5.3实际问题与一元一次方程 知识复习 -2024—2025学年人教版数学七年级上册

5.3 实际问题与一元一次方程 知识点1 同解方程 1、 同解问题的含义： 同解方程就是多个有相同解的方程。注意此时我们说的方程的解是未知数的取值，而非参数的取值。 2、 同解方程问题中的常用方法： 先将一个已知方程的解计算出来，再将这个解代入另一个含参数的方程中（逢解必带入），计算参数。 知识点2 含参方程 一、参数的概念 部分方程中除未知数外，仍含有一些其他的字母，代表已经确定的数字，我们将这种字母称为“参数”，即“参与运算的数”。 例如：若等式中，只有是未知数，当做一个已知的数，我们把这样的方程叫做关于的方程，而就叫做参数，解这个方程只需要求出的值，就是此方程的解。 未知数与参数各自的地位和含义是不相同的。比如方程，理论上来讲，如果题目没有说明，里面的每一个字母都可当做未知数。但是一般情况下，在书写习惯中，当与同时出现在一个方程时，我们会认为，是未知数，是（已知数）参数 二、常数项含有参数的一元一次方程 1. 解常数项含参方程的方法： 求解一个仅有常数项含参、而系数部分不含参的一元一次方程，依然采用常规的五步法，即去分母无括号移项合并同类项一次项系数化为1的流程解方程。 在运算中就把参数当成普通的数字来对待，带着参数完成解方程的过程。 三、系数含有参数的一元一次方程 1. 解系数含参方程的方法： 对于系数含参的方程，依旧采用常规的五步法，其中去分母、去括号、移项、合并同类项这四步带着参数一起运算即可；但是在最后一步未知数系数化为时要对参数进行讨论，因为此时系数是否为会对方程的解有很大的影响。 2. 方程的系数与解的个数之间的关系： 关于的一元一次方程，总可以通过去分母无括号移项合并同类项的过程化为的形式，方程的解就由和确定： （1）当时方程有唯一解，即； （2）当时，方程显然不是具有唯一解的情况了，我们需要对再进行分类讨论： ①当时，方程可写为，方程无解； ②当时，方程为，任意数都可以作为方程的解，即方程有无数个解。 知识点3 一元一次方程的实际问题 一、列方程解应用题的基本步骤 1．步骤：审题、设元、列方程、解方程、检验、作答 2．注意： ⑴初中列方程解应用题时，怎么列简单就怎么列； ⑵解方程的步骤不用写出，直接写结果即可； ⑶设未知数时，要标明单位，在列方程时，如果题中数据的单位不统一，必须把单位换算成统一单位 2、 实际问题中的基本关系 · 行程问题 （1）三个基本量间的关系： 路程=速度×时间 （2）基本类型有： ①相遇问题（或相向问题）： Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题： Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 Ⅱ．寻找相等关系： 同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题： Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度， 逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速； · 经济问题 1．基本概念：进价（成本）、标价、售价、打折等 2．公式 ⑴利润=售价-进价 ⑵利润率=利润/进价=（售价-进价）/进价 ⑶售价=进价×（+利润率） ⑷利润=进价×利润率 ⑸实际售价=标价×打折率 · 工程问题 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式： （1）总工作量=工作效率×工作时间； （2）总工作量=各单位工作量之和． · 配套问题 利用比例关系‌：在配套问题中，常常涉及到比例关系。例如，镜架和镜片的数量比例为1:2，桌子和椅子的数量比例为1:2。利用这些比例关系，可以简化解题过程。 · 面积问题 · 数字问题 多位数字的表示方法： 一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，（其中均为非负整数，且小于10）则这个三位数表示为：100a+10b+c． · 方案问题 选择设计方案的一般步骤： （1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况． （2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论． 知识点1 同解方程 【典例】 【例1】若方程与方程的解相同，则的值为　　 A．1 B． C．2 D． 【例2】方程和有相同的解，则的值为　　 A．0 B．1 C． D． 【例3】若方程与关于的方程的解相同，则　 　． 【随堂练习】 1. 已知关于的两个方程和有共同的解，则的值是　　 A．8 B． C．2 D．0 2. 如果方程与方程的解相同，求的值． 知识点2 含参方程 【典例】 【例1】解关于的一元一次方程 【例2】已知关于的方程，当为何值时，方程有解？ 【例3】解关于x的方程： （1）； （2）； （3）． 【随堂练习】 1. 阅读：关于方程在不同的条件下解的情况如下：（1）当时，有唯一解；（2）当，时有无数解；（3）当，时无解．请你根据以上知识作答：已知关于的方程无解，则的值是（　　） A.1 B. C. D. 2. 关于的方程的解是整数，则整数的可能值有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 知识点3 一元一次方程的实际问题 · 行程问题 【典例】 【例1】小山娃要到城里参加运动会，如果每小时走4千米，那么走完预订时间离县城还有0.5千米，如果他每小时走5千米，那么比预订时间早半小时就可到达县城．试问学校到县城的距离是多少千米? 【例2】 A、B两地相距100km，甲、乙两人骑自行车分别从A、B两地出发相向而行，甲的速度是23km/h，乙的速度是21km/h，甲骑了1h后，乙从B地出发，问甲经过多少时间与乙相遇？ 【例3】一队学生去校外进行军事野营训练，他们以5千米/时的速度行进，走了18分钟时，学校要将一紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去，通讯员用多少分钟可以追上学生队伍? 【例4】一艘船航行于A、B两个码头之间，轮船顺水航行需3小时，逆水航行需5小时，已知水流速度是4千米/时，求这两个码头之间的距离． 【随堂练习】 1. 一货轮往返于上、下游两个码头，逆流而上需38个小时，顺流而下需用32个小时，若水流速度为8千米/时，则下列求两码头距离x千米的方程正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 小亮原计划骑车以10千米时的速度从地去地，在规定时间就能到达地，但他因事比原计划晚出发15分钟，只好以15千米时的速度前进，结果比规定时间早到6分钟，若设，两地间的距离为千米，则根据题意列出的方程正确的为（　　） A. B. C. D. · 经济问题 【典例】 【例1】某商品提价25％后，欲恢复原价，则应降价（　　） A.40％ B.25％ C.20％ D.15％ 【例2】某商品的进价为200元，标价为360元，打折销售的利润为8％，则此商品是按________折销售的． 【例3】某商场销售的一款空调机每台的标价是3270元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利9%． （1）求这款空调每台的进价？（利润率==）． （2）在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100台，问盈利多少元？ · 工程问题 【典例】 【例1】一件工作，由甲、乙合作12小时可完成，若甲单独做20小时可完成，现由甲、乙合作4小时后，甲被调走，剩下的部分由乙继续完成，那么乙还需要的时间为（　　）小时． A.12 B.15 C.20 D.30 【例2】工厂计划生产一种新型豆浆机，每台豆浆机需3个甲种零件和5个乙种零件正好配套，已知车间每天能生产甲种零件450个或乙种零件300个，现要在21天中使所生产的零件全部配套，那么应该安排多少天生产甲种零件，安排多少天生产乙种零件？ 【例3】一个水池有两个注水管，两个水管同时注水，10小时可以注满水池；甲管单独开15小时可以注满水池，现两管同时注水7小时，关掉甲管，单独开乙管注水，还需要几小时能注满水池? · 配套问题 【典例】 【例1】某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天生产的产品刚好配套，应该分配多少工人生产螺钉，多少工人生产螺母？ 【例2】某车间有工人85人，平均每人每天可加工大齿轮16个或小齿轮10个，又知二个大齿轮和三个小齿轮配成一套，问应如何安排劳力使生产的产品刚好成套？ 【例3】用白铁皮做罐头盒．每张铁皮做盒身10个或盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有100张白铁皮，用多少张做盒身，多少张做盒底既可以充分利用白铁皮又能使作出的盒身与盒底配套？ · 面积问题、数字问题 【典例】 【例1】 已知一个长方形的周长为30cm，若长方形的长减少1cm，宽扩大为原来的2倍后成为一个正方形，设原来长方形的长为xcm，则可列方程（　　） A.x－1＝2（15－x） B.x－1＝2（30－x） C. D. 【例2】一个长方形的周长为，这个长方形的长减少，宽增加，就可成为一个正方形，设长方形的长为，则可列方程（　　） A. B. C. D. 【例3】一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数大9，则原来的两位数为（　　） A．54 B．27 C．72 D．45 · 方案问题 【典例】 【例1】一家三口准备外出旅行，甲旅行社告知“大人买全票，儿童按半价优惠”，乙旅行社告知“家庭旅行可按团体计价，即每人均按全票的8折优惠”．若这两家旅行社每人的原价相同，那么（　　） A.甲比乙更优惠 B.乙比甲更优惠 C.甲与乙同等优惠 D.哪家更优惠要看原价 【例2】某校组织10位教师和部分学生外出考察，全程票价为25元，对集体购票，客运公司有两种优惠方案可供选择：方案一：所有师生按票价的88%购票；方案二：前20人购全票，从第21人开始，每人按票价的80%购票． (1)若有30位学生参加考察，问选择哪种方案更省钱? (2)参加考察的学生人数是多少时，两种方案车费一样多? 【例3】自开展全区读书宣传活动以来，某书店出租生意非常火爆，为此开设两种租书方式，方式一：零星租书，每本收费1元；方式二：会员卡租书，会员每月交会员费12元，租书费每本0.4元．小彬经常来该店租书，若小彬每月租书数量为本． （1）分别写出两种租书方式下，小彬每月应付的租书金额（用含的代数式表示）； （2）若小彬在一月内为班级租24本书，试问选用哪种租书方式合算？ （3）小彬每月如何根据租书的情况选择省钱的租书方式？请通过计算验证你的看法． 综合运用 1. 若方程的解也是方程的解，则的值为　　 A． B． C． D． 2. 有64名学生外出参加竞赛，共租车10辆，其中大客车每辆可坐8人，小客车每辆可坐4人，则大、小客车各租 ( ) A．4辆 6辆 B．6辆 4辆 C．5辆 5辆 D．2辆 8辆 3. 已知关于的方程的解与方程的解相同，则　　． 4. 某水池有甲进水管和乙出水管，已知单开甲注满水池需6h，单开乙管放完全池水需要9h，当同时开放甲、乙两管时需要　 　h水池水量达全池的． 5. 已知方程，问a、b分别满足什么条件时： （1） 方程有唯一解？（2）方程无解？（3）方程有无穷多个解？ 6. 某玩具厂出售一种玩具，其成本价每件28元，现有两种方式销售． 方式1：直接由玩具厂的门市部销售，每件产品售价为40元，同时每月还要支出其他费用3600元； 方式2：委托某一商场销售，出厂价定为每件35元． （1）若每个月销售件，则方式1可获得利润为 　元　，方式2可获得利润为 　　； （2）若每个月销售量达到2000件时，采用哪种销售方式获得利润较多？ （3）请列一元一次方程求解：每个月销售多少件时，两种销售方式所得利润相等？ 学科网（北京）股份有限公司 $$