第四章 整式的加减知识复习 2024—2025学年人教版数学七年级上册

整式的加减 知识点1 代数式 1. 代数式的概念 用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式。 单独的一个数或一个字母也是代数式。 例：a+5、4-b、5b、、m、5、x等，都是代数式。 易错点： （1）单独一个数或一个字母也是代数式； （2）运算符包括加、减、乘、除、乘方； （3）代数式中可以含有括号 ； （4）代数式不含“=”、“>”、“<”、“≤”、“≥”、“≠”等符号。 2. 代数式的书写规范 1） 代数式中数字与字母相乘时，数字要放在前面，字母放在后面，乘号“”要改为“”或省略。例如：应改写为或。 2）代数式中相同的字母相乘时，要写成幂的形式。例如：应改写为。 3）代数式中出现带分数时，需要改写为假分数，以避免歧义。例如：应改写为。 4） 代数式中出现除号的时候，需要用分数线代替除号。例如：应改写为。 5） 代数式中出现乘数有数字1或者时，其中的数字1可以省略不写。例如：应改写为；应改写为。 6） 在同一个问题中，不同的数量必须用不同的字母来表示，不能混为一谈。 7） 在一些实际问题中，有时表示数量的代数式有单位名称，若代数式是积或者商的形式，则单位直接写在式子的后面；如果代数式是和或差的形式，则必须先把代数式用括号括起来，再将单位名称写在式子的后面。例如：m/s，（x+y）cm。 知识点2 整式 1. 整式的概念： 单项式与多项式统称为整式，即整式包括单项式和多项式。 例如：、、是整式。 2. 判断是否是整式的方法： （1）带有“=”、“>”、“<”、“≤”、“≥”、“≠”等符号的均不属于整式。如就不是整式。 （2）分母中含有字母的均不属于整式。如、均不是整式。 （3）注意是数字而不是字母，如中，出现在分母上，但它依旧是一个整式。 知识点3 单项式 1. 单项式的定义 像，，，，，，这些式子都是数或字母乘积的形式，我们把这样的代数式叫做单项式。 2. 单项式的系数和次数 （1）系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。如：的系数是7；的系数是。 （2）次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如：的系数是3。 易错点： （1）单项式表示数字与字母相乘时，我们通常把数字写在最前面，字母则根据情况依次排在后面。 （2）单独的一个常数或一个字母都是单项式，但我们一般不讨论常数的系数和次数。 （3）单项式的系数包括前面的符号，例如：的系数是，而不是5． （4）是数字不是字母。 （5）除以一个常数可以看成乘以它的倒数，但是除数中不能有字母。例如可以写为或，仍然是单项式；但是（表示）就不是单项式。 （6）单项式是由数字因数和字母因数组成的，单项式不含加减运算，含有除法运算时，分母不含字母，分子不含加减运算，如： 就不是单项式； 也不是单项式，因为它们都含加减运算。 知识点4 多项式 1. 多项式的定义： 几个单项式的代数和叫做多项式。 2. 多项式的相关概念 （1）项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项. （2）项数：多项式所含单项式的个数叫做这个多项式的项数。 （3）次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 （4）最高次项：多项式里次数最高的项，称为这个多项式的最高次项。 （5）命名：多项式一般可称为“□次□项式”，“□次”是多项式的次数，“□项”是多项式的项数，注意命名中要用汉字的数字，而不是阿拉伯数字。 3. 多项式的升幂和降幂排列： 通常我们把多项式的所有项按照某个字母的指数从大到小（降幂）或从小到大（升幂）的顺序排列。 如多项式是八次五项式， 项数为5；、、、、是多项式的项，其中-7是常数项；最高次项是，次数为8；按： ①降幂排列为： ②升幂排列为： 知识点5 整式的加减 1. 同类项 定义：像与，与，与这样，如果两个单项式所含字母相同，并且相同字母的次数也相同，就称这两个单项式为同类项． 2. 合并同类项 定义：同类项合并成一项的运算，叫做合并同类项．合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变．例如：． 易错点 （1）几个常数项也是同类项．例如：，表示3个常数项合并同类项． （2）合并同类项后得4，而不是． 3. 整式的加减 1） 去括号与添括号 去括号法则：括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里的各项都不改变符号；括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里的各项都改变符号． 如，． 添括号法则：所添括号前面是“”号，括到括号里的各项都不改变符号；所添括号前面是“”号，括到括号里的各项都改变符号．如，． 易错点 ①拆开括号时要根据乘法分配律，将括号内的每一项分别乘以括号前的系数； ②括号前没有其他数字，根据符号把系数看做1或； ③括号外的系数是正数时，去括号后每一项系数的符号不变； ④括号外的系数是负数时，去括号后每一项系数的符号与原符号相反； ⑤对于多层括号，一般由里向外逐层去括号，有时也可根据“奇负偶正”的原则化简多重符号． 2） 整式的加减 整式加减运算顺序：先去括号，再合并同类项，最后按要求排序． 3） 直接代入与整体代入法 1）直接代入法 ⑴整式的化简求值过程分两步：①整式的化简；②代入求值； ⑵整式的化简过程是先去括号，再合并同类项． *注意：⑴当代入的数是负数时，注意符号要一起代入； ⑵当代入的数是分数时，注意有乘方时，要整体加括号． 2)整体代入法 代数式求值通常也会告诉一个代数式的值，且已知代数式中的字母又无法具体求出来，需采用整体思想解决问题，确定整体． 知识点1 代数式 【典例】 【例1】 下列式子中，符合代数式书写格式的有（　　） ①；②；③；④天；⑤ A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【例2】 用式子表示“的2倍与的差的平方”，正确的是（　　） A. B. C. D. 【例3】 如图，正方形广场边长为a米，广场的四个角都设计了一块半径为r米的四分之一圆形花坛，请用代数式表示图中广场空地面积________平方米．（用含a和r的字母表示） 【随堂练习】 1. 下列各式符合书写要求的是（　　） A. B. C. D. 2. 代数式的意义是（　　） A.除以与1的差所得的商 B.减1除 C.与1的差除以 D.除以减1 3. 用代数式表示： （1）比x多4数________； （2）比m的2倍小7数________； （3）a与b和的倒数________； （4）a与4的差的倍________； （5）a与b差的平方________； （6）a与b的平方和________； （7）5除以m与1的和的商________； （8）与3x2＋5的积为2y3-1的数________． 知识点2 整式——单项式 【典例】 【例1】 在代数式，，，8，中，单项式的个数是（　　） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【例2】 单项式的系数与次数分别是（　　） A.5，5 B.，5 C.，3 D.，5 【例3】 一个单项式含有字母x和y，系数是2，次数是3，这个单项式可以是________． 【随堂练习】 1. 代数式，，，，2014，，中单项式的个数有（　　） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 2. 已知（m﹣3）xy|m|+1是关于x，y的五次单项式，则m的值是　 　． 3. 请写出一个只含字母m和n，次数为3，系数是负数的单项式________． 知识点4 整式——多项式 【例1】 下列说法正确的是（　　） A.任何有理数都有倒数 B.任何有理数的绝对值都大于零 C.多项式的常数项是5 D.多项式是五次三项式 【例2】 多项式是关于x的四次三项式，则m的值是________． 【例3】 将多项式分别按x的降幂、升幂，y的降幂、升幂进行排序． 【随堂练习】 1. 对于多项式，下列说法正确的是（　　） A.二次项系数是3 B.常数项是4 C.次数是3 D.项数是2 2. 如图，下列说法正确的有（　　）个 ①，②，③倒数等于本身的数有1和－1，④单项式的系数是，次数是2，⑤多项式2a－3b＋1是三次三项式，常数项是1 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3. （1）把多项式按的次数升幂排列，结果是___________________； （2）把多项式 按的次数降幂排列，结果是_______________． 【思考题】如图，若一个表格的行数代表关于x的整式的次数，列数代表关于x的整式的项数（规定单项式的项数为1），那么每个关于x的整式均会对应表格中的某个小方格．若关于x的整式A是三次二项式，则A对应表格中标★的小方格．已知B也是关于x的整式，下列说法正确的有________．（写出所有正确的序号） ①若B对应的小方格行数是4，则A＋B对应的小方格行数一定是4； ②若A＋B对应的小方格列数是5，则B对应的小方格列数一定是3； ③若B对应的小方格列数是3，且A＋B对应的小方格列数是5，则B对应的小方格行数不可能是3． 知识点5 整式的加减 1、 同类项 【典例】 【例1】式子－7，x，，x2y＋5，，－5ab3c2，中，整式的个数是（　　） A.7个 B.6个 C.5个 D.4个 【例2】若与是同类项，则的值为________． 【例3】若7axb2与﹣3a3by的和为单项式，则xy＝　 　． 【随堂练习】 1. 若与是同类项，则的值是（　　） A.－1 B.0 C.1 D.2 2. 已知5xm＋2y3与是同类项，则（－m）3＋n2等于________． 3. 下列各组中的两个单项式，属于同类项的是（　　） A.6xy和6xyz B.x3与53 C.2a2b与 D.0.85xy4与 2、 合并同类项 【典例】 【例1】 下列运算结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【例2】 化简：． 【例3】合并同类项． （1） （2） 【随堂练习】 1. 下列各式计算中正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 化简：． 3.化简：． 3、 整式的加减 【典例】 【例1】 下列各式去括号正确的是（　　） A. B. C. D. 【例2】 设，，那么与的大小关系是________． 【例3】化简： （1）； （2）． 【例4】已知多项式A、B，其中B＝5x2＋3x－4，马小虎同学在计算“3A＋B”时，误将“3A＋B”看成了“A＋3B”，求得的结果为12x2－6x＋7． （1）计算多项式A的值； （2）求出3A＋B的正确结果； （3）当x＝－1时，求3A＋B的值． 【随堂练习】 1. 下列各式去括号正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 若A＝x2y＋2，B＝3x2y＋x，C＝4x2y－xy，则A＋B－C是（　　） A.二次二项式 B.二次三项式 C.三次二项式 D.不能确定 3. 化简： （1） （2） 4、 整式的化简求值 【典例】 直接代入 【例1】先化简，再求值：，其中， 【例2】 先化简再求值：，其中，． 整体代入 【例2】当代数式的值为3时，代数式的值是？ 【例3】的值为8，则__________． 整式的化简与某项无关问题 【例4】若多项式不含二次项，则________________． 【随堂练习】 1. 已知，，求代数式的值． 2. 先化简，再求值： （1）x2－（2x2－4y）＋2（x2－y），其中x＝－1，． （2）若，求的值． 3. 如果多项式不含和项，则________________． 4. 化简求值： （1）化简； （2）化简； （3）先化简，再求值：已知，求的值； （4）已知，，求的值． 综合运用 1. 已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（　　） A．﹣2xy2 B．3x2 C．2xy3 D． 2x3 2. 有下列式子：，，，，0，，，，对于这些式子下列结论正确的是( )． A．有4个单项式，2个多项式 B．有5个单项式，3个多项式 C．有7个整式 D．有3个单项式，2个多项式 3. 对于式子，下列说法正确的是( )． A．不是单项式 B．是单项式，系数为-1.2×10，次数是7 C．是单项式，系数为-1.2×104，次数是3 D．是单项式，系数为-1.2，次数是3 4. 下面计算正确的是（ ）． A．3－=3 B．3＋2=5 C．3＋=3 D．－0.25＋=0 5. 某窗户的形状如图所示（图中长度单位：cm），其上部是半圆形，下部是由两个相同的长方形和一个正方形构成．已知半圆的半径为acm，长方形的长和宽分别为bcm和ccm．给出下面四个结论： ①窗户外围的周长是； ②窗户的面积是； ③； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A.①② B.①③ C.②④ D.③④ 6. 若与的和是单项式，则___________． 7. 已知多项式x|m|+（m﹣2）x﹣10是二次三项式，m为常数，则m的值为　 　． 8. 已知关于x的多项式mx4＋（m-3）x3-（n＋2）x2＋4x-n不含二次项和三次项． （1）求出这个多项式； （2）求当x＝2时代数式的值． 9. 理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法，例如：，则________；我们将作为一个整体代入，则原式＝0＋1186＝1186． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： （1）若，则________； （2）如果a＋b＝5，求的值； （3）若，，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$