3.2.1双曲线及其标准方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.2.1双曲线及其标准方程 人教A版选择性必修一第三章 新知探究 在直线l上取两个定点A、B,P是直线l上的动点，在平面内取定点F1、F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，以点F2为圆心、线段PB为半径作圆. 思考1：当点P在线段AB上，两圆有交点时，两圆的交点M的轨迹是什么？ 新知探究 思考2：当点P在线段AB的延长线上，两圆有交点时，两圆的交点M的轨迹是什么？ 思考3：当点P在线段AB的反向延长线上，两圆有交点时，两圆的交点M的轨迹是什么？ 新知探究 思考4：在思考2和思考思3中，两圆的交点M满足的几何条件是什么？ ||MF2|-|MF1||=AB. 新课讲解：双曲线的定义 我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线． 这两个定点叫做双曲线的焦点， 两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 一般用2a表示 一般用2c表示 2 F F 1 M 符号表述： 思考1：去掉“绝对值”，动点M 的轨迹是什么？ 思考2：若2a=0, 即|MF1|=|MF2|，则轨迹是什么？ 思考3：若2a=2c, 即||MF1|-|MF2|| =|F1F2|，则轨迹是什么？ 思考4：若2a>2c, 即||MF1|-|MF2|| > |F1F2|，则轨迹是什么？ 新课讲解：双曲线的定义 设M(x,y)为双曲线上任一点, 双曲线的焦距为2c(c>0), 那么焦点F1,F2的坐标分别为 F1(-c,0), F2(c,0), 又设||MF1|-|MF2||=2a(0<a<c), 则有 ① 建系: 如图示，建立平面直角坐标系. ② 设点： ③ 列式： O • • • M ④ 化简整理得： 我们把上述方程叫做双曲线的标准方程，它表示焦点在x轴上，焦点坐标分别是F1(-c, 0), F2(c, 0)的双曲线，这里c2=a2+b2. 新课讲解：双曲线的标准方程 新课讲解：双曲线的标准方程 O • • • M 这个方程也是双曲线的标准方程，它表示焦点在y轴上，焦点坐标分别是F1(0, -c), F2(0, c)的双曲线，这里c2=a2+b2. 思考： 类比椭圆，请思考焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？ 新课讲解：椭圆与双曲线的区别和联系 椭圆 定 义 方 程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 焦 点 a, b, c 的关系 F1(－c, 0), F2(c, 0) a>0, b>0, c2=a2+b2 a, b, c中c最大 a>b>0, a2=b2+c2 a, b, c中a最大 ||MF1|－|MF2||=2a (a<c) |MF1|+|MF2|=2a (a>c) F1(0, －c), F2(0, c) F1(－c, 0), F2(c, 0) F1(0, －c), F2(0, c) 分母大小 例题讲解 例1：已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与,的距离差的绝对值等于，求双曲线的标准方程. 解：由于椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为.由得又， 因此 所以，双曲线的标准方程为. 例题讲解 例2：已知，两地相距，在地听到炮弹爆炸声比在地晚，且声速为，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 解：如图，建立平面直角坐标系，使两点在轴上， 且原点与线段中点重合.设炮弹爆炸点的坐标为， 则，即. 又，所以，，. 因为，所以点的轨迹是双曲线的右支，因此 所以，炮弹爆炸点的轨迹方程为 求适合下列条件的双曲线的标准方程. 课堂练习 1．已学习：双曲线的定义、双曲线的标准方程及推导过程． 2．须贯通：(1)求解双曲线的标准方程一般有两种方法：一是待定系数法，二是定义法； (2)用待定系数法求双曲线的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，体现分类讨论思想及方程思想． 课堂小结 $$