24.2点和圆、直线和圆的位置关系同步训练 2024-2025学年人教版数学九年级上册

点和圆、直线和圆的位置关系 同步训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME=EF且EF∥MN，则∠E的大小等于（ ） A．75° B．60° C．45° D．30° 2．如图，是的切线，为切点，交于点，若，，则的长为（    ） A．5 B．7 C．8 D．13 3．⊙O的半径为2cm，若直线a上有一点到圆心的距离为2cm，则直线a和圆O的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 4．如图，在边长为的正方形中，与外切，且分别与、边相切，分别与、边相切，则圆心距为（）． A． B． C． D． 5．若的半径为，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是（　　） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．不能确定 二、填空题 6．如图，半径为r的⊙O分别绕面积相等的等边三角形、正方形和圆用相同速度匀速滚动一周，用时分别为、、，则、、的大小关系为 ． 7．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点，，（O为坐标原点）的半径为1，点P在直线AB上，过点P作的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为 ． 8．如图，△ABC内接于⊙O，PA，PB是切线，A、B分别为切点，若∠C=62°，则∠APB= ． 9．如图，的圆心的坐标是，半径为，在直角坐标系中，为直线上的动点，过作的切线，切点为，则切线长的最小值是 ． 10．点是外一点，、分别与相切于、两点，，点为上一点（点不与、重合），连接、，则 度； 三、解答题 11．综合与实践【数学理解】德国数学家米勒曾提出最大视角问题，对该问题的一般描述是：如图2，已知点，是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大．人们称这一命题为米勒定理．    (1)【问题提出】如图1，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙已跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑，甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？假设球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进．请结合你所学知识，求证：． (2)【问题解决】如图3，已知点，的坐标分别是，，是轴正半轴上的一动点，当的外接圆⊙与轴相切于点时，最大．当最大时，求点的坐标． 12．（1）如图1，在四边形中，，对角线，若，求的长． （2）陕北羊肉在全国远近闻名，某养殖场准备在以，为围档的旧农场中，建设一个新的山羊养殖基地，如图2，六边形为新养殖基地的鸟瞰图，点A位于点B的正北方，已知米，，且点C位于点B的东边，设计要求将点B，E分别设为入口，点E位于点C的正北方向，点A的正东方向，．根据设计要求，求六边形的面积的最小值及此时的长． 13．【生活问题】2022年卡塔尔世界杯比赛中，某球员P带球沿直线接近球门，他在哪里射门时射门角度最大？ 【操作感知】小米和小勒在研究球员P对球门的张角时，在上取一点Q，过A、B、Q三点作圆，发现直线与该圆相交或相切．如果直线与该圆相交，如图1，那么球员P由M向N的运动过程中，的大小______：（填序号） ①逐渐变大；②逐渐变小；③先变大后变小；④先变小后变大 【猜想验证】小米和小勒进一步探究发现，如果直线与该圆相切于点Q，那么球员P运动到切点Q时最大，如图2，试证明他们的发现． 【实际应用】如图3，某球员P沿垂直于方向的路线带球，请用尺规作图在上找出球员P的位置，使最大．（不写作法，保留作图痕迹） 14．某班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第天的售价与销量的相关信息如下表： 观察表格：根据表格解答下列问题： 0 1 2 1 -3 -3 （1）__________._____________.___________. （2）在下图的直角坐标系中画出函数的图象，并根据图象，直接写出当取什么实数时，不等式成立； （3）该图象与轴两交点从左到右依次分别为、，与轴交点为，求过这三个点的外接圆的半径. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 B C D A A 1．B 【详解】试题解析：连接OM，OM的反向延长线交EF于点C，如图， ∵直线MN与⊙O相切于点M， ∴OM⊥MN， ∵EF∥MN， ∴MC⊥EF， ∴CE=CF， ∴ME=MF， 而ME=EF， ∴ME=EF=MF， ∴△MEF为等边三角形， ∴∠E=60°， 故选B． 考点：切线的性质． 2．C 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．先根据切线的性质得到，再利用勾股定理计算出，然后计算． 【详解】解：是的切线，为切点， ， ， 在中，， ． 故选：C． 3．D 【详解】试题分析：当圆心到直线的最短距离为2cm时，则直线与圆相切；当圆心到直线的最短距离小于2cm时，则直线与圆相交． 考点：直线与圆的位置关系 4．A 【分析】此题主要考查了切线的性质，正方形的性质，勾股定理和分母有理化，通过作辅助线构造直角三角形，用勾股定理作为相等关系列方程即可求解，解题的关键是利用正方形的性质构造直角三角形，用勾股定理作为相等关系列方程求解． 【详解】如图所示，过点作交于点，过点作于点， 设半径x，半径， ∵分别与、边相切，分别与、边相切， ∴在的平分线上；在平分线上， ∵四边形为正方形， ∴，，， 在中由勾股定理得： 同理：，， ∴， 解得， 故选：． 5．A 【分析】根据点到圆心的距离大于圆的半径即可得到点在圆外． 【详解】解：∵的半径为，点到圆心的距离为，， ∴点在圆外； 故选A． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系．熟练掌握利用点到圆心的距离与圆的半径之间的大小关系，确定点与圆的位置关系，是解题的关键． 6．． 【分析】根据面积，可得相应的周长，根据有理数的大小比较，可得答案． 【详解】设面积相等的等边三角形、正方形和圆的面积为S，等边三角形、正方形的边长分别为a，b，圆的半径为r， 等边三角形的面积S=a2,周长=3a=3， 正方形的面积S=b2,周长=4b=4， 圆的面积S=πr2,周长=2πr=2π， 周长平方后的结果分别为12S，16S，4πS ∴t1>t2>t3. 故答案为t1>t2>t3. 7．． 【分析】连接OP．根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，当OP⊥AB时，线段OP最短，即线段PQ最短． 【详解】解：连接OP、OQ． ∵PQ是⊙O的切线， ∴OQ⊥PQ； 根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2， ∵当PO⊥AB时，线段PQ最短； 又∵A（﹣2，0），B（0，2）， ∴OA＝OB＝2， ∴AB＝， ∴OP＝AB＝2， ∴PQ＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质、垂线段最短、勾股定理等知识点．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角来解决有关问题． 8．56° 【详解】试题分析：连接OA,OB, ∵PA、PB是⊙O的切线, ∴∠PAO=∠PBO=90°, ∵∠C=62°, ∴∠AOB=2∠C=124°, ∴∠APB=360°﹣∠AOB﹣∠PAO﹣∠PBO=56°． 故答案是56°． 考点：圆周角定理． 9． 【分析】连接，，如图所示，由切线性质，通过勾股定理将的最小值转化为求最小值，利用两点的距离公式求出即可得到答案． 【详解】解：连接，，如图所示： 是的切线， ， 在中，，，则由勾股定理可得， 当取得最小值时，有最小值， 为直线上的动点，圆心的坐标是，设点的坐标是 ， 当时，最小， 此时， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值，涉及切线性质、勾股定理、点到直线距离公式等知识，读懂题意，由勾股定理将求切线长的最小值转化为求最小值是解决问题的关键． 10．或 【分析】本题考查了切线的性质、圆周角定理，连接、，由切线的性质可得，求出，再分两种情况：当点在优弧上时，当点在劣弧上时，分别求解即可． 【详解】解：如图，连接、， 由切线的性质可得：， ∵，， ∴， 当点在优弧上时，， 当点在劣弧上时，， 综上所述，或度， 故答案为：或． 11．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形的外角和，同弧或者等弧所对的圆周角相等，即可； （2）当的外接圆⊙与轴相切于点时，最大，连接，，过点作于点，根据垂径定理，勾股定理，即可求出． 【详解】（1）证明：由图可知：∵，是所对的圆周角， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）当的外接圆⊙与轴相切于点时，最大， ∴连接，，过点作于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴在中，， ∵点，的坐标分别是，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴点．    【点睛】本题考查圆的基本性质，解题的关键是掌握同弧或者等弧所对的圆周角和圆心角的关系，垂径定理，圆的切线定理． 12．（1）；（2）当为米时，六边形的面积的最小值为平方米 【分析】（1）将绕点按顺时针方向旋转得到．先证明三点共线，再根据勾股定理求出，得出，即可得出的值； （2）连接，．证明四边形为正方形，得出，将绕点按逆时针方向旋转得到，点对应点为，点对应点为．由旋转性质，得，，．求出，将绕点按顺时针方向旋转得到，点对应点为．由旋转性质，得，，，连接，得到等边，作的外接，圆心为点，半径为20米，过点作，垂足为，连接，根据，得出当与重合时，存在最大值，最大值为20米，然后求出结果即可． 【详解】解：（1）如图1，将绕点按顺时针方向旋转得到． ， ， ， 三点共线， 由旋转性质，可得，， 在中，， ， ， ． （2）如图2，连接，． ∵点E位于点C的正北方向，点A的正东方向， ∴，， ∵ ∴四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ． 将绕点按逆时针方向旋转得到，点对应点为，点对应点为． 由旋转性质，得，，． ， ， ， ， 又， ， 将绕点按顺时针方向旋转得到，点对应点为． 由旋转性质，得，，， ，， 连接，得到等边，米， 作的外接，圆心为点，半径为20米，过点作，垂足为，连接， ∵米， ∴， ∴米， ， ， 当与重合时，存在最大值，最大值为20米， 此时为等腰直角三角形，米， 的最小值为平方米，平方米， 当为米时，六边形的面积的最小值为平方米． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形外接圆，等边三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 13．操作感知：③；猜想验证：见解析；实际应用：见解析 【分析】操作感知：如图所示，设直线与的外接圆的另一个交点为D，分别在射线，射线上取一点F，E，连接交的外接圆于H，连接交的外接圆于G，连接，利用圆周角定理和三角形外角的性质证明即可得到结论； 猜想验证：如图所示，在上任取一点G（不与Q重合），连接交的外接圆于H，连接，利用三角形外角的性质和圆周角定理证明即可； 实际应用：如图所示，作线段的垂直平分线交于E，延长交于F，以点A为圆心，的长为半径画弧交直线于O，以O为圆心，以的长为半径画弧交直线于P，点P即为所求． 【详解】解：操作感知：如图所示，设直线与的外接圆的另一个交点为D，分别在射线，射线上取一点F，E，连接交的外接圆于H，连接交的外接圆于G，连接， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴； 在上取一点T，连接并延长交的外接圆于S，连接， ∴， ∵， ∴， ∴球员P由M向N的运动过程中，的大小是先变大后变小， 故答案为：③； 猜想验证：如图所示，在上任取一点G（不与Q重合），连接交的外接圆于H，连接， ∴， ∵， ∴，即， ∴上异于点Q的其他所有点对的张角都小于， ∴球员P运动到切点Q时最大； 实际应用：如图所示，作线段的垂直平分线交于E，延长交于F，以点A为圆心，的长为半径画弧交直线于O，以O为圆心，以的长为半径画弧交直线于P，点P即为所求； 理由如下：∵， ∴， ∵，且，即是两条平行线间的距离， ∴也是这两条平行线间的距离， ∴， ∴ 直线与相切， ∴由“猜想验证”可知，当直线与相切于点P时，最大． 【点睛】本题主要考查了切线的性质于判定，三角形外角的性质，圆周角定理，确定圆心，线段垂直平分线的尺规 作图，平行线间间距相等等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 14．（1），，；（2）或；（3） 【分析】(1)直接将(1，1)代入求出a即可，进而将x=2代入求出y，再分别将(0, -3) ，(2， -3)代入求出b，c的值; (2)再利用函数解析式进而得出函数图象，进而得出不等式的解集. (3)根据题意求得外接圆的圆心的坐标为(1，1)，进而求得圆的半径,即可求得圆的面积. 【详解】解：(1)∵过(1,1) ∴ 当x=2时， ∵过，，， ∴ 解得 故答案为，，； （2）如图所示： 当或时，. （3）由（2）可知,则作、 的垂直平分线的交点, ∴外接圆的半径， 故答案为. 【点睛】本题考查了二次函数与不等式、抛物线与轴交点、三角形的外接圆等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$