好落在边上，若的长为，则的长为 ． 【题型12】利用扇形公式求值 【例11】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径长为，．将绕圆心O逆时针旋转至 ，点在上，求边扫过区域（图中阴影部分）的面积． 【变式1】（2024·山西·模拟预测）如图，正六边形的边长为4，以A为圆心，的长为半径画弧，得，连接，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023·福建莆田·模拟预测）如图，以锐角的三条边为直径作圆．如果三角形外的阴影部分总面积为450，而三角形内部的深色阴影部分面积为90，则的面积为 ． 【题型13】求圆的不规则图形面积 【例13】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）（1）课本再现：如图，，是的两条切线，切点分别为，．则图中的与，与有什么关系？请说明理由， （2）知识应用：如图，、、分别与相切于点、、，且，连接、，延长交于点，交于点，过点作交于． ①求证：是的切线； ②当，时，求的半径及图中阴影部分的面积． 【变式1】（2024·河南周口·三模）如图，边长为的等边三角形的外心为点G，以点G为圆心，长为半径作半圆，直径交于点D，以为邻边作矩形交半圆于点E，将半圆在下方的部分沿向上翻折，使得点F与点G重合，则图中阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 【变式2】（2024·广东·模拟预测）如图，已知正六边形的边长为2，分别以顶点C，E为圆心，正六边形边长为半径画，两弧的交点为O，则图中阴影部分的面积为 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型14】直通中考 【例1】（2024·山东德州·中考真题）如图，圆与都经过A，B两点，点在上，点C是上的一点，连接并延长交于点P，连接． (1)求证： (2)若，． ①求的半径； ②求图中阴影部分的面积． 【例2】（2024·山东淄博·中考真题）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习． 【操作发现】 小明作出了的内接等腰三角形，．并在边上任取一点（不与点，重合），连接，然后将绕点逆时针旋转得到．如图① 小明发现：与的位置关系是__________，请说明理由： 【实践探究】 连接，与相交于点．如图②，小明又发现：当确定时，线段的长存在最大值． 请求出当．时，长的最大值； 【问题解决】 在图②中，小明进一步发现：点分线段所成的比与点分线段所成的比始终相等．请予以证明． 【例3】（2023·四川资阳·中考真题）如图，已知的圆心O在的边上，与相交于A、E两点，且与边相切于点D，连结． (1)若，求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【题型15】拓展延伸 【例1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，是的外接圆，点在上．连接交于点，． (1)如图1，求证：为的直径； (2)如图2，连接，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点在弧上，连接交于点，连接，若，，，求线段的长． 【例2】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，点为坐标的原点，抛物线交轴于、两点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求、的值； (2)如图1，点为该抛物线的顶点，连接，点在的延长线上，连接，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图2，在（2）的条件下，过点作，，交轴于点，连接、，过点作交的延长线于点，连接，过点作于点，连接，若，求直线的解析式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$