第五章一元函数的导数及其应用章末检测-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

人教A版（2019）选择性必修第二册2024-2025学年高二上学期 第五章《一元函数的导数及其应用》章末检测 (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝3，则x0＝(　　) e2 e ln 2 2.函数f(x)＝x4－2x2＋5的单调递减区间为(　　) (－∞，－1)和(0，1) (－1，0)和(1，＋∞) (－1，1) (－∞，－1)和(1，＋∞) 3.已知函数f(x)＝(x＋a)·ln x在点(1，f(1))处的切线与直线2x＋y＝0垂直，则a＝(　　) 1 － －1 4.函数f(x)＝x3－3x2－9x＋1，则(　　) 极大值－1，极小值3 极大值6，极小值3 极大值6，极小值－26 极大值－1，极小值－26 5.函数f(x)＝的部分图象大致为(　　) A B C D 6.x＝1是函数f(x)＝(x2＋2ax－a2－3a＋3)ex的极值点，则a的值为(　　) －2 3 －2或3 －3或2 7.设a＝e，b＝，c＝，则a，b，c大小关系是(　　) a<c<b b<c<a c<b<a c<a<b 8.已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有两个零点x1，x2，则x1＋x2＝(　　) 2 2或2＋ 2或3 2或3或2＋ 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，以下结论正确的是(　　) －3是函数y＝f(x)的极值点 －1是函数y＝f(x)的最小值点 y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递增 y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于0 10.设函数f(x)＝x－ln x(x>0)，则y＝f(x)(　　) 在区间内无零点 在区间内有零点 在区间(1，e)内无零点 在区间(1，e)内有零点 11.定义在R上的奇函数y＝f(x)，对任意两个不相等的实数x1，x2，总有x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)，则称函数y＝f(x)为“H函数”，下列函数为“H函数”的是(　　) f(x)＝sin x f(x)＝ex f(x)＝x3＋3x f(x)＝x|x| 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.若函数y＝－x3＋ax在[1，＋∞)上是单调函数，则a的最大值是________. 13.各种不同的进制在我们生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般用的是十进制.通常我们用函数f(x)＝·表示在x进制下表达M(M＞1)个数字的效率，当表达M个数字的效率最高时，则x＝________. 14.已知f(x)是定义在上的函数，其导函数为f′(x)，f＝2，且当x∈时，f′(x)sin x＋f(x)cos x>0，则不等式f(x)sin x<3的解集为________. 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中a∈R.已知f(x)在x＝3处取得极值. (1)求f(x)的解析式； (2)求f(x)在点A(1，16)处的切线方程. 16.(15分)设函数f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0，6). (1)求a的值； (2)求函数f(x)的单调区间与极值. 17.(15分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r m，高为h m，体积为V m3.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100 元/m2，底面的建造成本为160 元/m2，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率). (1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域； (2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大. 18.(17分)已知函数f(x)＝aln x－ax－3(a∈R). (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)＝x3＋x2在区间(t，3)上总不是单调函数，求m的取值范围. 19.(17分)已知函数f(x)＝ex－a(x＋2). (1)当a＝1时，试判断f(x)的零点个数； (2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围. 答案 1.A　[由f′(x)＝1＋ln x，得f′(x0)＝1＋ln x0＝3，得x0＝e2.] 2.A　[f′(x)＝4x3－4x＝4x(x2－1)，令f′(x)<0，得x∈(－∞，－1)∪(0，1).] 3.C　[因为f(x)＝(x＋a)·ln x，所以f′(x)＝ln x＋(x＋a)·，所以f′(1)＝1＋a. 又因为函数图象在点(1，f(1))处的切线与直线2x＋y＝0垂直，所以f′(1)＝，所以a＝－.] 4.C　[f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，故当x∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(－1，3)时，f′(x)＜0，故f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝6，在x＝3处取得极小值f(3)＝－26.] 5.C　[f(x)＝，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝－，则f(－x)＝－f(x)， 故f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故排除B；f(1)＝<1，故排除A；∵f(x)＝，当x>0时，可得f′(x)＝，当x>1时，f′(x)>0，f(x)为增函数，故排除D.故选C.] 6.B　[由f(x)＝(x2＋2ax－a2－3a＋3)ex，得f′(x)＝(x2＋2ax＋2x－a2－a＋3)ex， ∵x＝1是函数f(x)的极值点，∴f′(1)＝6－a2＋a＝0，解得a＝3或a＝－2， 当a＝－2时，f′(x)＝(x2－2x＋1)ex≥0恒成立，即f(x)单调递增，无极值点，舍去； 当a＝3时，f′(x)＝(x2＋8x－9)ex＝0时，x＝1或x＝－9，满足x＝1为函数f(x)的极值点，∴a＝3.] 7.A　[构造函数f(x)＝，则f′(x)＝，当x>e时，f′(x)>0，则f(x)在(e，＋∞)上单调递增.又e<3<π，∴f(e)<f(3)<f(π)，即<<，故a<c<b.] 8.D　[当x≤0时，f′(x)＝(x＋1)ex，当x＜－1时，f′(x)＜0，故f(x)在(－∞，－1)上单调递减，当－1＜x＜0时，f′(x)＞0，故f(x)在(－1，0)上单调递增，当x≤0时，f(x)的最小值为f(－1)＝－.f(x)在R上的图象如图所示.因为g(x)有两个零点，所以方程f(x)＝m有两个不相等的实数解，即直线y＝m与y＝f(x)的图象有两个不同的交点且交点的横坐标分别为x1，x2，故1＜m＜2或m＝0或m＝－.若1＜m＜2，则x1＋x2＝2.若m＝0，则x1＋x2＝3.若m＝－，则x1＋x2＝－1＋3＋＝2＋.] 9.AC　[根据导函数的图象可知，当x∈(－∞，－3)时，f′(x)＜0，在x∈(－3，1)时，f′(x)≥0，∴函数y＝f(x)在(－∞，－3)上单调递减，函数y＝f(x)在(－3，1)上单调递增，则－3是函数y＝f(x)的极值点.∵函数y＝f(x)在(－3，1)上单调递增，则－1不是函数y＝f(x)的最小值点.y＝f(x)在x＝0处切线的斜率大于0.] 10.AD　[由题意得f′(x)＝(x>0)，令f′(x)>0，得x>3；令f′(x)<0，得0<x<3； 令f′(x)＝0，得x＝3，故函数f(x)在区间(0，3)上单调递减，在区间(3，＋∞)上单调递增，所以f(x)的极小值为f(3)＝1－ln 3<0，又f(1)＝>0，f(e)＝－1<0，f＝＋1>0.所以f(x)在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点.] 11.CD　[f(x)是奇函数，f(x)＝ex非奇非偶，故排除B；因为x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)，所以(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，即f(x)在R上是增函数.由于y＝sin x在R上不具有单调性，故排除A；对于C，f(x)＝x3＋3x，f′(x)＝3x2＋3＞0，所以f(x)在R上是增函数，满足题意；对于D，易知f(x)＝x|x|在[0，＋∞)上单调递增，又f(x)是奇函数，故f(x)在R上是增函数，满足题意.] 12.3　[y′＝－3x2＋a，由题意得－3x2＋a≤0在[1，＋∞)上恒成立，即a≤3x2在[1，＋∞)上恒成立，∵3x2≥3，可得a≤3，即a的最大值是3.] 13.3　[∵f(x)＝·，∴f′(x)＝·.则f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，∴只需比较f(2)与f(3)的大小，而f(2)＝f(4)，f(3)＞f(4)，∴f(3)＞f(2)，则效率最高的是三进制，故x＝3.] 14.　[因为当x∈时，f′(x)sin x＋f(x)cos x>0，所以[f(x)sin x]′>0，x∈，令g(x)＝f(x)sin x，则当x∈时，g′(x)>0，g(x)在上单调递增，因为f＝2，所以g＝fsin＝3，不等式f(x)sin x<3，即g(x)<g， 因为g(x)在上单调递增，所以原不等式的解集为.] 15.解　(1)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a.因为f(x)在x＝3处取得极值，所以f′(3)＝6×9－6(a＋1)×3＋6a＝0，解得a＝3(经检验，符合题意).所以f(x)＝2x3－12x2＋18x＋8. (2)f(1)＝16，则点A在f(x)上，由(1)可知f′(x)＝6x2－24x＋18，f′(1)＝6－24＋18＝0，所以切线方程为y＝16. 16.解　(1)∵f(x)＝a(x－5)2＋6ln x(x>0)，∴f′(x)＝2a(x－5)＋(x>0).令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，∴f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1).∵切线与y轴相交于点(0，6)，∴6－16a＝8a－6，∴a＝. (2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6ln x(x>0)，f′(x)＝(x－5)＋＝(x>0). 令f′(x)＝0，得x＝2或x＝3.当0<x<2或x>3时，f′(x)>0，f(x)在(0，2)，(3，＋∞)上单调递增；当2<x<3时，f′(x)<0，f(x)在(2，3)上单调递减.∴f(x)的单调递增区间为(0，2)，(3，＋∞)，单调递减区间为(2，3).故f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝＋6ln 2，在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln 3. 17.解　(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元.又根据题意200πrh＋160πr2＝12 000π，所以h＝(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3). 因为r>0，又由h>0可得r<5，故函数V(r)的定义域为(0，5). (2)因为V(r)＝(300r－4r3)，所以V′(r)＝(300－12r2).令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因为r2＝－5不在定义域内，舍去).当r∈(0，5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0，5)上单调递增；故r∈(5，5)时，V′(r)<0，故V(r)在(5，5)上单调递减. 由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.即当r＝5 m，h＝8 m时，该蓄水池的体积最大. 18.解　(1)f′(x)＝(x＞0).当a＞0时，f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)；当a＜0时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)；当a＝0时，f(x)不是单调函数. (2)由题意得f′(2)＝－＝1，解得a＝－2，所以f(x)＝－2ln x＋2x－3，所以g(x)＝x3＋x2－2x，所以g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.因为g(x)在区间(t，3)上总不是单调函数，且g′(0)＝－2，所以结合函数g′(x)的图象可得由题意知对于任意的t∈[1，2]，g′(t)＜0恒成立，所以解得－＜m＜－9.所以m的取值范围是. 19.解　(1)当a＝1时，f(x)＝ex－(x＋2)，f′(x)＝ex－1，令f′(x)＜0，解得x＜0， 令f′(x)＞0，解得x＞0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增.所以f(x)min＝f(0)＝－1＜0，而f(－2)＝e－2＞0，f(2)＝e2－4＞0，由零点存在定理知f(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)各有1个零点，共2个. (2)f′(x)＝ex－a.当a≤0时，f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增.故f(x)至多存在一个零点，不符合题意；当a＞0时，由f′(x)＝0，可得x＝ln a.当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)＜0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增.故当x＝ln a时，f(x)取得最小值，最小值为 f(ln a)＝－a(1＋ln a).①若0＜a≤，则f(ln a)≥0；f(x)在(－∞，＋∞)上至多存在一个零点，不符合题意.②若a＞，则f(ln a)＜0.因为f(－2)＝e－2＞0，所以f(x)在(－∞，ln a)上存在唯一零点.由(1)知，当x＞2时，ex－x－2＞0.所以当x＞4且x＞2ln(2a)时，f(x)＝e·e－a·(x＋2)＞eln(2a)·－a(x＋2)＝2a＞0.故f(x)在(ln a，＋∞)上存在唯一零点.从而f(x)在(－∞，＋∞)上有两个零点.综上，a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$