26.3　实践与探索 课时作业 2024-2025学年华东师大版九年级数学下册

26.3　实践与探索 第1课时　二次函数的应用 二次函数的应用 1.(2024淮南月考)把一个小球以20 m/s的速度竖直向上弹出,它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系:h=20t-5t2.当h=10时,小球的运动时间为 (　　) A.1 s B.(2-)s C.2 s D.(2±)s 2.小明在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形,若该抛物线的表达式为y=-(x-3)2+,其中y(m)是实心球飞行的高度,x(m)是实心球飞行的水平距离,则小明此次掷球过程中,实心球的最大高度是 (　　) A.3 m B. m C. m D. m 3.有一座形状大小相同的双孔石拱桥,每个孔内侧呈抛物线型,如图1,当一个孔的水面宽度为10 m时,拱顶离水面的高度为5 m,若以一个孔的拱顶为坐标原点,桥面为x轴(不考虑拱部顶端的厚度),竖直向上为y轴正方向建立直角坐标系如图2,可计算出当一个孔的水面宽度为12 m时,拱顶离水面的高度为 (　　) 　　　　　 　图1　　　　　　　　　图2 A.7.2 m B.6.5 m C.5.6 m D.6 m 4.如图,一位篮球运动员投篮,球沿抛物线y=-0.2x2+x+2.25运行后准确落入篮筐内,已知篮筐的中心离地面的高度为3.05 m,则他距篮筐中心的水平距离OH是　　　　m.  5.有一个抛物线形的桥洞,桥洞离水面的最大高度为4 m,跨度为12 m.现将它放在如图所示的直角坐标系中. (1)求这条抛物线的表达式; (2)一艘宽为4 m,高出水面3 m的货船能否从此桥洞通过? 1.(跨学科)某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究,如图1,将变阻器R的滑片从一端滑到另一端,绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象,如图2所示,且该图象是经过原点的一条抛物线的一部分,则变阻器R消耗的电功率P最大为 (　　) 　　　　　 图1　　　　　　　　　图2 A.160 W 　B.180 W C.200 W D.220 W 2.(易错题)如图是抛物线形拱桥,当拱桥顶端C离水面2 m时,水面AB的宽度为4 m.有下列结论:①当水面宽度为5 m时,水面下降了1.125 m;②当水面下降1 m时,水面宽度为2m;③当水面下降2 m时,水面宽度增加了(4-4)m.其中,正确的有(　　) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 3.如图,某公司“祥云”布艺图案是由一个半圆和左右两支抛物线的一部分组成的,且关于y轴对称.其中半圆与y轴相交于点D,两支抛物线的顶点分别为E,C,与x轴分别相交于点A、B.已知CE=2,OD=1.9,AB=5,则图案中AE这段抛物线的函数表达式为　　　　　　　　　　.  4.如图,小河上有一拱桥,拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE,ED,DB组成,已知河底ED是水平的,ED=16 m,AE=8 m,抛物线的顶点C到ED的距离是11 m.以ED所在的直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系. (1)求抛物线的表达式; (2)已知从某时刻开始的40 h内,水面与河底ED的距离h(单位:m)随时间t(单位:h)的变化满足函数关系h=-(t-19)2+8(0≤t≤40),且当水面到顶点C的距离不大于5 m时,需禁止船只通行,请通过计算说明:在这一时段内,需多少小时禁止船只通行? 5.(模型观念)手榴弹在战争中能发挥重要作用,然而想把手榴弹扔远,并不是一件容易的事.军训中,借助小山坡的有利地势,小刚在教官的指导下用模拟弹进行一次试投,如图所示,把小刚投出的手榴弹的运动路线看成一条抛物线,手榴弹飞行的最大高度为12 m,此时它的水平飞行距离为6 m,山坡OA的坡度为1∶3(山坡OA的竖直高度AE与水平宽度OE的比=1∶3). (1)求这条抛物线的表达式. (2)已知OE=9 m,A处有一棵树,树高5 m,则小刚投出的手榴弹能否越过这棵树?请说明理由. (3)求飞行的过程中手榴弹离山坡的最大高度是多少米. 【详解答案】 课堂达标 1.D　2.B　3.A　4.4 5.解:(1)由题图可知抛物线的顶点坐标为(6,4),过点(12,0),设抛物线的表达式为y=a(x-6)2+4, 则0=a(12-6)2+4,解得a=-, 即这条抛物线的表达式为y=-(x-6)2+4. (2)当x=×(12-4)=4时,y=-×(4-6)2+4=>3, 所以货船能通过此桥洞. 课后提升 1.D　解析:由题图是经过原点的一条抛物线的一部分,设抛物线的表达式为P=aI2+bI(a≠0), 把(1,165),(4,0)代入,得 解得 ∴抛物线的表达式为P=-55I2+220I=-55(I-2)2+220. ∵-55<0, ∴当I=2时,P取最大值220. ∴变阻器R消耗的电功率P最大为220 W. 故选D. 2.D　解析:如图,以线段AB所在的直线为x轴,以AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系. 由题意,得点C的坐标为(0,2),点B的坐标为(2,0). 设抛物线的表达式为y=ax2+k(a≠0). ∴解得 ∴抛物线的表达式为y=-x2+2. ①当水面宽度为5 m时,x=2.5. ∴y=-+2=-1.125. ∵|-1.125|=1.125, ∴当水面宽度为5 m时,水面下降了1.125 m. 故①正确,符合题意; ②当水面下降1 m时,y=-1. ∴-x2+2=-1, 解得x=±. ∴水面宽度为-(-)=2(m). 故②正确,符合题意; ③当水面下降2 m时,y=-2. ∴-x2+2=-2. 解得x=±2, ∴水面宽度为2-(-2)=4(m).　 ∴水面宽度增加了(4-4)m. 故③正确,符合题意. ∴正确的有3个. 故选D. 3.y=-(x+1)2+　解析:如图,记CE与y轴的交点为F. ∵CE=2,且半圆关于y轴对称, ∴EF=CF=DF=1. ∵OD=1.9, ∴OF=0.9. ∴左侧抛物线的顶点E的坐标为(-1,0.9). 设AE这段抛物线的表达式为y=a(x+1)2+. ∵AB=5,∴A. 将A点坐标代入抛物线的表达式,得a=-, ∴y=-(x+1)2+,其中x的取值范围为-≤x≤-1. 4.解:(1)依题意可得,顶点C的坐标为(0,11),设抛物线的表达式为y=ax2+11. 由抛物线的对称性可得,点B(8,8),代入表达式,得8=64a+11, 解得a=-, 故抛物线的表达式为y=-x2+11. (2)当水面到顶点C的距离不大于5 m时,h≥6, 把h=6代入h=-(t-19)2+8(0≤t≤40),得-(t-19)2+8=6, 解得t1=35,t2=3. 所以禁止船只通行的时间为|t1-t2|=32(h). 答:禁止船只通行的时间为32 h. 5.解:(1)由题意,得抛物线的顶点为C(6,12),且抛物线经过原点, 设抛物线的表达式为 y=a(x-6)2+12, 把(0,0)代入,得0=a(0-6)2+12, 解得a=-, ∴抛物线的表达式为y=-(x-6)2+12,即y=-x2+4x. (2)能.理由如下: ∵AE∶OE=1∶3,OE=9 m, ∴AE=3 m. 当x=9时,y=-×81+36=9, ∵3+5<9, ∴小刚投出的手榴弹能越过这棵树. (3)设直线OA的表达式为y=kx(k≠0),把A(9,3)的坐标代入可得k=, ∴直线OA的表达式为y=x. 如图,作直线MN∥y轴,交抛物线于点M,交OA于点N. 设M,N, 则MN=t=-t2+t=-, ∴当t=时,MN取最大值. 答:飞行的过程中手榴弹离山坡的最大高度是 m. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时　二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系 二次函数与一元二次方程的关系 1.若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则方程ax2+bx+c=0的解为 (　　) A.x1=0,x2=3 B.x1=1,x2=3 C.x1=1,x2=0 D.x1=-1,x2=3 2.(2024防城港期末)抛物线y=x2+2x+c与x轴只有一个公共点,则c的值为 (　　) A.-1 B.1 C.-4 D.4 3.二次函数y=ax2-bx-5的图象与x轴交于点(1,0)、(-3,0),则关于x的方程ax2-bx=5的根为 (　　) A.1,3 B.1,-5 C.-1,3 D.1,-3 4.已知二次函数y=x2-4x+3图象的顶点为C,求其函数图象与x轴的交点A、B(A在B的左侧)的坐标及△ABC的面积. 二次函数与一元二次不等式的关系 5.如图,由二次函数y=ax2+bx+c的图象可知,不等式ax2+bx+c<0的解集是 (　　) A.-3<x<1 B.x>1 C.x<-3或x>1 D.x<-3 6.如图是二次函数y=-x2+2x+4的图象,使y≤1成立的x的取值范围是 (　　) A.-1≤x≤3 B.x≤-1 C.x≥1 D.x≤-1或x≥3 7.(2024宿迁沭阳县一模)如图,抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(-2,p),B(4,q)两点,则不等式ax2+c<mx+n的解集是　　　　.  8.利用函数的图象,求方程x2+2x-3=0的解,并直接写出不等式x2+2x-3>0的解集. 1.如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分,它的对称轴是直线x=1,若抛物线与x轴的一个交点为A(3,0),则不等式ax2+bx+c<0的解集是 (　　) A.x>3 B.x<3 C.0<x<3 D.-1<x<3 2.(易错题)若函数y=mx2+(m+2)x+m+1的图象与x轴只有一个交点,则m的值为 (　　) A.0 B.0或2 C.2或-2 D.0,2或-2 3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,有下列结论:①a>0;②b2-4ac>0;③4a+b=1;④不等式ax2+(b-1)x+c<0的解集为1<x<3.其中正确结论的个数是 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 4.二次函数y=2x2+4x-1的图象如图所示,若方程2x2+4x-1=0的一个近似根是x=-2.2,则方程的另一个近似根为x=　　　.(结果精确到0.1)  5.(2024北京顺义区期末)已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,写出一个满足不等式ax2+bx+c<-1的x的值,这个值可以是　　　　.  6.二次函数y=(x-m)2-(x-m)(0<x<1)的图象都在x轴的上方,则m的值应满足的条件是　　　　.  7.已知抛物线y=mx2+(3-2m)x+m-2(m≠0)与x轴有两个不同的交点. (1)求m的取值范围; (2)判断点P(1,1)是否在抛物线上; (3)当m=1时,求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P'的坐标. 8.(几何直观)如图,直线y1=x+1与抛物线y2=x2-4x+8交于B、C两点(B在C的左侧). (1)求B、C两点的坐标; (2)直接写出y1<y2时,x的取值范围; (3)抛物线的顶点为A,求△ABC的面积. 【详解答案】 课堂达标 1.D　2.B　3.D 4.解:∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,∴顶点C(2,-1).由x2-4x+3=0,得x1=3,x2=1,即点A的坐标是(1,0),点B的坐标是(3,0). 过点C作CD⊥AB于点D(图略). ∵AB=2,CD=1, ∴S△ABC=AB·CD=×2×1=1. 5.C　6.D　7.-2<x<4 8.解:二次函数y=x2+2x-3的图象如图所示,当y=0时,x=-3或1,即方程x2+2x-3=0的解为x1=-3,x2=1.不等式x2+2x-3>0的解集为x<-3或x>1. 课后提升 1.D　解析:设抛物线与x轴的另一个交点为B(x1,0),则=1,∴x1=-1,∴点B(-1,0).结合题中图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是-1<x<3.故选D. 2.D　解析:分为两种情况:①当函数是二次函数时, 因为函数y=mx2+(m+2)x+m+1的图象与x轴只有一个交点, 所以Δ=(m+2)2-4m=0且m≠0,解得m=±2;②当函数是一次函数时,m=0,此时函数表达式是y=2x+1,其图象与x轴只有一个交点.故选D. 3.C　解析:①由题图可知抛物线开口向上,则a>0,故①正确;②由题图可知抛物线与x轴无交点,∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0无实数根,即Δ=b2-4ac<0,故②错误;③抛物线过(1,1),(3,3),即当x=1时,y=a+b+c=1,当x=3时,y=9a+3b+c=3,∴8a+2b=2.∴4a+b=1.故③正确;④易知点(1,1),(3,3)在直线y=x上,由题图可知,点(1,1),(3,3)也在抛物线y=ax2+bx+c上,∴点(1,1),(3,3)是抛物线与直线y=x的交点.如图,观察图象可知,ax2+bx+c<x时,1<x<3,∴不等式ax2+bx+c<x的解集为1<x<3,即ax2+(b-1)x+c<0的解集为1<x<3,故④正确.故选C. 4.0.2　解析:由题意可知抛物线与x轴的一个交点近似为(-2.2,0), 又∵抛物线的对称轴为直线x=-=-1, ∴另一个交点坐标近似为(0.2,0). 则方程的另一个近似根为x=0.2. 5.1(答案不唯一)　解析:由题图可知,当y=-1时,x1=0,x2=2.8, ∴当0<x<2.8时,y<-1. ∴不等式ax2+bx+c<-1的解集为0<x<2.8. ∴满足不等式ax2+bx+c<-1的x的值可以是1.(答案不唯一) 6.m≥1或m≤-1　解析:∵二次函数表达式为y=(x-m)2-(x-m)=(x-m)(x-m-1), ∴当y=0时,x=m或x=m+1. ∴二次函数y=(x-m)2-(x-m)的图象与x轴的交点坐标为(m+1,0),(m,0). ∵y=(x-m)2-(x-m)=x2-2mx+m2-x+m(0<x<1),1>0, ∴该二次函数的图象开口向上. ∴当x<m或x>m+1时,y>0,即此时二次函数图象都在x轴的上方, ∴m≥1或m+1≤0,即m≥1或m≤-1. 综上所述,m≥1或m≤-1. 7.解:(1)根据题意,得Δ>0,即b2-4ac=(3-2m)2-4m(m-2)>0,解得m<且m≠0. (2)把x=1代入,得y=m+(3-2m)+m-2=1,点P(1,1)的坐标符合函数表达式, 所以点P(1,1)在抛物线上. (3)因为m=1,所以y=x2+x-1=, 所以Q. 根据对称性,令x2+x-1=1,解得x1=-2,x2=1, 所以P'(-2,1). 8.解:(1)令x+1=x2-4x+8, 解得x1=2,x2=7, 将x1=2,x2=7分别代入y=x+1,得y1=2,y2=, ∴点B坐标为(2,2),点C坐标为. (2)当y1<y2时,x的取值范围为x>7或x<2. (3)如图,作AD∥y轴交BC于点D, ∵y=x2-4x+8=(x-4)2, ∴抛物线顶点A的坐标为(4,0). 将x=4代入y=x+1,得y=3, ∴点D的坐标为(4,3),AD=3. ∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=AD·(xA-xB)+·AD·(xC-xA)=·AD(xC-xB)=×3×(7-2)=. 学科网（北京）股份有限公司 $$