4.2平方根讲义2024-2025学年鲁教版(五四制)七年级数学上册

专题 平方根（知识讲解） 【要点梳理】 【知识点一】算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 特别说明：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 【知识点二】平方根的定义 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 【知识点三】平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 特别说明：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 【知识点四】平方根的性质 【知识点五】平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【典型例题】 类型一、求一个数的平方根 1．求下列各数的算术平方根． (1)169； (2)； (3)0.09； (4)(﹣3)2． 【变式练习1】计算（1）； （2）； （3） （4）- 【例2】若一个数的算术平方根是，则这个数是_________. 【变式练习2】的算术平方根为_________，=_________ 【例3】下列结果错误的有（ ） ① ； ② 的算术平方根是4； ③ 的算术平方根是； ④ 的平方根是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例4】下列语句写成式子正确的是（ ） A．7是49的算术平方根，即； B．7是的算术平方根，即； C．是49的平方根，即 D．是7的算术平方根，即 【例5】若，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式练习3】若，则a是（    ） A．实数 B．有理数 C．正实数 D．非负实数 【变式练习4】已知实数，满足，则的值为 ． 【变式练习5】若，写出一个符合条件的的值 ． 【变式练习6】已知，求的值． 总结：算术平方根只有一个值 注意求谁的算术平方根 所有值都化简之后再求值 巩固练习 1.下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若一个数的算术平方根是，那么这个数是 ； 3．的算术平方根是 ；的算术平方根是 ；C A 4．求下列各数的算术平方根： （1）36， （2）（3）15， （4）0.64（5）， （6）， 考点二：平方根 概念：一般地，如果一个数x的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根.而把正的平方根叫算术平方根。 表达式为:若x=a，那么x叫做a的平方根. 记作： 例如:(±4) =16,则+4和-4都是16的平方根;即16的平方根是±4; 4是16的算术平方根. 开平方的概念：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。 技巧与应用：一个正数有两个平方根，一个正数，一个负数。两个数互为相反。一个正数的正的平方根，记作“”，正数的负的平方根记作“”。这两个平方根合起来记作“”，读作“正，负根号a”. 且它们互为相反数。也即两个数的和等于0。 2： 0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。 3、 ，。 【例1】平方根等于本身的数是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．0，±1 【例2】（﹣2）2的平方根是（　　） A．±2 B．﹣2 C．2 D． 【例3】一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣3和5﹣a． （1）求a和x的值． （2）求x+12a的平方根． 巩固练习 (1)的平方根是_________； (2)(－)2的算术平方根是_________； (3)一个正数的平方根是2a－1与－a+2，则a=_________，这个正数是_________； (6)的值等于_________，的平方根为_________； (7)(－4)2的平方根是_________，算术平方根是_________. (8)的化简结果是 ( ) A.2 B.－2 C.2或－2 D.4 (9)9的算术平方根是 A.±3 B.3 C.± D. (10)下列式子中，正确的是 ( ) A. B.－=－0.6 C.=13 D.=±6 平方根与算术平方根的联系与区别 联系：(1) 具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种. (2) 存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有非负数才有. (3) 0的平方根，算术平方根都是0. 区别： (1)定义不同：“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根”； “非负数a的非负平方根叫a的算术平方根”. (2)个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个. (3)表示法不同：正数a的平方根表示为±，正数a的算术平方根表示为. (4)取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只有一个. 小结： 平方根个数记忆口诀：“正二零一负没有” 例4、填空题 （1）的平方根是 ，算术平方根是 ； （2）的平方根是 ，算术平方根是 ； （3）81的平方根是 ，算术平方根是 。 例5、(1)()2等于多少？()2等于多少？ (2)()2等于多少？ (3)对于正数a，()2等于多少？ (4)25的平方根是_________； (5) =_________； (6）()2=_________. 例6、.判断下列各数是否有平方根？并说明理由. (1)(－3)2； (2)0； (3)－0.01； (4)－52； (5)－a2；(6) 7 例7、求下列各数的平方根. (1)121； (2)0.01； (3)2； (4)(－13)2； (5)－(－4)3 例8、已知一个正数的平方根是3x﹣2和5x+6，则这个数是_________． 例9、如果一个正数的平方根是a+3和2a﹣15，则这个数为_________ 例10、 解下列方程 （1） 144=25 （2）x2﹣25＝0； （3）； （4）9x2﹣25＝0； （5）（x﹣1）2＝64． （6）4（x﹣1）2＝9． （7）4（2x﹣1）2＝36． 例11.已知－2的整数部分为a，+2的整数部分为b，那么b－a的平方根是 ． 【变式8-1】已知是的整数部分，，则的平方根是 ． 【变式8-2】阅读下面的文字，解答问题． 例如：，即，的整数部分为2，小数部分为，请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)已知：小数部分是，小数部分是，且，请求出满足条件的的值． 例12．如图，实数a、b在数轴上的位置，化简﹣+． 【变式练习】实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简= ． 【变式练习】如图，实数，对应数轴上的点A和B，化简 课堂练习： 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．的平方根是（    ） A．4 B．2 C． D． 3、的算术平方根是（ ） A.±6 B.6 C.± D. 4、 9的算术平方根是（ ） A．-3 B．3 C．±3 D．81 5．16的算术平方根是（    ） A．4 B．±4 C．8 D．±8 6．的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 7、4的平方的倒数的算术平方根是（ ） A．4 B． C．- D． 8．若的值是3，那么a的值是（　　） A．9 B．3 C．﹣3 D．±3 9、下列说法正确的是（ ） A.5是25的算术平方根 B.±4是16的算术平方根 C.－6是（－6）2的算术平方根 D.0.01是0.1的算术平方根 10、下列各式正确的是（ ） A．=－5 B．=5 C．=－3 D．=3 11、64的平方根是（ ） A．±8 B．±4 C．±2 D．± 12、下列说法中正确的是（ ） A．9的平方根是3 B．的算术平方根是±2 C. 的算术平方根是4 D. 的平方根是±2 13.若的整数部分为x，小数部分为y，则y的值是（    ） A．1 B． C． D． 14．下列说法中正确的个数是（　　） ①（﹣3）2的平方根是+3；②﹣m2没有平方根；③非负数a的平方根是非负数； ④负数没有平方根；⑤0和1的平方根等于本身． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15、下列说法正确的有（ ）． ①任何数都有算术平方根； ②一个数的算术平方根一定是正数； ③a2的算术平方根是a； ④（－4）2的算术平方根是－4； ⑤算术平方根不可能是负数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16、下列各式中，正确的是（ ） A.－ =－（－7）=7 B. =1 C. =2+=2 D. =±0.5 17、下列各数中没有平方根的数是（ ） A.－(－2)3 B.3－3 C.a0 D.－（a2+1） 18、 下列各式中正确的是( ) A. =±5 B. 2=-3 C. ±=±6 D. =10 19．下列说法正确的有（ ）． ①任何数都有算术平方根； ②一个数的算术平方根一定是正数； ③a2的算术平方根是a； ④（－4）2的算术平方根是－4； ⑤算术平方根不可能是负数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．的平方根是（ ） A、 B、 C、 D、 21.下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 22．下列各式中正确的是（ ） A． B． C． D． 23、下列各组数中互为相反数的是（ ） A、 B、 C、 D、 24．225的算术平方根是______，的算术平方根是______，（－3）2的算术平方根是____． 25．2的算术平方根是______，92的算术平方根是______，的算术平方根是______． 26．= ， = 。 27．9的算术平方根是 ，的算术平方根是 ； 28．一个数的平方等于49，则这个数是 29．的算术平方根是　　　，平方根是　　　 30．25的平方根是 ； （-4）2的平方根是 。 31．的算术平方根是 ；3-2的算术平方根是 。 32、求下列各式中的值： （1） （2） （3） （4） 33．若x，y是实数，且 (1)求x，y的值； (2)求的值． 34．如图，点A是以点O为圆心，OM长为半径画弧与数轴的交点；点B是以点O为圆心，ON长为半径画弧与数轴的交点．数轴上点A，B表示的数分别为a，b． （1）a＝　 　，b＝　 　． （2）先化简再求值：|a|+． 课后作业： 1.的平方根是_________；(－)2的算术平方根是_________； 2.一个正数的平方根是2a－1与－a+2，则a=_________，这个正数是_________； 3.的算术平方根是_________；9－2的算术平方根是_________； 4.的值等于_____，的平方根为_____；(－4)2的平方根是____，算术平方根是_____. 5.(－11)2的平方根是（ ） A.121 B.11 C.±11 D.没有平方根 6.7－2的算术平方根是（ ） A. B.7 C. D.4 7.一个数的算术平方根为a，比这个数大2的数是（ ） A.a+2 B.－2 C.+2 D.a2+2 8.下列说法正确的是（ ） A.－2是－4的平方根 B.2是(－2)2的算术平方根 C.(－2)2的平方根是2 D.8的平方根是4 9.的平方根是（ ） A.4 B.－4 C.±4 D.±2 10.的值是（ ） A.7 B.－1 C.1 D.－7 11．一个自然数的算术平方根是a，则下一个自然数的算术平方根是（ ） A． B． C． D． 12．，那么的值为（ ） A． B． C． D． 11．一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值． (2)求的平方根． 12．解方程： (1) ， (2)； (3)． 学科网（北京）股份有限公司 $$