21.3实际问题与一元二次方程 同步训练 2024-2025学年人教版数学九年级上册

实际问题与一元二次方程 同步训练 一.选择题(共5小题) 1.某公司年报显示,该公司2023年的利润为6600万元,受市场波动影响,2023年利润增长率为2022年利润增长率的一半,若该公司2021年的利润为5000万元,则该公司2023年利润增长率为( ) A.5% B.10% C.15% D.20% 2.某中学的初三篮球赛中,参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛,共比赛21场,设参加比赛的球队有x支,根据题意,下面列出的方程正确的是( ) A.x(x+1)=21 B.x(x﹣1)=21 C.x(x+1)=21 D.x(x﹣1)=21 3.电影《志愿军》不仅讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事,更是通过鲜活生动的人物塑造,让观众体会到历史事件背后的人性和情感,一上映就获得全国人民的追捧.某地第一天票房约3亿元,若以后每天票房按相同的增长率增长,三天后票房收入累计达18亿元,若把增长率记作x,则方程可以列为( ) A.3(1+x)=18 B.3(1+x)2=18 C.3+3(1+x)2=18 D.3+3(1+x)+3(1+x)2=18 4.2022年生产1吨药品的成本是5000元,随着生产技术的进步,2024年生产1吨药品的成本是3200元,设这种药品成本的年平均下降率为x,下列说法错误的是( ) A.这种药品的年平均下降额是900元 B.2023年这种药品的成本为5000(1﹣x)元 C.x=20% D.按照这种下降速度,2025年生产1吨这种药品的成本为2300元 5.近年来,由于新能源汽车的崛起,燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑,经销商纷纷开展降价促销活动.某款燃油汽车今年2月份售价为23万元,4月份售价为18.63万元,设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x,则所列方程正确的是( ) A.23(1﹣x)2=18.63 B.18.63(1+x)2=23 C.18.63(1﹣x)2=23 D.23(1﹣2x)=18.63 二.填空题(共5小题) 6.为执行国家药品降价政策,给人民群众带来实惠,某药品经过两次降价,每瓶零售价由200元降为162元,求平均每次降价的百分率,设平均每次降价的百分率为x,则可列方程为 . 7.为促进消费,某地方政府开展发放政府补贴消费的“消费券活动”,某商场的月销售额逐步增加;据统计8月份的销售额为300万元,接下来9月、10月的月增长率相同,10月份的销售额为700万元,若设9月、10月每月的增长率为x,则可列方程为 . 8.绘画兴趣小组的每名同学将自己水墨画作品向本组其他成员各赠送一件,全组共互赠了272件.若设全组有x名同学,则根据题意列出方程为 . 9.某航空公司有若干个飞机场,每两个飞机场之间都开辟了一条航线,一共开辟了6条航线,这个航空公司共有 个飞机场. 10.某木器厂今年二月份生产了课桌500张,从三月份起加强了管理,产量逐月上升,四月份产量达到605张.如果三、四月份的月增长率相同,设这个增长率为x,则根据题意可列方程为 . 三.解答题(共4小题) 11.同学们开展的综合实践活动中取得了系列丰硕的成果,需要推广宣传.原计划使用一块正方形ABCD场地布展,后经过研究,发现长与宽之比为3:2的长方形AGFE场地展览效果更好,因此需要把长增加6米,宽增加2米(如图1). (1)直接写出长方形区域AEFG的宽AG是 m,长AE是 m. (2)现计划将长方形区域AEFG按图2的方式进行划分,展示四个小组的项目成果,在各展区之间留宽度相等的过道.如果各展区的总面积为60m2,求过道的宽度. 12.为了庆祝祖国75岁华诞,小红制作了一副《盛世华章》的手工刺绣,如图该作品是一个长60cm,宽40cm的矩形,小红想将此作品装裱到四周宽度相同的相框里,制成一副矩形挂图.若要使整个挂图的面积是3500cm2,求相框的宽度? 13.某品牌新能源汽车2021年的销售量为20万辆,随着消费人群的不断增多,该品牌新能源汽车的销售量逐年递增,2023年的销售量为28.8万辆. (1)求从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率; (2)按照(1)中所求平均年增长率计算2024年该品牌新能源汽车的销售量. 14.为了让学生养成热爱阅读的习惯,某学校用于购买图书的资金逐年递增.已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元,2022年用于购买图书的费用是7200元,求2020年到2022年该学校购买图书费用的年平均增长率. 参考答案与试题解析 一.选择题(共5小题) 1.某公司年报显示,该公司2023年的利润为6600万元,受市场波动影响,2023年利润增长率为2022年利润增长率的一半,若该公司2021年的利润为5000万元,则该公司2023年利润增长率为( ) A.5% B.10% C.15% D.20% 【分析】设该公司2023年利润增长率为x,则该公司2023年利润增长率为2x,根据该公司2023年的利润为6600万元,列出一元二次方程,解之取符合题意的值即可. 【解答】解:设该公司2023年利润增长率为x,则该公司2022年利润增长率为2x, 由题意得:5000(1+2x)(1+x)=6600, 解得:x1=0.1=10%,x2=﹣1.6(不符合题意,舍去), 即该公司2023年利润增长率为10%, 故选:B. 【点评】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键. 2.某中学的初三篮球赛中,参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛,共比赛21场,设参加比赛的球队有x支,根据题意,下面列出的方程正确的是( ) A.x(x+1)=21 B.x(x﹣1)=21 C.x(x+1)=21 D.x(x﹣1)=21 【分析】利用比赛的总场数=参赛队伍数 (参赛队伍数﹣1) 2,即可得出关于x的一元二次方程,此题得解. 【解答】解:依题意得:x(x﹣1)=21. 故选:B. 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,找准等量关系,正确列出一元一次方程是解题的关键. 3.电影《志愿军》不仅讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事,更是通过鲜活生动的人物塑造,让观众体会到历史事件背后的人性和情感,一上映就获得全国人民的追捧.某地第一天票房约3亿元,若以后每天票房按相同的增长率增长,三天后票房收入累计达18亿元,若把增长率记作x,则方程可以列为( ) A.3(1+x)=18 B.3(1+x)2=18 C.3+3(1+x)2=18 D.3+3(1+x)+3(1+x)2=18 【分析】根据题意和题目中的数据,可以列出方程3+3(1+x)+3(1+x)2=18,本题得以解决. 【解答】解:由题意可得, 3+3(1+x)+3(1+x)2=18, 故选:D. 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程,解答本题的关键是明确题意,找出等量关系,列出相应的方程. 4.2022年生产1吨药品的成本是5000元,随着生产技术的进步,2024年生产1吨药品的成本是3200元,设这种药品成本的年平均下降率为x,下列说法错误的是( ) A.这种药品的年平均下降额是900元 B.2023年这种药品的成本为5000(1﹣x)元 C.x=20% D.按照这种下降速度,2025年生产1吨这种药品的成本为2300元 【分析】设这种药品成本的年平均下降率为x,得到2023年这种药品的成本,来判断B;根据等量关系:2年前的生产成本 (1﹣下降率)2=现在的生产成本列出方程求出年平均下降率来判断C;根据下降率求出两年的下降额,再求出年平均下降额度来判定A,最后用3200(1﹣x)计算出2025年的成本来判断D. 【解答】解:设这种药品成本的年平均下降率为x, 根据2022年生产1吨药品的成本是5000元得2023年这种药品的成本为5000(1﹣x),故B不符合题意; ∵2024年生产1吨药品的成本是3200元, ∴5000(1﹣x)2=3200, 解得x1=0.2,x2=1.8(不符合题意,舍去), 所以这种药品成本的年平均下降率为20%,故C项不符合题意; 这种药品2023年下降5000 0.2=1000(元),2024年下降额4000 0.2=800(元), 所以的年平均下降额是900元,故A不符合题意; 按照这种下降速度,2025年生产1吨这种药品的成本为3200﹣3200 0.2=2560(元),故此项符合题意. 故选:D. 【点评】本题考查了一元二次方程的应用,得到2年内变化情况的等量关系是解答关键. 5.近年来,由于新能源汽车的崛起,燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑,经销商纷纷开展降价促销活动.某款燃油汽车今年2月份售价为23万元,4月份售价为18.63万元,设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x,则所列方程正确的是( ) A.23(1﹣x)2=18.63 B.18.63(1+x)2=23 C.18.63(1﹣x)2=23 D.23(1﹣2x)=18.63 【分析】利用该款燃油汽车今年4月份的售价=该款燃油汽车今年2月份的售价 (1﹣该款汽车这两月售价的月平均降价率)2,即可列出关于x的一元二次方程,此题得解. 【解答】解:根据题意得:23(1﹣x)2=18.63. 故选:A. 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键. 二.填空题(共5小题) 6.为执行国家药品降价政策,给人民群众带来实惠,某药品经过两次降价,每瓶零售价由200元降为162元,求平均每次降价的百分率,设平均每次降价的百分率为x,则可列方程为 200(1﹣x)2=162 . 【分析】设平均每次降价的百分率是x,结合题意,通过列一元二次方程并求解,即可得到答案. 【解答】解:设平均每次降价的百分率是x,根据题意,得: 根据题意,得:200(1﹣x)2=162, 故答案为:200(1﹣x)2=162. 【点评】本题考查了从实际问题抽象出一元二次方程,找出等量关系是解答本题的关键. 7.为促进消费,某地方政府开展发放政府补贴消费的“消费券活动”,某商场的月销售额逐步增加;据统计8月份的销售额为300万元,接下来9月、10月的月增长率相同,10月份的销售额为700万元,若设9月、10月每月的增长率为x,则可列方程为 300(1+x)2=700 . 【分析】根据题意,可以写出相应的一元二次方程,本题得以解决. 【解答】解:由题意可得, 300(1+x)2=700, 故答案为:300(1+x)2=700. 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程,解答本题的关键是明确题意,列出相应的方程. 8.绘画兴趣小组的每名同学将自己水墨画作品向本组其他成员各赠送一件,全组共互赠了272件.若设全组有x名同学,则根据题意列出方程为 x(x﹣1)=272 . 【分析】由绘画兴趣小组的人数,可得出每名同学需赠送(x﹣1)件水墨画作品,结合全组共互赠了272件水墨画作品,即可列出关于x的一元二次方程,此题得解. 【解答】解:∵绘画兴趣小组的每名同学将自己水墨画作品向本组其他成员各赠送一件,且全组有x名同学, ∴每名同学需赠送(x﹣1)件水墨画作品. 根据题意得:x(x﹣1)=272. 故答案为:x(x﹣1)=272. 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键. 9.某航空公司有若干个飞机场,每两个飞机场之间都开辟了一条航线,一共开辟了6条航线,这个航空公司共有 4 个飞机场. 【分析】设这个航空公司共有x个飞机场,根据每两个飞机场之间都开辟一条航线,一共开辟了6条航线,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论. 【解答】解:设这个航空公司共有x个飞机场, 依题意得:x(x﹣1)=6, 整理得:x2﹣x﹣12=0, 解得:x1=4,x2=﹣3(不合题意,舍去), 即这个航空公司共有4个飞机场, 故答案为:4. 【点评】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键. 10.某木器厂今年二月份生产了课桌500张,从三月份起加强了管理,产量逐月上升,四月份产量达到605张.如果三、四月份的月增长率相同,设这个增长率为x,则根据题意可列方程为 500(1+x)2=605 . 【分析】根据增长率问题直接进行求解. 【解答】解:设这个增长率为x, 由题意得,500(1+x)2=605; 故答案为500(1+x)2=605. 【点评】本题主要考查一元二次方程的应用,熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键. 三.解答题(共4小题) 11.同学们开展的综合实践活动中取得了系列丰硕的成果,需要推广宣传.原计划使用一块正方形ABCD场地布展,后经过研究,发现长与宽之比为3:2的长方形AGFE场地展览效果更好,因此需要把长增加6米,宽增加2米(如图1). (1)直接写出长方形区域AEFG的宽AG是 8 m,长AE是 12 m. (2)现计划将长方形区域AEFG按图2的方式进行划分,展示四个小组的项目成果,在各展区之间留宽度相等的过道.如果各展区的总面积为60m2,求过道的宽度. 【分析】(1)设正方形ABCD的边长为x m,则AB=AD=x m,AG=(x+2)m,AE=(x+6)m,根据长与宽之比为3:2的长方形AGFE场地展览效果更好,列出一元一次方程,解方程即可; (2)设过道的宽度为y m,则各展区可合成长为(12﹣y)m,宽为(8﹣y)m的矩形,根据各展区的总面积为60m2,列出一元二次方程,解之取符合题意的值即可. 【解答】解:(1)设正方形ABCD的边长为x m,则AB=AD=x m,AG=(x+2)m,AE=(x+6)m, 由题意得:(x+6):(x+2)=3:2, 解得:x=6, ∴x+2=8,x+6=12, 即AG=8m,AE=12m, 故答案为:8,12; (2)设过道的宽度为y m,则各展区可合成长为(12﹣y)m,宽为(8﹣y)m的矩形, 由题意得:(12﹣y)(8﹣y)=60, 整理得:y2﹣20y+36=0, 解得:y1=2,y1=18(不合题意,舍去), 答:过道的宽度为2m. 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出一元一次方程;(2)找准等量关系,正确列出一元二次方程. 12.为了庆祝祖国75岁华诞,小红制作了一副《盛世华章》的手工刺绣,如图该作品是一个长60cm,宽40cm的矩形,小红想将此作品装裱到四周宽度相同的相框里,制成一副矩形挂图.若要使整个挂图的面积是3500cm2,求相框的宽度? 【分析】设相框的宽度为x cm,则整个挂图的长为(60+2x)cm,宽为(40+2x)cm,根据整个挂图的面积是3500cm2,列出一元二次方程,解之取符合题意的值即可. 【解答】解:设相框的宽度为x cm,则整个挂图的长为(60+2x)cm,宽为(40+2x)cm, 由题意得:(60+2x)(40+2x)=3500, 整理得:x2+50x﹣275=0, 解得:x1=5,x2=﹣55(不合题意,舍去), 答:相框的宽度为5cm. 【点评】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键. 13.某品牌新能源汽车2021年的销售量为20万辆,随着消费人群的不断增多,该品牌新能源汽车的销售量逐年递增,2023年的销售量为28.8万辆. (1)求从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率; (2)按照(1)中所求平均年增长率计算2024年该品牌新能源汽车的销售量. 【分析】(1)设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x,根据题意,销售量从2021年20万辆增加到2023年51.2万辆,增加了31.2万辆,列出方程求解即可. (2)根据(1)中计算得出的增长率,列出算式求解即可. 【解答】解:(1)设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x. 得:20(1+x)2﹣20=31.2, 解得:x1=0.6,x2=﹣2.6(舍去). 答:从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为60%. (2)由题意得:51.2 (1+0.6)=81.92(万辆). ∴2024年该品牌新能源汽车的销售量为81.92万辆. 【点评】本题考查一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键. 14.为了让学生养成热爱阅读的习惯,某学校用于购买图书的资金逐年递增.已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元,2022年用于购买图书的费用是7200元,求2020年到2022年该学校购买图书费用的年平均增长率. 【分析】设2020年到2022年该学校购买图书费用的年平均增长率为x,根据2020年该学校用于购买图书的费用为5000元,2022年用于购买图书的费用是7200元,列出一元二次方程,解之取符合题意的值即可. 【解答】解:设2020年到2022年该学校购买图书费用的年平均增长率为x, 由题意得:5000 (1+x)2=7200, 解得:x1=0.2=20%,x2=﹣2.2(不符合题意,舍去), 答:2020年到2022年该学校购买图书费用的年平均增长率为20%. 【点评】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键. 声明:试题解析著作权属所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2024/11/24 22:11:37;用户:资源;邮箱:13851372384;学号:59917209 第1页(共1页) 学科网(北京)股份有限公司 $$