5.3导数在研究函数中的应用单元测试-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

2024-2025学年高二上学期选择性必修第二册第五章《一元函数的导数及其应用》 5.3专练 (时间：50分钟　满分：100分) 一、单选题(本题共6小题，每小题5分，共30分) 1.如图是导函数y＝f′(x)的图象，那么函数y＝f(x)的单调递减区间是(　　) (x1，x3) (x2，x4) (x4，x6) (x5，x6) 2.函数f(x)＝的极大值为(　　) 0 3.对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是(　　) 0≤a≤21 a＝0或a＝7 a<0或a>21 a＝0或a＝21 4.已知f(x)＝x3－3x＋2，则g(x)＝f′(x)ex在区间[0，2]上的最小值为(　　) －3e －2e e 2e 5.已知函数f(x)＝ax2＋3x＋2a，若不等式f(x)＞0的解集为{x|1＜x＜2}，则函数y＝xf(x)的极值点的个数为(　　) 1 2 0 不能判断 6.设函数f(x)＝2x2－2的图象在点(a，f(a))(0＜a＜1)处的切线为l，则直线l与坐标轴围成的三角形面积的最小值为(　　) 二、多选题(本题共2小题，每小题6分，共12分) 7.已知定义在区间[－π，π]上的函数f(x)＝cos x－x2，则下列条件中能使f(x1)＜f(x2)恒成立的有(　　) －π≤x1＜x2≤0 0≤x1＜x2≤π |x1|＞|x2| x＜x 8.已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是(　　) f(x)＝x2 f(x)＝e－x f(x)＝ln x f(x)＝ 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 9.函数f(x)＝2x3－6x2＋m在[－2，2]上有最大值3，则在[－2，2]上的最小值为________. 10.若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1，1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为________. 11.试判断tan x与x在上的大小关系________(用“＞”“≥”“＜”或“≤”表示). 四、解答题(本题共3小题，共43分) 12.(13分)设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx(x∈R)，已知g(x)＝f(x)－f′(x)是奇函数. (1)求b，c的值； (2)求g(x)的单调区间. 13.(15分)某产品每件成本9元售价30元，每星期卖出432件.如果降低售价，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比.已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件. (1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 14.(15分)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋1. (1)讨论f(x)的单调性； (2)是否存在a，使得f(x)在区间[0，1]上的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a的所有值；若不存在，说明理由. 答案 1.B　[由图知当x∈(x2，x4)时，f′(x)＜0，选B.] 2.C　[由题意可得f′(x)＝.由f′(x)＞0，可得0＜x＜2；由f′(x)＜0，可得x＜0或x＞2，则f(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递减，在(0，2)上单调递增，所以当x＝2时，f(x)取得极大值f(2)＝.] 3.A　[f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，当Δ＝4a2－84a≤0，故0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，函数f(x)不存在极值点.] 4.B　[因为f(x)＝x3－3x＋2，所以f′(x)＝x2－3，则g(x)＝f′(x)ex＝(x2－3)ex，则g′(x)＝(x2＋2x－3)ex，令g′(x)＝0，解得x＝－3或x＝1，当0≤x＜1时，g′(x)＜0，g(x)单调递减；当1＜x≤2时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，所以当x＝1时，函数g(x)取得极小值，也是最小值，最小值为g(1)＝－2e.] 5.B　[由题意知解得a＝－1，即f(x)＝－x2＋3x－2.于是y＝xf(x)＝－x3＋3x2－2x，y′＝－3x2＋6x－2，由Δ＞0，得y′＝0有两个相异实根，故函数y＝xf(x)有两个极值点.] 6.C　[由题设知f′(x)＝4x，则f′(a)＝4a，又f(a)＝2a2－2，所以切线l的方程为y－2a2＋2＝4a(x－a)，当x＝0时，y＝－2a2－2；当y＝0时，x＝，所以直线l与坐标轴围成的三角形面积S(a)＝××2(a2＋1)＝，0＜a＜1，则 S′(a)＝＋1－，令S′(a)＝0，得a＝(负值舍去).当a∈时，S′(a)＜0；当a∈时，S′(a)＞0，所以S(a)在上单调递减，在上单调递增，故S(a)min＝S＝.] 7.AC　[f′(x)＝－sin x－2x，当x∈[0，π]时，f′(x)≤0恒成立，所以f(x)在[0，π]上单调递减，故B错误；易知f(x)是偶函数，因此f(x)在[－π，0]上单调递增，故A正确；易知f(x)＝f(|x|)，且f(x)在[0，π]上单调递减，故C正确，D错误.] 8.ACD　[对于A，f′(x)＝2x，由x2＝2x，得x＝0或x＝2，有“巧值点”；对于B，f′(x)＝－e－x，－e－x＝e－x无解，无“巧值点”；对于C，f′(x)＝，方程ln x＝有解，有“巧值点”；对于D，f′(x)＝－，由＝－，得x＝－1，有“巧值点”.] 9.－37　[f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，所以f(x)max＝f(0)＝m＝3.因为f(－2)＝－16－24＋3＝－37，f(2)＝16－24＋3＝－5，所以f(x)min＝－37.] 10.[1，5)　[∵f′(x)＝3x2＋2x－a，函数f(x)在区间(－1，1)上恰有一个极值点， 即f′(x)＝0在(－1，1)内恰有一个根.又函数f′(x)＝3x2＋2x－a的对称轴为x＝－. ∴应满足∴∴1≤a<5.] 11.x≤tan x　[令f(x)＝x－tan x＝x－，所以f′(x)＝1－＝－<0恒成立， 故f(x)在上单调递减，f(x)max＝f(0)＝0，即x－tan x≤0，即x≤tan x.] 12.解　(1)因为f(x)＝x3＋bx2＋cx，所以f′(x)＝3x2＋2bx＋c，从而g(x)＝f(x)－f′(x) ＝x3＋bx2＋cx－(3x2＋2bx＋c)＝x3＋(b－3)x2＋(c－2b)x－c.因为g(x)是一个奇函数，且x∈R，所以g(0)＝0，得c＝0.由奇函数的定义，得b＝3. (2)由(1)，知g(x)＝x3－6x，从而g′(x)＝3x2－6.令g′(x)＞0，得x＞或x＜－； 令g′(x)＜0，得－＜x＜.所以g(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)，单调递减区间为(－，). 13.解　(1)若商品单价降低x元，则一个星期多卖出的商品件数为kx2.由已知条件得k·22＝24，解得k＝6.若记一个星期的商品销售利润为f(x)， 则有f(x)＝(30－x－9)(432＋6x2)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0，21]. (2)对(1)中函数求导得f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12). 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x 0 (0，2) 2 (2，12) 12 (12，21) 21 f′(x) －432 － 0 ＋ 0 － －3 078 f(x) 9 072 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 0 所以当x＝12时，f(x)取得极大值.因为f(0)＝9 072，f(12)＝11 664，所以定价为30－12＝18(元)能使一个星期的商品销售利润最大. 14.解　(1)f′(x)＝6x2－2ax＝6x.令f′(x)＝6x＝0，解得x＝0或x＝. 当a＝0时，f′(x)＝6x2≥0恒成立，函数f(x)在R上单调递增；当a>0时，令f′(x)>0，得x>或x<0，令f′(x)<0，得0<x<，即函数f(x)在(－∞，0)和上单调递增，在上单调递减；当a<0时，令f′(x)>0，得x>0或x<，令f′(x)<0，得<x<0，即函数f(x)在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当a＝0时，函数f(x)在R上单调递增；当a>0时，函数f(x)在(－∞，0)和(，＋∞)上单调递增，在上单调递减；当a<0时，函数f(x)在和(0，＋∞)上单调递增，在上单调递减. (2)存在，理由如下：由(1)可得，当a≤0时，函数f(x)在[0，1]上单调递增.则最小值为f(0)＝1，不符合题意；当a>0时，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增；当≥1，即a≥3时，函数f(x)在[0，1]上单调递减，f(x)的最大值为f(0)＝1，最小值为f(1)＝2－a＋1＝－1，解得a＝4，满足题意；当0<<1，即0<a<3时，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，f(x)的最小值为f＝2·3－a·2＋1＝－1，化为－＝－2，解得a＝3>3，不符合题意. 综上可得，a的值为4. 学科网（北京）股份有限公司 $$