精品解析：广东省2025届普通高中毕业班第二次调研考试数学试卷

广东省2025届普通高中毕业班第二次调研考试 数学 本试卷共4页，考试用时120分钟，满分150分. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己所在的市（县、区）、学校、班级、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在每张答题卡左上角“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解出二次不等式后利用充分条件与必要条件定义即可得. 【详解】，解得或， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2. 若双曲线满足，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据离心率公式计算可得答案. 【详解】由，得， 即. 故选：C. 3. 设全集，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交并补集的性质可得再运算即可. 【详解】因为，则，即，因为. 故选：A 4. 已知四棱锥的体积为4，底面是边长为的正方形，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据四棱锥的体积为4求出高h，再结合直线与平面所成角的正弦值为即可得答案. 【详解】四棱锥的体积，得， 直线与平面所成角的正弦值为， 故选：B. 5. 设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为( ). A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当时，，所以，然后在和时，分别判断和的零点，即，的取值范围，最后综合判断即可. 【详解】因为时，，又因为单调递增，所以； 若，则，所以时，，即； 若，则，所以时，，即. 综上所述，， 故选：D. 6. 已知向量，，，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由和及和的关系可知，四边形为直角梯形，由梯形面积计算即可. 【详解】因为，，所以四边形为直角梯形. ，，，则面积， 故选：B. 7. 已知函数（，），，，且在区间上单调，则的最大值为( ). A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意计算出周期，再由周期求，又因为在区间上单调， 所以列出不等式，计算出，判断即可. 【详解】由题意知，，则， 因为，所以，又因为在区间上单调， 所以，解得，则的最大值为. 故选：B. 8. 一个正八面体的八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字.事件，事件，若事件满足，，则满足条件的事件的个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】根据事件的运算法则得到各个事件的概率，根据题意得出1或2，分别讨论这两种情况即可. 【详解】样本空间，这是一个古典概型，可得，， 即，，从而且. 由可得事件；又因为，所以1或2. (1)若，则，即，， 此时不满足； (2)若，则，且，又因为， 所以或，即或3； ①若，，此时或或或 ，也就是从事件中的四个样本点中选3个，再加入6这一个样本 点，即有个满足条件的事件； ②若，，同理有个满足条件的事件； ③若，，此时或或或， 即从事件的四个样本点中选1个，再加入5，6，7这三个样本点，即有个满足条件的事件； ④若，，同理有个满足条件的事件； 综上所述，满足条件的事件共计个. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，则（ ） A. 可以是 B. 若为纯虚数，则的虚部是2 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数运算法则计算可得A正确，B错误，C正确，再由复数的几何意义并根据圆上点的距离最值问题可得D错误. 【详解】当时，，选项A正确； 若为纯虚数，则，选项B错误； 易知，选项C正确； 由可知，在复平面上，复数对应的点在以点为圆心，2为半径的圆上， 的几何意义是点到点的距离，可得，选项D错误， 故选：AC. 10. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. 当时，取得最小值 D. 记，则数列的前项和为 【答案】BCD 【解析】 【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式，结合二次函数性质可解. 【详解】由题意可设公差为，则有 由有：，故A错误； 故B正确； ，由二次函数的性质可知： 当时，取得最小值，故C正确； 因为， 所以 所以为等差数列，公差为4，首项为， 所以的前项和为：故D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，在上的最大值为 B. 在上单调递增 C. 当时， D. 当且仅当时，曲线与轴有三个交点 【答案】ABD 【解析】 【分析】代入可得分段函数的解析式，求导得出单调新计算可得A正确，对参数进行分类讨论得出解析式，求导得出单调性可判断B正确；取特殊值可知当时，，可得C错误；根据函数图象由交点个数得出不等式可解得，可得D正确. 【详解】（1）当时，可得则； 则当时，，单调递增； 当时，，单调递减，如图（a）； 当时，，选项A正确； 图（a） 图（b） 图（c） 图（d） （2）当时，易知 ①当时，恒成立，单调递增，如图（b）； ②当时，当时，，单调递增； 当时，，单调递减，如图（c）； （3）当时，易知 当时，，单调递增； 当时，，单调递减；如图（d） 综上所述，在上单调递增，选项B正确； 当时，不一定成立，比如时，，选项C错误； 只有时，的图象与轴可能有三个交点， 此时解得，选项D正确， 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于对参数进行分类讨论得出解析式，通过求导得出单调性，再根据极值以及函数图象交点个数判断得出结论. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14题第一空2分，第二空3分. 12. 在中，，，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理求解. 【详解】由正弦定理，得， 解得， 又，所以，即. 故答案为： 13. 若函数的图象与直线有两个交点，则的最小值为________. 【答案】3 【解析】 【分析】先由基本不等式得出，当且仅当时，的图象与直线有两个交点，所以的最小值为. 【详解】函数是偶函数，且， 当且仅当时等号成立，此时， 因为的图象与直线有两个交点，所以的最小值为. 故答案为：. 14. 已知点为椭圆的右焦点，直线与椭圆相交于，两点，且与圆在轴右侧相切.若经过点且垂直于轴，则________；若没有经过点，则的周长为_________. 【答案】 ①. ； ②. 【解析】 【分析】当直线经过点且垂直于轴时，线段，当直线不经过点时由圆与直线相切的位置关系计算可得结果. 【详解】设，易知长半轴长，离心率； 设与圆相切于点，若垂直于轴，此时与重合，则有， 所以，得， 此时直线，将代入得，所以. 若没有经过点，设，， 由椭圆性质和题意可知，，所以， . 由椭圆方程得， 代入上式有. ， 则， 同理，所以的周长. 故答案为：，. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 某市举办一年一度的风筝节，吸引大批游客前来观赏.为了解交通状况，有关部门随机抽取了200位游客，对其出行方式进行了问卷调查（每位游客只填写一种出行方式），具体情况如下： 出行方式 地铁 公交车 出租车 自驾 骑行 步行 频数 54 27 38 42 18 21 用上表样本的频率估计概率，低碳出行方式包括地铁、公交车、骑行和步行： （1）若从参加活动的所有游客中随机抽取3人，这3人中低碳出行的人数记为，求和； （2）据另一项调查显示，80%的低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，60%的非低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，求今年参加活动的游客明年继续参加活动的概率. 【答案】（1）， （2）. 【解析】 【分析】（1）记“低碳出行”为事件，根据二项分布的期望公式计算可得答案； （2）根据全概率公式计算可得答案. 【小问1详解】 记“低碳出行”为事件，估计. 则，， ； 【小问2详解】 由（1）知，则有， 记“今年参加活动的游客明年继续参加活动”为事件， 由题意，， 所以. 16. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，即可得直线斜率，进而可求解直线方程， （2）对分和，求导，即可根据单调性求解，或者将不等式变形为，构造，，分别利用导数求解函数的单调性，求得最值求解. 【小问1详解】 ， ，则， 曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 解法1：定义域为. ①当时，，，则，即； ②当时，. 设，， 由于均在上单调递增，故在上单调递增，， 所以， 所以在上单调递增，，，即， 所以在上单调递增，，则， 综上所述，. 解法2：定义域为. 要证，只需证，只需证， 令，，， 当，，单调递减； 当，，单调递增， ， ， 当，，单调递增； 当，，单调递减， ， 综上所述，，也就是，即 【点睛】方法点睛：利用导数比较大小或者证明的基本步骤 (1)作差或变形； (2)构造新的函数； (3)利用导数研究的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 17. 如图，四棱锥的底面是边长为2菱形，，，分别是，的中点. （1）求证；平面； （2）若，，，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）利用中位线的性质构造线线平行，再利用线面平行的判定证明即可； （2）根据线面垂直的判定先证明平面，再建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算面面夹角即可. 【小问1详解】 取的中点为，连接，. 点，分别是，的中点， 是的中位线，即，， 在菱形中，，. ，，即四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，平面. 【小问2详解】 连接，， ，，，平面，平面， 平面， 又平面，， ， 又，则，所以. 即直线，，两两垂直. 如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，，. 设平面的法向量为，平面的法向量为， 由得取. 由得取. 设平面与平面所成角为，则 ， 即平面与平面所成角的余弦值为. 18. 在数列中，，都有，，成等差数列，且公差为. （1）求，，，； （2）求数列的通项公式； （3）是否存在，使得，，，成等比数列.若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）3；5；9；13 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据，，成等差数列，公差为2；，，成等差数列，公差为4求解即可； （2）由题意，，再分与两种情况求解即可； （3）根据等比中项的性质，结合通项公式求解即可. 【小问1详解】 由题意，，，成等差数列，公差为2；，，成等差数列，公差为4. 则，，，. 【小问2详解】 由题意，. 当，时， ， 且满足上式，所以当为奇数时，. 当时，. 所以 【小问3详解】 存在时，使得，，，成等比数列 证明如下： 由（2）可得，，， 假设，，成等比数列， 则， 化简得，所以，即， 此时，所以当时，，，，成等比数列. 19. 已知集合，，设函数. （1）当和时，分别判断函数是否是常数函数？说明理由； （2）已知，求函数是常数函数的概率； （3）写出函数是常数函数的一个充分条件，并说明理由. 【答案】（1）答案见解析 （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）分情况讨论，运用三角恒等变换诱导公式，同角三角函数关系式，二倍角公式进行化简函数，再结合常数函数概念判定即可；（2）运用常数函数概念，结合和差角公式，结合三角函数方程知识，进行计算，再结合古典概型概率计算即可；（3）运用常数函数概念，结合三角恒等变换，分情况讨论，找出充分条件即可. 【小问1详解】 当时，， 此时是常数函数； 当时， ，此时不是常数函数. 【小问2详解】 设，不妨令. . 若函数是常数函数，则 则， 得，所以， 得或，，所以或，， 同理或，，或，， 则① 集合共有13个元素，从中任取3个元素组成集合， 共个， 而满足①的集合有，，，，，共5个， 则使得函数是常数函数的概率为. 【小问3详解】 不妨令， 因为 ， 若函数是常数函数，则 得，所以， 得，，所以，， ①当为偶数时，可以拆分成组两项（，）的和，每一组为定值时，也为定值， 所以函数是常数函数的一个充分条件可以是 ②当为奇数时，可以拆分成1组三项的和与组两项（，）的和，每一组为定值时，也为定值， 所以函数是常数函数的一个充分条件可以是 . 综上所述， 当为偶数时，函数是常数函数的一个充分条件可以是 ； 当为奇数时，函数是常数函数的一个充分条件可以是 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省2025届普通高中毕业班第二次调研考试 数学 本试卷共4页，考试用时120分钟，满分150分. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己所在的市（县、区）、学校、班级、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在每张答题卡左上角“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 若双曲线满足，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 3. 设全集，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知四棱锥的体积为4，底面是边长为的正方形，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为( ). A. B. C. D. 6. 已知向量，，，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数（，），，，且在区间上单调，则的最大值为( ). A. B. C. D. 8. 一个正八面体的八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字.事件，事件，若事件满足，，则满足条件的事件的个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 24 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，则（ ） A. 可以是 B. 若为纯虚数，则的虚部是2 C. D. 10. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. 当时，取得最小值 D. 记，则数列的前项和为 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，在上的最大值为 B. 在上单调递增 C. 当时， D. 当且仅当时，曲线与轴有三个交点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14题第一空2分，第二空3分. 12. 在中，，，，则________. 13. 若函数的图象与直线有两个交点，则的最小值为________. 14. 已知点为椭圆的右焦点，直线与椭圆相交于，两点，且与圆在轴右侧相切.若经过点且垂直于轴，则________；若没有经过点，则的周长为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 某市举办一年一度的风筝节，吸引大批游客前来观赏.为了解交通状况，有关部门随机抽取了200位游客，对其出行方式进行了问卷调查（每位游客只填写一种出行方式），具体情况如下： 出行方式 地铁 公交车 出租车 自驾 骑行 步行 频数 54 27 38 42 18 21 用上表样本的频率估计概率，低碳出行方式包括地铁、公交车、骑行和步行： （1）若从参加活动的所有游客中随机抽取3人，这3人中低碳出行的人数记为，求和； （2）据另一项调查显示，80%的低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，60%的非低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，求今年参加活动的游客明年继续参加活动的概率. 16. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：. 17. 如图，四棱锥的底面是边长为2菱形，，，分别是，的中点. （1）求证；平面； （2）若，，，求平面与平面所成角的余弦值. 18. 在数列中，，都有，，成等差数列，且公差为. （1）求，，，； （2）求数列的通项公式； （3）是否存在，使得，，，成等比数列.若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19. 已知集合，，设函数. （1）当和时，分别判断函数是否是常数函数？说明理由； （2）已知，求函数是常数函数的概率； （3）写出函数是常数函数的一个充分条件，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $