湖南省长沙市湖南师大附中梅溪湖中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

湖南师大附中梅溪湖中学2024-2025学年度第一学期期中测试卷 九年级·数学 时量：120分钟 总分：120分 一、选择题（共10小题，每小题3分，共计30分） 1. 下面计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，是圆的一条弦且则弦所对的圆心角是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 4. 下列二次函数中，其图象的对称轴为直线的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形内接于，点为边上任意一点（点不与点，重合）连接．若，则的度数可能为（ ） A. B. C. D. 6. 在一个不透明的盒子中装有颗黑、白两种颜色的棋子，除颜色外其他都相同，搅匀后从中随机摸出一颗棋子，记下颜色后放回盒子中，记为一次试验，通过大量试验后发现摸到黑色棋子的频率稳定在，则盒子中黑色棋子可能有（ ） A. 5颗 B. 10颗 C. 18颗 D. 26颗 7. 已知，二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于（ ） A. 8 B. 4 C. 10 D. 5 9. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，按从大到小的顺序排列正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共计18分） 11. 圆内接正三角形的中心角的度数为______． 12. 在湖南师大附中梅溪湖中学第四届校园歌手大赛中，某组参赛选手得分如下（单位：分）：6，7，7，7，8，9，9，则该组参赛选手得分的中位数是______分． 13. 抛物线可由抛物线向______（填上或下）平移______个单位长度得到． 14. 若圆锥底面的半径为3，它的侧面展开图的面积为，则它的母线长为_______． 15. 如图，在矩形中，点E在上，且平分，则的长为______． 16. 已知抛物线经过点，则的最小值是______． 三、解答题（共7小题，共计72分） 17. 计算：． 18. 已知二次函数与一次函数的图象相交于、两点，如图所示，其中， （1）求和的值； （2）求点坐标，并直接写出的取值范围． 19. 下面是“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：和上一点． 求作：的切线，使经过点． 作法如下：①连接并延长，以为圆心，线段长为半径作弧，交射线于点； ②分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，同样操作，得点（不与点重合）； ③作直线，则就是所求作的的切线． 请根据尺规作图的步骤和痕迹，回答下列问题： （1）步骤③中判断是的切线的依据是（ ） A．与圆只有一个公共点的直线是圆的切线 B．与半径垂直的直线是圆的切线 C．如果圆心到直线的距离等于半径，则该直线是圆的切线 （2）连接，，，求的半径的长． 20. 某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了 名学生； ②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； ③扇形统计图中圆心角 度； （2）若该校有2800名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数； （3）学校计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 21. 如图，在中，点在边上，，将边绕点旋转到的位置，使得，连接与交于点，且，． （1）求证：； （2）求的度数． 22. 为迎接湖南师大附中梅溪湖中学办学十周年庆，某校友为母校设计了一款纪念版文化衫，原计划每件的售价为元，经过校友意见征集后，连续两次降价，最终每件的售价为元，并且每次降价的百分率相同． （1）求该文化衫每次降价的百分率； （2）若该文化衫每件的成本价为元，两次降价后，至少要售出多少件，总利润才能不低于元？ 23. 如图，在中，，以为直径作，与交于点，过点作的垂线，垂足为． （1）证明：是的切线； （2）若的直径是，，求的长． 24. 类似于三角形的内切圆，我们定义：与四边形各边都相切的圆叫做四边形的内切圆．请结合定义，解答下列问题： （1）请你判断下列说法是否正确（正确的打“”，错误的打“”）， ①邻边不相等的矩形一定没有内切圆；（ ） ②正方形一定有内切圆；（ ） ③四边形中，若，，则四边形没有内切圆（ ） （2）如图1，若四边形有内切圆，求证：． （3）如图2，四边形中，若，它的内切圆与边，，，分别相切于点，，，，连接，交于点． ①求证：； ②连接，若的半径为1，当时，求的取值范围． 25. 抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），点是抛物线的顶点，连接、． （1）求、的坐标（用含的式子表示）； （2）若抛物线与直线交于，两点，当，满足时，直线是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标，否则，请说明理由； （3）如图，若是等腰直角三角形，点是一动点且满足，连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接，求的最大值． 湖南师大附中梅溪湖中学2024-2025学年度第一学期期中测试卷 九年级·数学 时量：120分钟 总分：120分 一、选择题（共10小题，每小题3分，共计30分） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】A 二、填空题（共6小题，每小题3分，共计18分） 【11题答案】 【答案】120°##120度 【12题答案】 【答案】7 【13题答案】 【答案】 ①. 上 ②. 【14题答案】 【答案】## 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】 三、解答题（共7小题，共计72分） 【17题答案】 【答案】 【18题答案】 【答案】（1） （2）， 【19题答案】 【答案】（1）B （2）的半径的长为 【20题答案】 【答案】（1）①400； ②补全条形统计图如下： ③54° （2）980人 （3） 【21题答案】 【答案】 （1）证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴； （2） 【22题答案】 【答案】（1）该文化衫每次降价的百分率为； （2）至少要售出件，总利润才能不低于元 【23题答案】 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2） 【24题答案】 【答案】（1），，； （2） 证明：如图，设分别与相切于点， ， ， ， ； （3） ①证明∶如图，连接， 是四边形的内切圆， ， ， ， 同理可得， ， ， ， ，， ， ， ； ② 【25题答案】 【答案】（1） （2） 解：直线l总经过定点，理由如下： ∵抛物线与直线交于，两点， ∴， 整理得， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ 得， ∴ 当时， ∴直线l总经过定点； （3）最大值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $