23.1图形的旋转 同步训练 2024-2025学年人教版数学九年级上册

图形的旋转 同步训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，把绕顶点按顺时针方向旋转得到，当，，时，的度数为（    ） A． B． C． D． 2．把两个全等的直角三角形按图1叠放，，，顶点C重合，边BC与边EC重合．固定，将绕点C按顺时针方向旋转，连接（如图2），当旋转角度为时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图所示，在直角坐标系中，已知点，对连续作旋转变换，依次得到三角形、、、，，若连续作旋转变换，则第次旋转后的三角形的直角顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．如图，将AB线段绕点O顺时针旋转180°后得到线段CD，则点A的对应点是（　　） A．B B．C C．D D．O 5．如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A’CB’，若AC⊥A’B’，则∠BAC等于（ ） A．50° B．60° C．70° D．80° 二、填空题 6．如图，中，，将绕点逆时针旋转到的位置，当时，连接，则的度数为 ．    7．如图，已知点是正方形内的一点，连接，若，，，则的长为 ． 8．如图所示，将点M绕点O顺时针旋转得到点N，则点N在 ． 9．如图，将绕点旋转得到，若点A的坐标为，则点的坐标为 ． 10．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，把绕点B逆时针旋转后得到，则点的坐标是 ． 三、解答题 11．已知，在四边形中，，连接． (1)如图1，若，，，求的面积； (2)如图2，若，平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若点P是射线上一动点，连接．将线段绕着点D顺时针旋转，点P的对应点为，若，请直接写出的最小值． 12．实践与探究 【问题提出】已知三条射线、、，若其中一条射线平分另两条射线所组成的角时（如下图中），我们称、、组成的图形为“角分图形”． 【问题探究】在一次数学活动课上，小明和小亮同学用一个含角的直角三角板做分角实验.如图1，在直线上取一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． 小明同学将图1中的三角板绕点逆时针旋转，使一边在的内部，如图2．小明发现此时、、组成的图形为“角分图形”，请说明理由． 【类比探究】 小亮同学将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，发现射线、、恰好构成“角分图形”，请求出的值． 【问题拓展】 小明同学将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图3，使在的内部，问题：在旋转过程中，与的差是否发生变化?若不变，请求出这个差值；若变化，请求出差的变化范围． 13．如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．（注：） （1）如图1，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OA上，则________． （2）如图2，将直角三角板DOE绕点O顺时针方向转动到某个位置，若射线OC恰好平分，求的度数． （3）将直角三角板DOE绕点O顺时针方向转动，试探究和的数量关系．（直接写出答案，不必说明理由，要求化成最简形式） 14．在长方形中，，，点P在线段上运动，将线段绕点B顺时针旋转至，连接，． (1)如图1，当E点落在边上时，求的长度； (2)如图2，在运动过程中，当线段最短时，求的度数； (3)连接 ，当为等腰三角形时，直按写出的长度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 B C B B A 1．B 【分析】由旋转的性质可得，，由直角三角形的性质可求，即可求解． 【详解】解：根据旋转的性质可知，， ． ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键是要找准旋转角、以及旋转后对应的线段和角． 2．C 【分析】由题意得，求得，由旋转的性质得，根据三角形内角和定理求得，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 当旋转角度为时，即， ∴， 由旋转的性质得， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等边对等角，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 3．B 【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转，观察不难发现，每三次旋转为一个循环组依次循环，第个直角三角形的直角顶点与第个直角三角形的直角顶点重合，然后求出一个循环组旋转过的距离，即可得解，观察出每三次旋转为一个循环组依次循环，并且下一组的第一个直角三角形与上一组的最后一个直角三角形的直角顶点重合是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 由原图到图，相当于向右平移了个单位长度，三角形的直角顶点的坐标为， 这样旋转次直角顶点是，再旋转一次到三角形，直角顶点仍然是，， 题中旋转变换规律是每三次旋转为一个循环组依次循环，并且下一组的第一个直角三角形与上一组的最后一个直角三角形的直角顶点重合， ∵， ∴，再翻转一次，直角顶点不变， ∴第次旋转后的三角形的直角顶点的坐标为， 故选：． 4．B 【分析】直接利用中心对称图形的性质得出对应点位置． 【详解】解：将AB线段绕点O顺时针旋转180°后得到线段CD， 则点A的对应点是C． 故选B． 【点睛】此题主要考查中心对称，解题的关键是熟知中心对称的性质. 5．A 【分析】已知旋转角度，旋转方向，可求∠A′CA，根据互余关系求∠A′，根据对应角相等求∠BAC． 【详解】解：依题意旋转角∠A′CA=40°， 由于AC⊥A′B′，由互余关系得∠A′=90°-40°=50°， 由对应角相等，得∠BAC=∠A′=50°． 故选A． 6．/75度 【分析】根据旋转得出，，得出等腰三角形，利用三角形的内角和计算即可． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵绕点C逆时针旋转到的位置， ∴，， ∴是等腰三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是直角三角形和旋转，解题的关键是旋转前后的线段长度不变，旋转的角度相等． 7． 【分析】根据题意，将绕点顺时针旋转得，可得是等腰直角三角形，再根据，可得，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，正方形，， ∴将绕点顺时针旋转，则与重合，得， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴，即，且， ∴在中，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正方形，直角三角形，勾股定理，旋转的性质的综合，掌握旋转的性质，正方形的性质，直角三角形的勾股定理是解题的关键． 8．第三象限 【分析】本题主要考查了旋转的性质，根据题意画出图形是解题关键．作出旋转后的图形，即可得到结论． 【详解】解：将点绕点顺时针旋转得到点，如图， 故将点绕点顺时针旋转得到点，则点在第三象限， 故答案为：第三象限 9． 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，全等三角形的判断与性质，熟知图形旋转的性质是解题的关键． 分别过点和点作轴的垂线，构造出全等三角形即可解决问题． 【详解】解：过点和作轴的垂线，垂足分别为和， 由旋转可知，， ∵轴，轴， ， 在和中， ， ， ， ∵点坐标为，点坐标为， ， ， ∴点的坐标为． 故答案为：． 10． 【分析】求得A、B两点坐标，得到、，根据旋转的性质求得的坐标，即可求解． 【详解】解：直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， 将代入得，，将代入得， 则，，即，， 由旋转的性质可得：，， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了坐标与图形，涉及了一次函数与坐标轴的交点，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 11．(1) (2)见解析 (3)的最小值是 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，垂线段最短， （1）过点C作于点M，则，根据得，在中，，根据勾股定理得，，计算得，即可得； （2）延长得到E，使，连接，根据，平分得，则是等边三角形，，，即可得，根据，得，利用可证明，则，根据，即可得； （3）由（2）知，，根据线段绕着点D顺时针旋转，点P的对应点为的，根据点P是射线上一动点得时，最小，根据得，则，即可得； 掌握旋转的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，垂线段最短，添加辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，过点C作于点M， ∴， ∵， ∴， 在中，，根据勾股定理得，， ∴，， ∴； （2）证明：如图所示，延长得到E，使，连接，    ∵，平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：由（2）知，， ∵线段绕着点D顺时针旋转，点P的对应点为， ∴， ∵点P是射线上一动点， ∴时，最小， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值是． 12．问题探究：见详解 类比探究：秒或秒或秒 问题拓展：不变， 【分析】本题考查了角分线的定义、旋转的性质、角度的加减等知识，由图和正确分类讨论是解题的关键． 问题探究：利用已知条件，旋转的性质和角平分线定义即可得出答案； 类比探究：由分类讨论和旋转的性质，结合题意即可得出答案； 问题拓展：通过设未知数，并根据角的和与差的运算消去未知数即可得出答案． 【详解】解： 问题探究：由题意可知， 、、组成的图形为“角分图形”； 类比探究： 当射线在中间时 此时位于上方，且 此时转过的角度为 （秒） 当射线在中间时 此时转过的角度为 （秒） 当射线在中间时 此时转过的角度为 （秒） 综上所述，秒或秒或秒； 问题拓展： 不变，差值为 设， ． 13．（1）25；（2）50°；（3）∠COE-∠AOD=25° 【分析】（1）根据互余可求出答案； （2）根据角平分线的意义可得∠COE=65°，再根据平角的定义可求出∠BOE的度数； （3）分当点D在∠AOC的内部时，点D在∠AOC的外部时两种情况分别求解． 【详解】解：（1）∠COE=∠DOE-∠AOC=90°-65°=25°， 故答案为：25． （2）∵OC恰好平分∠AOE， ∴∠COE=∠AOC=65°， ∴∠BOE=180-65-65=50°； （3）当点D在∠AOC内部时， 有∠AOD+∠COD=65°，∠COE+∠COD=90°， ∴∠COE-∠AOD=90°-65°=25°， 当点D在∠AOC外部时， 有∠AOD=65°+∠COD，∠COE=∠COD+90°， ∴∠COE-∠AOD=25°， 综上：∠AOD和∠COE的数量关系为：∠COE-∠AOD=25°． 【点睛】本题考查角平分线的意义、互为余角的意义，正确的识图、掌握互余和角平分线的意义是解决问题的前提． 14．(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据四边形是长方形，，得，，根据将线段绕点B顺时针旋转至得，，则，设，则，在中，关根据勾股定理得计算得，则，，即可得； （2）以为边在直线的右侧作等边三角形，连接交于点G，则，根据，得是等边三角形，即可得，根据角之间的关系得，利用证明，则，，当点E在经过点F且与垂直的直线上运动，当时，线段最短，根据得，根据得，则，即，，，根据，，得，则，，则，即可得； （3）分情况讨论，当点P与点A重合，作于点H，则，根据，得，利用证明，则，时等腰三角形，根据得，根据勾股定理得，则，即可得，当是等腰三角形，且，即可得． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形，，， ∴，， ∵将线段绕点B顺时针旋转至， ∴，， ∴， ∴设，则， 在中，关根据勾股定理得，， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，以为边在直线的右侧作等边三角形，连接交于点G， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点E在经过点F且与垂直的直线上运动，当时，线段最短， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为； （3）的长度为或，理由如下： 解：如图所示，点P与点A重合，作于点H， 则， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图所示，是等腰三角形，且， ∴， 综上，的长度为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短，掌握这些知识点，添加辅助线是解题的关键，此题难度较大． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$