14.2.1 平方差公式 教学设计 2024--2025学年人教版八年级数学上册

八年级数学上册 第十四章 整式的乘法与因式分解 一、课题：《14.2.1平方差公式》 二、教学内容分析： 《平方差公式》一课是人教版义务教育课程标准实验教材八年级上册第14章第2节的乘法公式的第一课时教学内容。这一内容既是全章的重点,也是教学难点。《平方差公式》是在学习了有理数运算、一元一次方程及二元一次方程组、不等式、整式的加减及整式乘法等知识的基础上,在学生已经掌握了多项式乘法之后,自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法,是从一般到特殊的认知规律的典型范例.对它的学习和研究,不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法,而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础,同时也为完全平方公式的学习提供了方法.因此,平方差公式在初中阶段的教学中具有很重要地位,是初中阶段的一个典型公式. 三、教学目标分析: 1. 学生经历平方差公式的探索过程,会推导平方差公式,熟悉平方差公式的结构特征,理解公式的几何背景,并能灵活运用公式进行运算。 2. 在探索平方差公式的过程中,发展学生的符号感和推理能力,体会从特殊到一般,再从一般到特殊的认知规律;感悟数形结合的思想方法,培养学生归纳、概括等能力. 3. 通过自主探索平方差公式,营造主动探究与合作交流的学习氛围,培养学生主动探究,善于思考,积极进取的学习态度。 教学重点和教学难点： 1. 教学重点:平方差公式的推导和运用； 2. 教学难点:理解平方差公式的结构特征和灵活运用平方差公式进行计算. 教学手段和方法： 1.教学手段:多媒体 2.教学方法:启发讲授、合作探究 四、学生情况分析： 在前面的学习中，学生已经学习了有理数运算、整式的加减及整式乘法等知识，掌握了多项式乘法的法则，也经历过对幂的乘法、多项式乘法的推导过程，有一定的逻辑思维，能够有条理的分析问题。 五、教学过程: （一）激趣导入 活动1.提出问题：去商店买了单价10.2元/千克的糖果9.8千克，应付多少钱？在不利用笔算的情况下，你能快速算出来应付多少钱吗？学生当然不能快速算出，教师给出答案，学生学习的兴趣瞬间被点燃，教师引导学生要想像老师一样快速，并搞清楚老师是怎么速算的就进入今天的学习，引出课题“平方差公式”。 活动2. 温故知新 1、回忆:多项式与多项式相乘的法则（多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加）. 2、知识链接：用多项式乘多项式的方法进行下列计算，看谁算得又对又快 (1)(x+1)(x-1) (2) (m+2)(m-2) (3) (2x+1)(2x-1) （二）探究新知 活动3. 探索公式 观察上面（1）（2）（3）题目的特征和计算结果，四人小组讨论以下问题： 问题1：等号左边相乘的两个多项式有什么共同点？ 问题2：等号右边各项有什么共同点？ 问题3：等号左边与等号右边有什么联系？ 问题4：你能用式子表示发现的规律吗？ 规律:(a+b)(a-b)= a2–b2 活动4.验证:(a+b)(a-b)= a2–b2 数：（个别提问）利用多项式乘法法则: (a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2 形：（动手操作）I注：老师先引导学生分析由公式的左边以及右边分别联想到图形的什么知识？ 请大家拿出课前准备的边长为a的正方形纸，以小组为单位动手拼图，两个学生代表黑板演示。 ( a 2 - b 2 ) 图1.蓝色部分长方形的面积为(a+b)(a-b) 图2.蓝色部分的面积为a2–b2 两部分面积应该是相等的，即(a+b)(a-b)= a2–b2 从数、形两方面验证公式成立。 追问：你能用文字语言表述这个规律吗？ 意义：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差. 归纳公式:平方差公式:(a+b)(a-b)= a2–b2 活动5.教师引导学生分析公式的特征 平方差公式特征： （1）左边括号中有两项完全相同，两项互为相反数． （2）右边是相同项的平方减去相反项的平方． （3）公式中的a,b可以表示 一个单项式也可以表示一个多项式. （三）应用新知 活动6.判断下列式子能否用平方差公式计算. (1) ( a+b)(a−b) (4) (x+y)(y−x) (2) (a−b) (b−a) (5) (3) (a+b) (b+a) (6)(x+y+1)(x+y-1) 思考：应用平方差公式进行计算的关键是什么呢？ (1) 确定公式中的a和b； (2) 同号的为a，异号的为b； (3) 右边是乘式中两项的平方差，即(相同项)2-(互为相反项)2 。 活动7.典例剖析 例1. 计算：(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ； (2)（-x+2y)(-x-2y). 第（1）老师领着示范，第（2）题学生说老师写. 活动8（变式演板）. (1)（x+2y)(-2y+ x). (2) （-x+2y)(-x-2y). 活动9.前后呼应：去商店买了单价10.2元/千克的糖果9.8千克，应付多少钱？你能快速算出来应付多少钱吗？ 利用“平方差公式”，由学生讲解并演板。同桌两人再互出一道类似的题目。 活动10.综合应用 例2. 计算: (1) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) ； (2)102×98; 活动11.巩固练习 (1) 51×49; (2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) . （四）课堂小结： 依据本节课的学习以及参考黑板内容谈一下自己有哪些收获?（从知识到思想方法）或是还有什么疑惑？ （五）达标检测： 1.下列运算中，可用平方差公式计算的是(　　) A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y) C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y) 2.计算： （1）(mn+9)(9-mn); (2)2x(x-1)-(2x+1)(1-2x) 3.计算： 20192 － 2018×2020. （六）思维拓展： 计算： （七）布置作业： 必做题：课本112页习题14.2第1题 选作题：思考题 六、板书 平方差公式 1.目标 2.数形验证 3.平方差公式 （学生演板） 4.例1 5.例2. （学生演板） 七、反思 本节课依据《新课程标准》的要求，立足于学生的认知基础上来确定适当的起点与目标。本节课采用启发讲授、合作探究的教学法，从两项式的乘法中发现规律，又通过多项式的乘法法则进行验证及探究平方差公式的几何意义，在“探索公式”中又渗透了“特殊到一般”的探索过程，培养学生由具体到抽象的思维方法。在探索中由旧到新，由学到“思”，由“思”到知识方法的提升，体验探索数学的方法，同时展示学生探索成果，让学生感受学习数学是一件快乐的事。让学生学会从观察发现--归纳验证--应用拓展这一数学方法，以问题为线索，学生在动口、动手、动脑中使知识再创造，从中让学生明确获取知识只有通过自己的探索才能不仅“知其然”，而且“知其所以然”，透过表象看公式特征，而不是死记硬背，在应用中学会知识的迁移，抓住公式的结构特征，提高灵活运用能力。 不足：1、问题的导向要更明确更有专业性，如(a+b)(a-b)= a2–b2是由从“一般” 情况计算观察得出的，而不是通过猜想得出的； 2、在运用拼图的知识论证平方差公式时，一是应指明由公式的左边以及右边分别联想到图形的什么知识，给学生动手操作的方向，这样学生的观察内容更清楚，目标更明确，拼图会更顺利；二是留给学生探索的时间不够，要充分发挥学生的主观能动性，使其真正从动手操作中获得新知； 3、重视了部分学生对知识的探索和掌握，缺乏对全体学生的关注，今后应加强。 学科网（北京）股份有限公司 $$