3.8　圆内接正多边形课时作业 2024-2025学年 北师大版数学九年级下册

8 圆内接正多边形 圆内接正多边形的有关概念和计算 1.(2024扬州邗江区一模)如图,正五边形ABCDE内接于☉O,点P是劣弧BC上一点(点P不与点C重合),则∠CPD=(　　) A.45° B.36° C.35° D.30° 2.如图,A,B,C,D为一个正多边形的顶点,O为正多边形的中心.若∠ADB=20°,则这个正多边形的边数为 (　　) A.7 B.8 C.9 D.10 3.如图,☉O与正五边形ABCDE的两边AE,CD相切于A,C两点,则∠AOC的度数是 (　　) A.108° B.129° C.130° D.144° 4.如图,点O为正六边形ABCDEF的中心,则∠OAE的度数为 (　　) A.18° B.30° C.32° D.60° 5.若一个正多边形的每一个外角都是36°,则该正多边形的边数是　　　　　.  6.正十边形绕着它的中心至少旋转　　　　,能与它本身重合.  7.如图,在正六边形ABCDEF中,连接AC,若AC=6,则正六边形的边长为　　　　.  8.(2024宿迁期末)如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,☉O的半径为4. (1)求正六边形的边心距; (2)求正六边形ABCDEF的面积. 圆内接正多边形的作图 9.如图,用尺规作圆内接正六边形、内接正三角形、内接正方形.(不写作法,保留作图痕迹) 内接正六边形 内接正三角形 内接正方形 1.如图,☉O是正六边形ABCDEF的外接圆.若☉O的半径为6,则四边形ACDF的周长是 (　　) A.6+6 B.12+6 C.12+12 D.6+12 2.如图,M是正六边形EFGHPQ的中心.在平面直角坐标系中,若点M的坐标为(0,0),点E的坐标为(-1,0),则点H的坐标为 (　　) A.(-2,0) B.(1,1) C.(1,0) D.(2,0) 3.如图,正五边形ABCDE中,M,N分别是CD,DE的中点,连接AM,BN相交于点O,那么∠AOB的度数为　　　　　.  4.(2024咸阳永寿县模拟)如图,点O是正八边形ABCDEFGH的中心,连接BD,若BD=6,则点O到BD的距离为　　　　.  5.如图,六边形ABCDEF是☉O的内接正六边形,设四边形ABCE的面积为S1,△ACE的面积为S2,则=　　　　.  6.如图,正六边形ABCDEF内接于☉O. (1)若P是上的动点,连接BP,FP,求∠BPF的度数; (2)已知△ADF的面积为2,求☉O的面积. 7.(几何直观)如图,☉O为△ABC的外接圆,半径长为5,∠BAC=∠BOC=120°. (1)求BC的长. (2)作∠BAC的平分线交☉O于点D. ①求证:△BDC为等边三角形; ②若AC=6,求AD的长. 【详解答案】 课堂达标 1.B　解析:如图,连接OC,OD, ∵五边形ABCDE是正五边形, ∴∠COD==72°, ∴∠CPD=∠COD=36°. 故选B. 2.C　解析:如图,连接OA,OB, ∵A,B,C,D为一个正多边形的顶点,O为正多边形的中心, ∴点A、B、C、D在以点O为圆心,OA为半径的同一个圆上, ∵∠ADB=20°, ∴∠AOB=2∠ADB=40°, ∴这个正多边形的边数==9. 故选C. 3.D　解析:∵五边形ABCDE是正五边形, ∴∠D=∠E==108°. 又∵☉O与正五边形ABCDE的两边AE,CD相切于A,C两点, ∴∠OAE=∠OCD=90°. 在五边形CDEAO中, ∠AOC=(5-2)×180°-90°×2-108°×2=144°, 故选D. 4.B　解析:如图,连接OF, ∵点O为正六边形ABCDEF的中心, ∴∠AOF=∠EOF=60°, ∴∠AOE=120°. 在等腰三角形AOE中, ∠OAE=×(180°-120°)=30°. 故选B. 5.10　解析:∵一个正多边形的每一个外角都是36°, ∴边数=360°÷36°=10. 6.36°　解析:∵360°÷10=36°, ∴该图形绕中心至少旋转36°后能与它本身重合. 7.2　解析:如图,连接BE,交AC于点H, ∵六边形ABCDEF是正六边形, ∴AB=BC,BE⊥AC,∠ABC=120°, ∴AH=CH=AC=3,∠AHB=90°,∠BAH=30°, ∴AB==2, ∴正六边形的边长为2. 8.解:(1)如图,连接OC,OD,过点O作OH⊥CD于点H,则∠OHC=∠OHD=90°. ∵六边形ABCDEF是正六边形, ∴∠COD=60°,∴△COD为等边三角形. ∴∠COH=30°, ∴=cos∠COH=cos 30°,∵OC=4, ∴圆心O到CD的距离OH=4×cos 30°=2, 即正六边形的边心距为2. (2)由(1)得CD=OC=4,正六边形ABCDEF的面积=6S△COD=×4×2×6=24. 9.解:如图. 内接正六边形 内接正三角形 内接正方形 课后提升 1.C　解析:如图,连接OA,OF,OD,过点O作OM⊥DF于点M,则FM=DM=DF, ∵点O是正六边形ABCDEF的中心, ∴∠AOF==60°. ∵OA=OF, ∴△AOF是等边三角形,∴AF=OA=6. 在Rt△FOM中,∠OFM=90°-60°=30°,OF=6, ∴FM=OF=3,∴DF=2FM=6, ∴四边形ACDF的周长是2AF+2DF=12+12. 故选C. 2.C　解析:建立如图所示的平面直角坐标系,此时点M(0,0),点E(-1,0), 由正六边形的性质可知,点E、点M、点H都在x轴上, 且ME=MH=1, ∴点H(1,0). 故选C. 3.72°　解析:如图,连接BM,EM,BD,BE. ∵五边形ABCDE是正五边形, ∴BC=DE,∠BCM=∠EDM=108°. ∵M是CD的中点, ∴CM=DM,∴△BCM≌△EDM(SAS). ∴BM=EM. ∵AB=AE,∴AM垂直平分BE, ∴∠OBH+∠BOH=90°. 易证△BCD≌△BAE(SAS), ∴BD=BE. ∵N是DE的中点,∴BN⊥DE, ∴∠EBN+∠BEN=90°, ∴∠BOH=∠BEN. ∵∠BAE=108°,AB=AE, ∴∠AEB=∠ABE=36°, ∴∠BEN=108°-36°=72°, ∴∠BOA=∠BEN=72°. 4.3　解析:如图,连接OB,OC,OD,OC与BD相交于点M, ∵八边形ABCDEFGH是正八边形, ∴∠BOC=∠COD==45°, ∴∠BOD=45°+45°=90°. ∵OB=OD,∠BOC=∠COD=45°, ∴OC⊥BD, ∴OM=BM=DM=BD=3, 即点O到BD的距离为3. 5.　解析:如图,连接OA,OB,OC,OE, ∵六边形ABCDEF是☉O的内接正六边形, ∴OA=OC=OE, ∠AOC=∠COE=∠AOE=2∠AOB=2∠BOC=2×=120°, ∴△AOC≌△COE≌△AOE(SAS), ∴S△AOC=S△COE=S△AOE. ∵OA=OB=OC,∠AOB=∠BOC=60°, ∴△AOB,△BOC都是等边三角形, ∴OA=OB=AB=OC=BC, 即OA=BA,OC=BC, 又∵AC=AC, ∴△ABC≌△AOC(SSS), ∴S△ABC=S△AOC, ∴S△ABC=S△AOC=S△COE=S△AOE, 即S1=4S△AOC,S2=3S△AOC, ∴. 6.解:(1)如图,连接AP,FO, ∵六边形ABCDEF是正六边形, ∴AF=AB,∠AOF==60°, ∴∠APF=∠AOF=30°. ∵AF=AB, ∴∠APB=∠APF=30°, ∴∠BPF=∠APB+∠APF=60°. (2)∵∠AOF=60°,AO=FO, ∴△AOF是等边三角形, ∴∠DAF=60°. ∵AD为☉O的直径, ∴∠AFD=90°, ∴DF=AF, ∴S△ADF=AF×DF=AF2=2, ∴AF=2,∴☉O的半径为2, ∴☉O的面积=π×22=4π. 7.解:(1)如图,过点O作OM⊥BC,垂足为M,则BM=CM=BC. ∵OB=OC,∠BOC=120°, ∴∠BOM=∠BOC=60°. 在Rt△BOM中,∠BOM=60°,OB=5, ∴BM=OB=, ∴BC=2BM=15. (2)①证明:∵AD平分∠BAC, ∠BAC=120°, ∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=60°, ∴∠DBC=∠CAD=60°,∠BCD=∠BAD=60°, ∴∠BCD=∠CDB=∠DBC=60°, ∴△BDC为等边三角形. ②如图,过点C作CN⊥AD,垂足为N, 在Rt△ANC中,∠CAN=60°,AC=6, ∴AN=AC=3,CN=AC=9. 在Rt△CDN中,CN=9,CD=BC=15,由勾股定理,得 DN==12, ∴AD=AN+DN=12+3. 学科网（北京）股份有限公司 $$