第26章二次函数专题训练 2024-2025学年华东师大版数学九年级下册

专题训练一　二次函数表达式的三种常见求解方法 已知图象上任意三点,通常设一般式 1.抛物线y=ax2+bx+c经过点(1,0),(-1,-6),(2,6),求该抛物线与y轴交点的纵坐标. 2.二次函数y=ax2+bx+c的变量x与变量y的部分对应值如下表: x … -3 -2 -1 0 1 5 … y … 7 0 -5 -8 -9 7 … (1)求此二次函数的表达式; (2)写出抛物线的顶点坐标和对称轴. 3.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点. (1)观察图象,写出A、B、C三点的坐标,并求出抛物线表达式; (2)求此抛物线的顶点坐标和对称轴; (3)观察图象,当x取何值时,y<0,y=0,y>0. 4.(2024蚌埠月考)某校利用大课间开展冬季阳光体育跳大绳活动.跳绳时,绳甩到最高处时的形状是抛物线.正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6 m,到地面的距离AO和BD均为0.9 m,身高为1.4 m的小丽站在距点O的水平距离为1 m的点F处,绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E.以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系,设此抛物线的表达式为y=ax2+bx+0.9. (1)求该抛物线的表达式. (2)如果身高为1.75 m的张老师也想参加跳绳,问:绳子能否顺利从他头顶越过?请说明理由. (3)如果身高为1.7 m的某人站在OD之间,且离点O的距离为m m,绳子甩到最高处时必须超过他的头顶,结合图象,则m的取值范围为　　　　.  已知二次函数图象的顶点和图象上另外一点,通常设顶点式 5.(2024邯郸期中)已知顶点为(2,4)的抛物线过点(4,0),此抛物线的表达式是 (　　) A.y=-(x-2)2+4 B.y=(x-2)2-4 C.y=(x-2)2+4 D.y=-(x-2)2-4 6.已知抛物线的对称轴是直线x=2,顶点在直线y=x-1上,并且经过点(3,-8). (1)求这条抛物线的函数表达式; (2)若点(1,y1)和(4,y2)都在这条抛物线上,试判断y1、y2的大小关系. 7.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,其中点A的坐标为(-1,0),二次函数图象的顶点坐标为(2,9). (1)求二次函数的表达式; (2)P是x轴上方二次函数图象上一动点,当S△PAB=18时,直接写出点P的坐标. 已知图象与x轴的两个交点坐标和另外一点坐标,通常设交点式 8.若抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点的坐标分别为(-1,0),(3,0),其形状及开口方向与抛物线y=-2x2相同,则该抛物线的函数表达式为 (　　) A.y=-2x2-x+3 B.y=-2x2+4x+6 C.y=-2x2+4x+8 D.y=-2x2+4x+5 9.已知二次函数的图象经过点(2,-3),对称轴为直线x=1,与x轴的两交点间的距离为4,则这个二次函数的表达式为　　　　　.  10.如图,已知抛物线C1经过点A(-1,0),B(3,0),C(0,-3), (1)求抛物线C1的函数表达式; (2)将抛物线C1向左平移k(k>0)个单位,可使所得的抛物线C2经过坐标原点.求k的值并写出抛物线C2的函数表达式. 【详解答案】 1.解:把(1,0),(-1,-6),(2,6),代入抛物线表达式,得 解得 ∴该抛物线的表达式为y=x2+3x-4, 当x=0时,y=-4, ∴该抛物线与y轴交点的纵坐标为-4. 2.解:(1)把(-2,0),(-1,-5),(0,-8)代入y=ax2+bx+c,得 解得 ∴二次函数的表达式为y=x2-2x-8. (2)∵y=x2-2x-8=(x-1)2-9, ∴抛物线的顶点坐标为(1,-9),对称轴为直线x=1. 3.解:(1)A、B、C三点的坐标分别为(-1,0),(0,-3),(4,5).∵y=ax2+bx+c的图象经过A(-1,0),C(4,5),B(0,-3)三点, ∴解得 因此,这个二次函数的表达式是y=x2-2x-3. (2)∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4, ∴顶点坐标为(1,-4),对称轴为直线x=1. (3)观察题图可知,当x<-1或x>3时,y>0, 当x=-1或3时,y=0, 当-1<x<3时,y<0. 4.解:(1)由题意可知,B(6,0.9),OF=1,EF=1.4,E(1,1.4), 把B(6,0.9),E(1,1.4)的坐标代入y=ax2+bx+0.9,得 解得 ∴该抛物线的表达式为y=-0.1x2+0.6x+0.9. (2)能.理由如下: ∵y=-0.1x2+0.6x+0.9=-0.1·(x-3)2+1.8, ∴抛物线的顶点坐标为(3,1.8),即绳子甩到最高处时的高度为1.8 m. ∵1.75<1.8, ∴绳子能顺利从他头顶越过. (3)2<m<4 5.A　解析:二次函数图象的顶点坐标是(2,4),则设这个二次函数的表达式为y=a(x-2)2+4(a≠0), 把(4,0)代入,得4a+4=0, 解得a=-1, 故这个二次函数的表达式为 y=-(x-2)2+4. 故选A. 6.解:(1)∵抛物线的对称轴是直线x=2,顶点在直线y=x-1上, ∴该抛物线的顶点坐标是(2,1). 故设该抛物线的表达式为y=a(x-2)2+1. 将点(3,-8)的坐标代入,得 -8=a(3-2)2+1, 解得a=-9. 故该抛物线的表达式是y=-9(x-2)2+1. (2)∵点(1,y1)和(4,y2)都在这条抛物线y=-9(x-2)2+1上, ∴y1=-8,y2=-35. ∴y1>y2. 7.解:(1)∵二次函数图象的顶点坐标为(2,9), ∴可设二次函数的表达式为y=a(x-2)2+9. 又∵抛物线过点A(-1,0), ∴a(-1-2)2+9=0. ∴a=-1. ∴二次函数的表达式为y=-(x-2)2+9=-x2+4x+5,即y=-x2+4x+5. (2)点P的坐标为(2+,6)或(2-,6). 8.B　解析:根据题意a=-2, 故设y=-2(x-x1)(x-x2), 因为抛物线过点(-1,0),(3,0),所以其表达式为y=-2(x+1)(x-3), 即y=-2x2+4x+6. 故选B. 9.y=x2-2x-3　解析:∵二次函数的图象与x轴的两交点间的距离为4,且以直线x=1为对称轴, ∴图象与x轴两交点的坐标为(-1,0),(3,0). 设二次函数表达式为y=a(x+1)(x-3), 又∵抛物线过点(2,-3), ∴-3=(2+1)(2-3)a.解得a=1. ∴二次函数的表达式为y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3. 10.解:(1)∵抛物线C1经过点A(-1,0),B(3,0), ∴可设其函数表达式为y=a(x+1)·(x-3). 将C(0,-3)的坐标代入,得a=1, ∴y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3. (2)将抛物线C1向左平移3个单位,可使得到的抛物线C2经过坐标原点. ∴k=3. ∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4, ∴抛物线C2的函数表达式为y=(x-1+3)2-4, 即抛物线C2的函数表达式为y=x2+4x. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题训练二　二次函数中的运动问题 点动问题 1.(2024吴忠同心县期末)如图,二次函数的图象与x轴交于A(-3,0)和B(1,0)两点,交y轴于点C(0,3). (1)求二次函数的表达式; (2)P点是抛物线上一个动点,且△ABP的面积为8,求出点P的坐标. 2.如图,抛物线y=ax2+bx(a≠0)过点A(4,0),点B是抛物线上一个动点,过点B作矩形BCDE,使边CD在x轴上(点C在点D的左侧),点E在抛物线上,设点B的横坐标是m,当m=时,BC=. (1)求抛物线的表达式; (2)当m为何值时,四边形BCDE是正方形? 线动问题 3.(2024汕头金平区一模)如图,二次函数y=ax2+bx+4的图象交x轴于点A(-1,0)和B(4,0),交y轴于点C. 　　　　　 图1　　　　　　　　　　　　图2 (1)求二次函数的表达式; (2)如图1,在第一象限有一点M,到O点距离为2,线段BN与BM的夹角为45°,且BN=BM,连结CN,求CN的长度; (3)如图2,对称轴交抛物线于点D,交BC于点E,在对称轴的右侧有一动直线l垂直于x轴,交线段BC于点F,交抛物线于点P,动直线在沿x轴正方向移动到点B的过程中,是否存在点P,使得以点P、C、F为顶点的三角形与△DCE相似?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由. 4.如图,已知抛物线y=ax2-2ax+3与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点C,连结AC,过B、C两点作直线. (1)求a的值. (2)将直线BC向下平移m(m>0)个单位,交抛物线于B'、C'两点,在直线B'C'上方的抛物线上是否存在定点D,使无论m取何值,都是点D到直线B'C'的距离最大?若存在,请求出点D的坐标,若不存在,请说明理由. (3)抛物线上是否存在点P,使∠PBC+∠ACO=45°?若存在,请求出直线BP的表达式,若不存在,请说明理由. 　　　 备用图　　 形动问题 5.如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-6ax+c与x轴交于点A和点B(5,0)(点A在点B左侧),与y轴交于点C. (1)求抛物线的表达式; (2)D为抛物线的顶点,点P在抛物线的对称轴上(不与点D重合),将线段PD绕点P按顺时针方向旋转90°,点D恰好落在抛物线上的点Q处,求点Q的坐标; (3)如图2,将抛物线在x轴下方部分的图象沿x轴翻折到x轴上方,与原抛物线在x轴上方部分的图象组成新图象,再将新图象向左平移m(m>0)个单位,若平移后的图象在-1≤x<0范围内,y随x的增大而增大,直接写出m的取值范围. 　　　 图1　　　　　　　　图2　　　 【详解答案】 1.解:(1)设抛物线的表达式为y=a(x-1)(x+3), 把C(0,3)的坐标代入,得-3a=3, 解得a=-1, ∴抛物线的表达式为y=-(x-1)(x+3), 即y=-x2-2x+3. (2)设P(m,n), ∵△ABP的面积为8, ∴AB|n|=8. 解得n=±4, 分两种情况讨论: ①当n=-4时,-m2-2m+3=-4, 解得m=-1±2, ∴P1(-1+2,-4),P2(-1-2,-4); ②当n=4时,-m2-2m+3=4, 解得m1=m2=-1, ∴P3(-1,4).综上所述,点P的坐标为(-1+2,-4)或(-1-2,-4)或(-1,4). 2.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx(a≠0)过点A(4,0), ∴16a+4b=0. ∴b=-4a. ∴抛物线的表达式为y=ax2-4ax. 当m=时,BC=, 即B, 把点B坐标代入y=ax2-4ax,得a-4a×, 解得a=-1, ∴抛物线的表达式为y=-x2+4x. (2)∵点C在点D的左侧,∴m<2.当四边形BCDE是正方形时,BC=CD, ∵OA=4,OC=|m|,DA=OC=|m|, ∴CD=4-2m. ∴B(m,4-2m). 把点B坐标代入y=-x2+4x,得 -m2+4m=4-2m, 整理,得m2-6m+4=0, 解得m=3-或m=3+(舍去), ∴当m=3-时,四边形BCDE是正方形. 3.解:(1)∵二次函数y=ax2+bx+4的图象交x轴于点A(-1,0)和B(4,0), ∴解得 ∴二次函数的表达式为y=-x2+3x+4. (2)∵二次函数y=ax2+bx+4的图象交y轴于点C, ∴C(0,4). ∵B(4,0), ∴OB=OC=4, ∴∠OCB=∠OBC=45°. ∴BC==4. ∴. 又∵BN=BM, ∴.∴. ∵∠OBM+∠MBC=45°,∠MBC+∠CBN=45°, ∴∠OBM=∠CBN. 在△CBN和△OBM中, ∵∠OBM=∠CBN,, ∴△CBN∽△OBM. ∴.∴.∴CN=2. (3)存在.如图. ∵y=-x2+3x+4=-, ∴点D. 设直线BC的表达式为y=kx+b(k≠0), 把B(4,0),C(0,4)的坐标代入,得 解得 ∴BC所在直线的表达式为y=-x+4. 将x=代入y=-x+4, 得y=-+4=, ∴点E. 由题意,得PF∥DE, ∴∠CED=∠CFP. ∵∠PCF与∠DCE有共同的顶点C,且∠PCF在∠DCE的内部, ∴∠PCF≠∠DCE. ∴只有∠PCF=∠CDE时, △PCF∽△CDE, ∴. ∵C(0,4),E, ∴DE=. 设点P的坐标为(t,-t2+3t+4),则点F的坐标为(t,-t+4), ∴PF=-t2+3t+4-(-t+4)=-t2+4t. ∵CE=,CF=t, ∴.解得t=或t=0(舍), 当t=时,-t2+3t+4=, ∴点P的坐标为. 4.解:(1)∵抛物线y=ax2-2ax+3与x轴交于点A(-1,0), ∴a+2a+3=0. ∴a=-1. (2)存在定点D,使无论m取何值,都是点D到直线B'C'的距离最大. ∵y=-x2+2x+3,当x=0时,y=3, ∴C(0,3).当y=0时,-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3, ∴B(3,0).设直线BC的表达式为y=kx+b(k≠0),则解得 ∴直线BC的表达式为y=-x+3. ∵将直线BC向下平移m(m>0)个单位,交抛物线于B'、C'两点, ∴直线B'C'的表达式为y=-x+3-m.设D(t,-t2+2t+3),过点D作DE∥y轴,交B'C'于点E,作DF⊥B'C'于点F,设直线B'C'交y轴于点G,如图1, 图1 ∴E(t,-t+3-m). ∴DE=-t2+2t+3-(-t+3-m)=-t2+3t+m. ∵OB=OC=3,∠BOC=90°, ∴∠BCO=∠CBO=45°. ∵B'C'∥BC, ∴∠B'GO=∠BCO=45°. ∵DE∥y轴, ∴∠DEF=∠B'GO=45°. ∵∠DFE=90°, ∴△DEF是等腰直角三角形. ∴DF=DE=(-t2+3t+m)=. ∵-<0, ∴当t=时,DF取得最大值,最大值为,此时点D的坐标为. (3)存在,直线BP的表达式为y=-x+1或y=-3x+9.分情况求解如下: ①当∠PBC在直线BC的下方时,在y轴正半轴上取点M(0,1),连结BM并延长交抛物线于点P,如图2, ∵A(-1,0),B(3,0),C(0,3),M(0,1), 图2 ∴OB=OC=3,OM=OA=1,∠BOM=∠COA=90°. ∴△BOM≌△COA. ∴∠MBO=∠ACO. ∵∠CBO=45°, ∴∠PBC+∠MBO=45°. ∴∠PBC+∠ACO=45°. 设直线BP的表达式为y=k'x+b'(k'≠0), 则解得 ∴直线BP的表达式为y=-x+1. ②当∠PBC在直线BC的上方时,作点M关于直线BC的对称点M',如图3,连结MM',CM',直线BM'交抛物线于点P,由对称得∠PBC=∠MBC,MM'⊥BC,CM'=CM=2,∠BCM'=∠BCM=45°, 图3 ∴∠PBC+∠ACO=∠MBC+∠OBM=45°,∠MCM'=90°. ∴M'(2,3),则直线BP的表达式为y=-3x+9.综上所述,抛物线上存在点P,使∠PBC+∠ACO=45°,直线BP的表达式为y=-x+1或y=-3x+9. 5.解:(1)将点B(5,0),C的坐标分别代入y=ax2-6ax+c, 得 解得 故抛物线的表达式为y=-x2+x-. (2)∵y=-x2+x-=-·(x2-6x)-=-(x-3)2+1, ∴D(3,1). 设点P(3,n), ∵PD=PQ=1-n, ∴Q(3+1-n,n),即Q(4-n,n).将其坐标代入抛物线表达式,得n=-·(4-n)2+(4-n)-, 整理,得n2+2n-3=0, ∴(n-1)(n+3)=0. ∴n=1或-3. 又∵点P不与点D重合, ∴n=-3,Q(7,-3). (3)2≤m≤3或m≥6. 学科网（北京）股份有限公司 $$