函数单调性与最值测试-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

河北承德市双滦区实验中学 2024--2025学年第一学期高一数学函数单调性与最值测试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．已知函数在上的图像如图，则函数单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数在闭区间上有最大值6，最小值2，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．函数是定义在上的减函数，且，则解集为（    ） A． B． C． D． 6．函数，若对，，都有成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数在上单调递增，则的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 8．设，若，使得关于的不等式有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在区间上的最大值为3，最小值为 D．在上有最大值3，有最小值 10．下列函数为增函数的是（   ） A． B． C．（是自变量） D． 11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如，.若，则（    ） A．当时， B． C．函数是增函数 D．函数的值域为 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．函数 的单调增区间为 . 13．某厂家拟在2024年举办某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元（）之间满足.已知2024年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入9万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.则该厂家2024年的利润最大值为 万元. 14．已知定义在上的函数满足，且当时，，则不等式的解集为 ． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．本小题13分已知函数. (1)判断在上的单调性，并用定义证明； (2)判断命题“，”的真假，并说明理由. 16．本小题15分二次函数满足且. (1)求的解析式； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 17．本小题15分函数对任意的，都有，并且当时，． (1)求证：是上的增函数． (2)若，解不等式． 18．本小题17分已知是定义在上的函数，，，，且当时，. (1)求的值. (2)证明：是上的减函数. (3)若，求不等式的解集. 19．本小题17分已知函数， (1)当时， ①求函数单调递增区间； ②求函数在区间的最大值； (2)当时，记函数的最大值为，求的表达式. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D D B A B B BD BD 题号 11 答案 AD 1．D 【分析】利用二次函数的单调性即可求得的最大值. 【详解】， 则时，单调递减， 当时的最大值. 故选：D 2．B 【分析】根据函数单调性与图象的关系进行判断即可． 【详解】若函数单调递增，则对应图象为上升趋势， 由图可知：的单调递增区间为. 故选：B． 3．D 【分析】根据二次函数的性质即可根据求解. 【详解】为开口向上的二次函数，且对称轴为， 由于函数在上单调递减，故，解得， 故选：D 4．D 【分析】借助二次函数图象即可求解. 【详解】曲线的对称轴为：， 当时，，当时，， 又当时，， 结合图象可知的取值范围是， 故选：D 5．B 【分析】根据绝对值的几何意义等价转化得或，利用函数的单调性和相应函数值即可求得不等式解集. 【详解】因，由，得或， 又因函数在上单调递减，故可得或， 即的解集为. 故选：B. 6．A 【分析】根据题意得到在上单调递减，分段函数在上单调递减，需每一段上均单调递减，且分段处左端点值大于等于右端点值，得到不等式，求出答案. 【详解】因为，，都有成立， 所以在上单调递减， 故，解得， 故实数的取值范围为. 故选：A 7．B 【分析】由函数在上单调递增，则在上单调递增，根据复合函数的单调性“同增异减”求出函数在定义域内的递减区间即可． 【详解】因为函数在上单调递增，所以在上单调递增， 设， 由，解得或， 所以在上单调递减， 所以的单调减区间为. 故选：B. 8．B 【分析】分离参数结合对勾函数的性质计算即可. 【详解】关于的不等式有解等价于在上有解， 由对勾函数的性质可知在上单调递增，即， 所以. 故选：B 9．BD 【分析】根据函数图象，结合函数的基本性质，逐项判断，即可得出结果． 【详解】对于A，B选项，由函数图象可得，在和上单调递减，在上单调递增，故A错误，B正确； 对于C选项，由图象可得，函数在区间上的最大值为，无最小值，故C错误； 对于D选项，由图象可得，函数在上有最大值，有最小值，故D正确； 故选：BD． 10．BD 【分析】根据增函数的定义，结合幂函数以及对勾函数的单调性，可得答案. 【详解】对于A，由函数可得其定义域为， 由，且，则，故A错误； 对于B，由函数在上单调递增，函数在上单调递增， 当时，，故是增函数，故B正确； 对于C，当时，不是增函数，故C错误； 对于D，由，则， 当且仅当，即时，等号成立，由， 则函数在上单调递增，故D正确. 故选：BD. 11．AD 【分析】A选项，利用，得到A正确；B选项，举出反例；CD选项，画出的图象，得到函数单调性和值域，得到D正确. 【详解】A选项，时，，故，A正确； B选项，当时，，， 故此时，B错误； CD选项，的图象如下： 可以看出在R上不单调递增，且值域为，C错误，D正确. 故选：AD 12． 【分析】先求函数的定义域，然后根据复合函数单调性同增异减来求得正确答案. 【详解】由， 解得，二次函数的开口向下，对称轴为， 函数在上单调递增， 根据复合函数单调性同增异减可知，的单调递增区间是. 故答案为： 13．30 【分析】求出函数解析式，利用基本不等式求最值即可. 【详解】由题意得，每件产品的销售价格为， 则 ， 因为，所以，由基本不等式得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以该厂2024年的促销费用投入3万元时，利润最大为30万元. 故答案为：30. 14．或 【分析】赋值求出，令，且，根据时，，得到，然后根据函数单调性解不等式即可. 【详解】因为， 令，则， 令，则， 令，且，则， 整理得， 因为，则，可得， 所以，即， 可知在定义域在上单调递增， 又因为，即， 可得，即， 由在定义域在上单调递增，可得，解得或， 所以不等式的解集为或． 故答案为：或 15．(1)单调递增；证明见解析 (2)真命题，理由见解析 【分析】(1)利用定义法证明函数在上单调性步骤，取点，作差，判号，下结论； (2)由(1)可知在上单调递增，且，所以，然后整理判断即可. 【详解】（1）判断：在上单调递增. 证明：，且，有， 因为，所以，，， 因此，即， 所以函数在上单调递增； （2）判断：命题“，”真命题. 因为根据题意可知，，且， 由(1)可知在上的单调递增，所以，即. 所以命题“，”是真命题. 16．(1) (2). 【分析】（1）设，根据且，利用待定系数法可得的解析式； （2）分离参数，转化为求解二次函数的最小值问题可得实数的取值范围. 【详解】（1）由题意，设， 则. 从而，， 又， ，解得， 又， . （2）由（1）及， 令，， 则当时，为减函数， 当时，， 从而要使不等式恒成立，则. 故实数的取值范围是. 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用单调性的定义，计算得到，由此证得结论成立. （2）根据函数的单调性化简不等式，进而求得不等式的解集. 【详解】（1）设，且，则，∴． 因此 ． ∴．故是上的增函数． （2）∵对任意的，都有， ∴，∴．∵是上的增函数， ∴．∴，解得， 所以不等式的解集为. 18．(1) (2)证明见解析 (3). 【分析】（1）赋值法计算即可；（2）运用定义法证明单调性；（3）运用单调性解不等式即可. 【详解】（1）解：令，得，则. （2）证明：设，，且，则. 因为，所以. 当时，，所以，所以， 则是上的减函数. （3）令，得. 令，，得. 因为，所以， 所以，则不等式等价于不等式. 由（2）可知是上的减函数，则 解得，即不等式的解集为. 19．(1)①；②0 (2) 【分析】（1）①分和讨论，结合二次函数的性质可得； ②由二次函数的单调性可得； （2）先求出分段函数的表达式，再结合函数参数的二次函数的对称轴和单调性讨论最值即可； 【详解】（1）①当时，； 当时，，在上单调递增； 当时，， 在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：的单调递增区间为. ②由①知：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ；，，， 在上的最大值是0. （2）由题意得：， ①当，即时，时，，对称轴为； 当，即时，在上单调递增，； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减， ； ②当，即时，若，；若，； 当时，，对称轴， 在上单调递增，； ③当，即时，， 当，即时， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ； 当，即时， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ， 若，即时，； 若，即时，； 综上所述：. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$