11.1.2三角形的高、中线与角平分线 课时作业2024—2025学年人教版数学八年级上册

11.1.2三角形的高、中线与角平分线 课时作业2024—2025学年人教版八年级上册数学 一、单选题 1．如图，已知是的中线，是的中线，，则（    ） A．4 B．2 C．6 D．5 2．如图，△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE，交BD于点G，交BC于点H .下列结论： ①∠DBE=∠F；②∠F=∠BAC-∠C； ③2∠BEF=∠BAF+∠C；④∠BGH=∠ABE+∠C．其中正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如阁，、分别是的高，，，，则（    ）    A． B． C． D． 4．已知一个三角形三边之比为3∶4∶5，则这个三角形三边上的高之比为（    ） A．3∶4∶5 B．5∶4∶3 C．20∶15∶12 D．10∶8∶2 5．如图，△ABC的中线AD、BE相交于点F，△ABF与四边形CEFD的面积的大小关系为（      ） A．△ABF的面积大 B．四边形CEFD的面积大 C．面积一样大 D．无法确定 6．如图，在中，已知点分别为边的中点，且，则阴影部分的面积为（    ）． A．2 B．3 C．4 D．6 7．如图，有下列说法： ①若，，则是的平分线； ②若，则； ③若，则； ④若，则． 其中正确的有（  ）． A．个 B．个 C．个 D． 8．下列线段中，是的边上的高的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，在中，点D在BC上，点E是AD的中点，点F在BE上，且，若，则 ． 10．如图，在中，D是上一点，，连接，是的中线，若的面积为90，则的面积为 ．    11．如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，E，F分别是AD，BE的中点，连接CE，CF，若，则△ABC的面积为 . 12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），点P在以D（3，5）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则t的最小值是 . 13．如图，已知是的中线，是的中线，若的面积为20，则的面积为 ． 三、解答题 14．如图，三个顶点的坐标分别是，，． (1)画出向右平移7个单位向下平移6个单位后的图形，并写出，两个顶点的坐标． (2)求的面积. (3)直接写出与轴交点的横坐标． 15．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，． (1)若把向上平移3个单位，再向左平移1个单位得到，在图中画出平移后的， (2)求出的面积． 16．如图在每个正方形的边长都是1的方格纸中，有满足大于，并且顶点A、B、C都在小正方形各格点上（请按照以下要求画出所求线段，要求所画线段的端点都落在格点上）． (1)在边上取一点D，连接，使． (2)画边上的高线． (3)直接写出的面积是__________． 17．如图，每个小正方形的边长为1，利用网格点和无刻度的直尺画图： (1)过点A画线段使且； (2)求三角形的面积； (3)点E在线段上，，点H是直线上一动点，线段的最小值为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C C C C A B C 1．B 【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形进行解答即可． 【详解】解：∵是的中线，， ∴， 又是的中线， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的中线，解题关键是理解三角形的中线所具有的性质． 2．C 【分析】根据BD⊥FD，FH⊥BE和∠FGD=∠BGH，证明结论正确； ②证明∠DBE=∠BAC-∠C，根据①的结论，证明结论正确； ③根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确； ④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确． 【详解】①∵BD⊥FD， ∴∠FGD+∠F=90°， ∵FH⊥BE， ∴∠BGH+∠DBE=90°， ∵∠FGD=∠BGH， ∴∠DBE=∠F， 正确； ② ∠ABD=90°−∠BAC, ∠DBE=∠ABE−∠ABD=∠ABE−90°+∠BAC=∠CBD−∠DBE−90°+∠BAC， ∵∠CBD=90°−∠C， ∴∠DBE=∠BAC−∠C−∠DBE， 由①得，∠DBE=∠F， ∴∠F=∠BAC−∠C−∠DBE， ②错误； ③∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE， ∠BEF=∠CBE+∠C， ∴2∠BEF=∠ABC+2∠C， ∠BAF=∠ABC+∠C， ∴2∠BEF=∠BAF+∠C， ③正确； ④∵∠AEB=∠EBC+∠C， ∵∠ABE=∠CBE， ∴∠AEB=∠ABE+∠C， ∵BD⊥FC，FH⊥BE， ∴∠FGD=∠FEB， ∴∠BGH=∠ABE+∠C， ④正确， 故答案为①③④. 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理, 三角形的角平分线、中线和高, 三角形的外角性质，熟悉掌握是关键. 3．C 【分析】本题主要考查利用面积法求三角形的高．利用三角形的面积公式，表示出的面积，即，便可求出的长． 【详解】解：、分别是的高，， ∴， ∴． 故选：C． 4．C 【分析】根据同一三角形面积相等解答即可． 【详解】解：∵同一个三角形，面积是相等的，三边之比为3：4：5，最小公倍数为60， ∴这个三角形三边上的高之比为20：15：12． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的面积和高，根据同一三角形面积相等，进而可得高的比与边的比之间的关系是解决本题的关键． 5．C 【分析】根据等底等高的三角形的面积相等可知三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，然后表示出S△ABE=S△ACD=S△ABC，再表示出S△ABF与S四边形CEFD，即可得解． 【详解】∵AD、BE是△ABC的中线， ∴S△ABE=S△ACD=S△ABC， ∵S△ABF=S△ABE-S△AEF，S四边形CEFD=S△ACD-S△AEF， ∴S△ABF=S四边形CEFD， 即，△ABF与四边形CEFD的面积相等． 故选C. 【点睛】本题考查了三角形的面积，熟记三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形是解题的关键． 6．A 【分析】本题考查利用三角形中线求三角形的面积，熟练掌握三角形中线平分三角形的面积． 因为点是的中点，所以的底是的底的一半，高等于的高；同理，、、分别是、的中点，与同底，的高是高的一半；利用三角形的等积变换可解答． 【详解】解：点是的中点， 的底是，的底是，即，高相等； ， 、、分别是、的中点，同理得，， ，且， ， 即阴影部分的面积为， 故选：A． 7．B 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义，对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】， ∴ ∴ ∴是的平分线，即①正确； 若，得，，不构成成立的条件，故②错误； 若，不构成成立的条件，故③错误； 若，且 ∴ ∴，即④正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线和角平分线的知识，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和角平分线的定义． 8．C 【分析】本题考查三角形的高的定义及作图，结合三角形边上的高，是指该边所对顶点向该边作垂线，由四个选项逐项验证即可得到答案，熟记三角形的高及作图是解决问题的关键． 【详解】解：A、由图可知，是的边上的高，不符合题意； B、由图可知，不是的高，不符合题意； C、由图可知，是的边上的高，符合题意； D、由图可知，是的边上的高，不符合题意； 故选：C． 9．30 【分析】根据三角形的面积公式，利用得到，进而得到，再利用点E是AD的中点得到，，进而得到，从而得到的值． 【详解】解：， ∴， ∴． 点E是AD的中点， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．理解等底同高的三角形面积相等是解答关键． 10．30 【分析】由三角形面积关系得，，即可得出结论． 【详解】解：，， ， 是的中线， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据三角形中线求面积，熟练掌握三角形面积公式求出是解答本题的关键． 11．20 【分析】根据三角形中线的性质求得，，继而根据，由即可求解． 【详解】∵点F是BE的中点， ∴， ∵点E是AD的中点， ∴， ∵ ∴ 故答案为：20 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，掌握三角形的中线的性质是解题的关键． 12．4 【分析】先求出AB，AC，进而得出AC=AB，结合直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，即AP=t，即可得出t最小时，点P在AD上，用两点间的距离公式即可得出结论． 【详解】如图，连接AP． ∵点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0）， ∴AB=（1+t）﹣1=t，AC=1﹣（1﹣t）=t，∴AB=AC． ∵∠BPC=90°，∴AP=BC=AB=t， 要t最小，就是点A到⊙D上的一点的距离最小， ∴点P在AD上． ∵A（0，1），D（3，5），∴AD==5， ∴t的最小值是AP=AD﹣PD=5﹣1=4． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边的中线的性质，平面坐标系内，两点间的距离公式，极值的确定；判断出点A是BC的中点是解答本题的关键． 13．5 【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分直接进行求解即可． 【详解】解：是的中线, , 又是的中线, . 【点睛】本题主要考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键． 14．(1)图见解析，， (2)11 (3) 【分析】本题考查了平移作图，根据平移方式求点坐标，坐标与图形，割补法求面积等知识． （1）根据平移的方式进行作图即可，进而可得，两个顶点的坐标； （2）根据，计算求解即可； （3）记与x轴交点为，利用面积法计算可得结果． 【详解】（1）解：如图， ∴，； （2）解：由题意知， ∴的面积为11； （3）解：记与x轴交点为，如图， 由题意知，， 解得， ∵， ∴， ∴与x轴交点的横坐标为． 15．(1)见解析 (2)7 【分析】本题考查了平移作图，利用网格求三角形的面积，根据平移方式正确作出图形是解题关键． （1）根据平移方式作出图形即可； （2）利用网格求出三角形面积即可． 【详解】（1）如图，三角形即为所求作． （2）． 16．(1)见解析 (2)见解析 (3)10 【分析】本题考查的是画三角形的高，三角形的中线、三角形的面积的计算，熟悉等高的两个三角形的面积之间的关系是解本题的关键． （1）利用网格线作的中点D，并连接即可； （2）利用网格线的特点，取格点E，满足，则即为所求作的线段； （3）利用三角形的面积公式直接计算即可． 【详解】（1）解：D即为所求作的点； （2）即为所求作的线段； （3）解：． 17．(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了格点作图，点到直线的距离垂线段最短，三角形面积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）根据过点A画线段，，即可； （2）利用割补法求解即可； （3）根据点到直线的距离垂线段最短，可知当时最短，由此利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）如图所示，线段即为所求； （2）三角形的面积； （3）根据点到直线的距离垂线段最短，可知当BH⊥CE时BH最短， 如图所示： ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴点H是直线上一动点线段的最小值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$