第二章　二次函数 专题训练课时作业 2024-2025学年 北师大版数学九年级下册

专题训练六　二次函数背景下的综合题 二次函数与几何图形周长的最值问题 1.如图,抛物线过点O(0,0),E(10,0),矩形ABCD的边AB在线段OE上(点B在点A的左侧),点C,D在抛物线上.设B(t,0),当t=2时,BC=4. (1)求抛物线的函数表达式; (2)当t为何值时,矩形ABCD的周长有最大值?最大值是多少? (3)保持t=2时的矩形ABCD不动,向右平移抛物线,当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G,H,且直线GH平分矩形ABCD的面积时,求抛物线平移的距离. 二次函数与几何图形面积的最值问题 2.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=-x2+bx-c的图象与x轴交于点A(-3,0)和点B(1,0),与y轴交于点C. (1)求这个二次函数的表达式; (2)如图1,二次函数图象的对称轴与直线AC:y=x+3交于点D,若点M是直线AC上方抛物线上的一个动点,求△MCD面积的最大值; (3)如图2,点P是直线AC上的一个动点,过点P的直线l与BC平行,则在直线l上是否存在点Q,使点B与点P关于直线CQ对称?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 图1　 图2 二次函数与三角形的存在性问题 3.如图,二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C(1,0),交y轴于点B(0,3). (1)求此二次函数的表达式; (2)设二次函数图象的顶点为P,对称轴与x轴交于点Q,求四边形AOBP的面积(请在图1中探索); (3)二次函数图象的对称轴上是否存在点M,使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形?若存在,请求出满足条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由(请在图2中探索). 图1 图2 二次函数与四边形的存在性问题 4.如图,二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A,B,交y轴于点C,点B的坐标为(1,0),对称轴是直线x=-1,点P是x轴上一动点,PM⊥x轴,交直线AC于点M,交抛物线于点N. (1)求这个二次函数的表达式; (2)若点P在线段AO上运动(点P与点A、点O不重合),求四边形ABCN面积的最大值,并求出此时点P的坐标; (3)若点P在x轴上运动,则在y轴上是否存在点Q,使以M,N,C,Q为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出所有满足条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 【详解答案】 1.解:(1)设抛物线的函数表达式为y=ax(x-10), ∵当t=2时,BC=4, ∴点C的坐标为(2,-4), ∴将点C坐标代入函数表达式,得2a(2-10)=-4, 解得a=, ∴抛物线的函数表达式为y=x2-x. (2)由抛物线的对称性,得AE=OB=t, ∴AB=10-2t. 当x=t时,点C的纵坐标为t2-t, ∴矩形ABCD的周长=2(AB+BC) =2 =-t2+t+20 =-(t-1)2+, ∵-<0, ∴当t=1时,矩形ABCD的周长有最大值,最大值为. (3)如图,连接AC,BD相交于点P,连接OC,取OC的中点Q,连接PQ, ∵直线GH平分矩形ABCD的面积, ∴直线GH过点P. 由平移的性质可知,四边形OCHG是平行四边形, ∴PQ=CH. ∵四边形ABCD是矩形, ∴点P是AC的中点, ∵Q是OC的中点, ∴PQ=OA. ∵t=2时,点A的坐标为(8,0), ∴OA=8,CH=PQ=OA=4, ∴抛物线向右平移的距离是4个单位长度. 2.解:(1)由题意,得 二次函数的表达式为y=-(x+3)(x-1)=-x2-2x+3. (2)如图1, 图1 连接MC,MD,作MQ⊥AC于点Q,作ME⊥AB于点F,交AC于点E. ∵OA=OC=3,∠AOC=90°, ∴∠CAO=∠ACO=45°, ∴∠MEQ=∠AEF=90°-∠CAO=45°. ∵抛物线的对称轴是直线x==-1, ∴当x=-1时,y=x+3=-1+3=2, ∴点D的坐标为(-1,2). ∵点C的坐标为(0,3),∴CD=. 故只需△MCD的边CD上的高最大时,△MCD的面积最大, 设过点M与AC平行的直线的表达式为y=x+m, 当直线y=x+m与抛物线相切时,△MCD的面积最大. 由x+m=-x2-2x+3,得 x2+3x+(m-3)=0, 由Δ=0,得 32-4(m-3)=0,得 m-3=, ∴x2+3x+=0, ∴x1=x2=-, ∴y=--2-2×-+3=, y=x+3=-+3=, ∴ME=-, ∴MQ=ME·sin ∠MEQ=ME·sin 45°=, ∴S△MCD最大=. (3)存在.点Q的坐标为(1-,-)或(1+,). 解析:如图2, 图2 当点P在线段AC上时,连接BP,交CQ于点R, ∵点B和点P关于CQ对称, ∴CP=CB. 设点P坐标为(t,t+3), 由CP2=CB2,得t2+(3-t-3)2=32+12, 即2t2=10, ∴t1=-,t2=(舍去), ∴点P的坐标为(-,3-). ∵PQ∥BC, ∴=1, ∴CR=QR, ∴四边形BCPQ是平行四边形. 设Q(p,q), ∴ 解得 ∴点Q的坐标为(1-,-); 如图3, 图3 当点P在AC的延长线上时,由上可知:P(,3+), 同理可得:点Q的坐标为(1+,), 综上所述,存在点Q,点Q的坐标为(1-,-)或(1+,). 3.解:(1)由题意,得 ∴ ∴二次函数的表达式为y=-x2-2x+3. (2)如图,连接OP, ∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4, ∴点P的坐标为(-1,4), ∴PQ=4,OQ=1. 由-x2-2x+3=0,得 x1=1,x2=-3,∴A(-3,0), ∴OA=3, ∴S四边形AOBP=S△AOP+S△BOP=OA·PQ+OB·OQ=×3×4+×3×1=. (3)存在.设点M的坐标为(-1,m), 由AM2=BM2得, [(-3)-(-1)]2+m2=(-1)2+(m-3)2, ∴m=1, ∴点M的坐标为(-1,1). 4.解:(1)∵抛物线对称轴是直线x=-1,点B的坐标为(1,0), ∴点A的坐标为(-3,0), ∴二次函数表达式为y=(x-1)(x+3)=x2+2x-3. (2)连接ON,如图. 设P(m,0),则 N(m,m2+2m-3), 在y=x2+2x-3中,令x=0,得y=-3, ∴点C的坐标为(0,-3), ∴OC=3, ∴S四边形ABCN=S△AON+S△BOC+S△CON =×3(-m2-2m+3)+×1×3+×3(-m) =-m2-m+6 =-, ∵-<0,-3<m<0. ∴当m=-时,S四边形ABCN取最大值, 此时点P的坐标为. ∴四边形ABCN面积的最大值是,此时点P的坐标为. (3)在y轴上存在点Q,使以M,N,C,Q为顶点的四边形是菱形,点Q的坐标为(0,-1)或(0,-1-3)或(0,-1+3). 解析:由A(-3,0),C(0,-3)得直线AC的表达式为y=-x-3. 设Q(0,t),P(n,0),则M(n,-n-3),N(n,n2+2n-3). ∵MN∥CQ, ∴当以M,N,C,Q为顶点的四边形是菱形时,MN,CQ是一组对边; ①当MC,NQ为对角线时,MC,NQ的中点重合,且CN=CQ, ∴, 解得(此时M,N与C重合,舍去)或 ∴点Q的坐标为(0,-1); ②当MQ,CN为对角线时,MQ,CN的中点重合,且CQ=CM, ∴ 解得(舍去) 或或 ∴点Q的坐标为(0,-1-3)或(0,-1+3); 综上所述,存在点Q,点Q的坐标为(0,-1)或(0,-1-3)或(0,-1+3). 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题训练四　二次函数在实际生活中的常见应用 抛物线问题 1.一名运动员在10 m高的跳台进行跳水,身体(看成一点)在空中的运动轨迹是一条抛物线,运动员离水面OB的高度y(m)与离起跳点A的水平距离x(m)之间的函数关系如图所示,运动员离起跳点A的水平距离为1 m时达到最高点,当运动员离起跳点A的水平距离为3 m时离水面的距离为 7 m. (1)求y关于x的函数表达式; (2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长. 2.城建部门计划修建一条喷泉步行通道.图1是项目俯视示意图.步行通道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置,另一侧是方形水池.图2是主视示意图.喷水装置OA的高度是2 m,水流从喷头A处喷出后呈抛物线路径落入水池内.当水流在与喷头水平距离为2 m时达到最高点B,此时距路面的最大高度为3.6 m.为避免溅起的水雾影响通道上的行人,计划安装一个透明的倾斜防水罩.防水罩的一端固定在喷水装置上的点M处,另一端与路面的垂直高度NC为1.8 m,且与喷泉水流的水平距离ND为0.3 m.点C到水池外壁的水平距离CE为0.6 m,求步行通道的宽OE.(结果精确到0.1 m,参考数据:≈1.41) 图1 图2 最大利润问题 3.某超市购进一款洗衣液,由于原材料价格上涨,今年每瓶洗衣液的进价比去年上涨4元,今年用 1 440元购进这款洗衣液的数量与去年用1 200元购进这款洗衣液的数量相同,当每瓶洗衣液的现售价为36元时,每周可卖出600瓶,为了薄利多销,该超市决定降价销售,经市场调查发现,每降价1元,每周销量可增加100瓶,规定每瓶的售价不低于进价. (1)求今年这款洗衣液每瓶进价是多少元? (2)当每瓶售价定为多少元时,每周的销售利润最大?最大利润是多少元? 面积最大(或最小)值问题 4.工匠师傅准备从六边形的铁皮ABCDEF中,裁出一块矩形铁皮制作工件,如图所示.经测量,AB∥DE,AB与DE之间的距离为2 m,AB=3 m,AF=BC=1 m,∠A=∠B=90°,∠C=∠F=135°.MH,HG,GN是工匠师傅画出的裁剪虚线.当MH的长度为多少时,矩形铁皮MNGH的面积最大,最大面积是多少? 5.【发现问题】由(a-b)2≥0,得a2+b2≥2ab;如果两个正数a,b,即a>0,b>0,则有下面的不等式:a+b≥2,当且仅当a=b时取到等号. 【提出问题】若a>0,b>0,利用配方能否求出a+b的最小值呢? 【分析问题】例如:已知x>0,求式子x+的最小值. 解:令a=x,b=,则由a+b≥2,得x+≥2=4,当且仅当x=时,即x=2时,式子有最小值,最小值为4. 【解决问题】请根据上面材料回答下列问题: (1)2+3　　　　2;6+6　　　　2;(用“=”“>”或“<”填空)  (2)当x>0时,式子x+的最小值为　　　　;  【能力提升】 (3)当x<0,则当x=　　　　　时,式子4x+取到最大值;  (4)用篱笆围一个面积为32 m2的矩形花园,使这个矩形花园的一边靠墙(墙长20 m),问这个矩形的长、宽各为多少时,所用的篱笆最短,最短的篱笆是多少? (5)如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,△AOB、△COD的面积分别是8和14,求四边形ABCD面积的最小值. 【详解答案】 1.解:(1)根据题意可得,抛物线过点(0,10)和(3,7),对称轴为直线x=1, 设y关于x的函数表达式为y=ax2+bx+c, ∴解得 ∴y关于x的函数表达式为y=-x2+2x+10. (2)在y=-x2+2x+10中,令y=0,得0=-x2+2x+10, 解得x=+1或x=-+1(舍去), ∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为(+1)m. 2.解:如图,以点O为坐标原点,OC所在直线为x轴,OA所在直线为y轴,建立平面直角坐标系. 由题意知:A(0,2),B(2,3.6), ∵抛物线的最高点为B, ∴设抛物线的表达式为y=a(x-2)2+3.6, 把A(0,2)代入得4a+3.6=2, 解得a=-0.4, ∴抛物线的表达式为y=-0.4(x-2)2+3.6. 当y=1.8时,-0.4(x-2)2+3.6=1.8, 解得x=2+(负值舍去), ∴D, ∴OE=xD-DN-CE≈2+-0.3-0.6≈3.2(m). 答:步行通道的宽OE的长约为3.2 m. 3.解:(1)设今年这款洗衣液每瓶进价是m元, 根据题意,得, 解得m=24, 经检验,m=24是原方程的解,也符合题意, ∴今年这款洗衣液每瓶进价是24元. (2)设洗衣液每瓶的售价为x元,每周的销售利润为w元, 根据题意,得w=(x-24)[600+100(36-x)]=-100x2+6 600x-100 800=-100(x-33)2+8 100, ∵-100<0, ∴当x=33时,w取最大值8 100, ∴当这款洗衣液每瓶的售价定为33元时,这款洗衣液每周的销售利润最大,最大利润是8 100元. 4.解:连接CF,分别交HM,GN于点Q,P,如图, ∵AF=BC=1 m,∠A=∠B=90°, ∴AF∥BC, ∴四边形ABCF是矩形, ∴∠AFC=∠BCF=90°,AB∥CF. ∵四边形MNGH是矩形, ∴∠HMN=∠MNG=90°,MH=NG, ∴∠HQF=∠GPC=90°,MQ=AF=NP=BC=1 m, ∵∠BCG=∠AFH=135°, ∴∠HFQ=∠GCP=45°, ∴FQ=HQ,CP=GP, ∴FQ=HQ=MH-MQ=MH-1, 同理得:CP=MH-1, ∴AM=NB=MH-1, ∴MN=AB-AM-NB=3-(MH-1)-(MH-1)=5-2MH, ∴S矩形MNGH=MN·MH =(5-2MH)·MH =5MH-2MH2 =-2 =-2, ∴当MH= m时,铁皮的面积最大,最大值为 m2. 5.解:(1)>　=　(2)2　(3)-3 (4)设这个矩形垂直于墙的一边的长为x m,平行于墙的一边长为y(0<y≤20)m, 则xy=32, ∴y=,∴所用篱笆的长为m. ∵+2x≥2=16, ∴当且仅当=2x时,+2x的值最小, ∴x=4或x=-4(舍去). ∴这个矩形的长、宽分别为8 m,4 m时,所用的篱笆最短,最短的篱笆是16 m. (5)设点B到AC的距离为h1(h1>0),点D到OC的距离为h2(h2>0). ∵△AOB、△COD的面积分别是8和14, ∴OA=,OC=, ∴AC=OA+OC=, ∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC =AC·h1+AC·h2 =AC·(h1+h2) =(h1+h2) =22+ ≥22+2 =22+8. 当且仅当时,取等号, ∴四边形ABCD面积的最小值为22+8. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题训练三　二次函数的最值及自变量的取值范围 由自变量的取值范围求函数值的取值范围 1.二次函数y=-x2+bx+c的部分图象如图所示,若y>3,则x的取值范围是 (　　) A.-4<x<1 B.-2<x<0 C.x<-4或x>1 D.x<-2或x>0 2.二次函数y=-x2+bx+c,若y≥2时,x的取值范围为n-3≤x≤n+1(n为常数),则当n-4≤x≤n时,y的取值范围为(　　) A.-3≤y≤5 B.-3≤y≤6 C.0≤y≤5 D.0≤y<6 3.已知二次函数y=-x2+2x+3,当-1≤x≤2时,y的取值范围为　　　　　　.  4.已知二次函数y=-x2+bx+c,函数值y与自变量x之间的部分对应值如表: x … -4 -1 0 1 … y … -2 1 -2 -7 … (1)写出二次函数图象的对称轴; (2)求二次函数的表达式; (3)当-4<x<-1时,写出函数值y的取值范围. 由自变量取值范围下的函数最值求字母系数 5.(2024西安临潼区二模)已知抛物线y=-(x-n)2-1(n为常数),当1≤x≤4时,其对应的函数值最大为 -10,则n的值为 (　　) A.4 B.-2或7 C.1或7 D.-2或4 6.如图,抛物线y=x2-x-的顶点为D点,与y轴交于C点,点M(m,0)是x轴上的一个动点,当MC+MD的值最小时,m的值是 (　　) A. B. C. D. 7.(2024苏州期末)如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=6 cm,BC=8 cm,点P从点A出发沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动,点Q从B出发沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动,P,Q两点同时出发,当一点到达终点时另一点也停止运动,设运动时间为t(s). (1)若P,Q两点的距离为4 cm时,求t的值; (2)当t为何值时,△BPQ的面积最大?并求出最大面积. 8.(2024廊坊大城县期中)已知抛物线y=x2+ax+a+1经过点A(-2,3). (1)求a的值; (2)已知点P(m,yP),Q(m-4,yQ)均在该抛物线上. ①若m=0,请比较yP与yQ的大小关系; ②当-3≤x≤m时,函数y的最大值是6,最小值是2,求m的取值范围. 9.(2024葫芦岛绥中县月考)如图,已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过点A(1,0)和点B(3,0),与y轴相交于点C. (1)求此抛物线的表达式; (2)若点P是直线BC下方的抛物线上一动点(不与点B、C重合),过点P作y轴的平行线交直线BC于点D,设点P的横坐标为m. ①用含有m的代数式表示线段PD的长; ②连接PB,PC,求△PBC的面积最大时点P的坐标. 【详解答案】 1.B　解析:由题图可得:抛物线对称轴为直线x=-1,当x=0时,y=3, 根据抛物线的对称性可得:当x=-2时,y=3, ∴若y>3,则x的取值范围是-2<x<0, 故选B. 2.B　解析:由题意知,当y≥2时,x的取值范围为n-3≤x≤n+1,且抛物线开口向下, ∴对称轴是直线x==n-1=-. ∴b=2(n-1). ∴抛物线为y=-x2+2(n-1)x+c. 又当x=n+1时,y=-(n+1)2+2(n-1)·(n+1)+c=2, ∴c=-n2+2n+5. ∴二次函数为y=-x2+2(n-1)x-n2+2n+5. ∵抛物线开口向下, ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大. ∵n-1-(n-4)=3>n-(n-1)=1,n-4<n-1<n, 又n-4≤x≤n, ∴当x=n-1时,y取最大值为y=-(n-1)2+2(n-1)2-n2+2n+5=6; 当x=n-4时,y取最小值为y=-(n-4)2+2(n-4)(n-1)-n2+2n+5=-3. ∴当n-4≤x≤n时,-3≤y≤6. 故选B. 3.0≤y≤4　解析:∵二次函数y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, ∴该函数图象开口向下,对称轴为直线x=1. ∵-1≤x≤2, ∴当x=-1时,y取得最小值0;当x=1时,y取得最大值4; ∴当-1≤x≤2时,y的取值范围为0≤y≤4. 4.解:(1)∵x=-4和x=0时的函数值相等,都是-2, ∴此函数图象的对称轴为直线x==-2. (2)将(-1,1),(0,-2)代入y=-x2+bx+c, 得 解得 ∴二次函数的表达式为y=-x2-4x-2. (3)∵y=-x2-4x-2=-(x+2)2+2, ∴当x=-2时,y取得最大值2. 由表可知当x=-4时y=-2,当x=-1时y=1, ∴当-4<x<-1时,-2<y≤2. 5.B　解析:①当n≥4时,当x=4,y=-10时,代入抛物线y=-(x-n)2-1(n为常数),得-10=-(4-n)2-1, 整理,得n2-8n+7=0, 解得n=7或1(舍去), ②当n≤1时,当x=1,y=-10时,代入抛物线y=-(x-n)2-1(n为常数),得 -10=-(1-n)2-1, 整理,得n2-2n-8=0, 解得n=-2或4(舍去). 故n的值为7或-2. 故选B. 6.D　解析:当x=0时,y=x2-x-=-,则点C的坐标为, ∴C点关于x轴的对称点C'的坐标为. ∵y=x2-x-(x-1)2-2, ∴点D的坐标为(1,-2). 连接C'D交x轴于M,如图, ∵MC+MD=MC'+MD=C'D, ∴此时MC+MD的值最小. 设直线C'D的表达式为y=kx+, 把D(1,-2)代入,得-2=k+,解得k=-, ∴直线C'D的表达式为y=-x+, 当y=0时,-x+=0,解得x=, ∴此时M点的坐标为,即m=. 故选D. 7.解:(1)由题意知,BP=(6-t)cm,BQ=2t cm. 在Rt△BPQ中, PQ2=PB2+BQ2=(6-t)2+(2t)2. 又∵P,Q两点的距离为4 cm, ∴(6-t)2+(2t)2=(4)2, 解得t1=2,t2=. 又∵0≤t≤4, ∴上述两解都符合题意, 故t的值为2或. (2)由(1)知,BP=(6-t)cm,BQ=2t cm, ∴S△BPQ=BP·BQ=·2t(6-t)=t(6-t)=-t2+6t=-(t2-6t+9)+9=-(t-3)2+9. 又∵0≤t≤4,且-1<0, ∴当t=3时,S△BPQ有最大值为9 cm2. 8.解:(1)将点A(-2,3)代入y=x2+ax+a+1中, 得3=4-2a+a+1, 解得a=2. (2)①∵a=2, ∴抛物线为y=x2+2x+3, 当m=0时,点P(m,yP),Q(m-4,yQ)为P(0,yP),Q(-4,yQ), ∴yP=0+0+3=3,yQ=16-8+3=11, ∴yP与yQ的大小关系为yP<yQ; ②y=x2+2x+3=(x+1)2+2. 当x2+2x+3=6时,x1=-3,x2=1. 如图,根据图象和题意可得m的取值范围是-1≤m≤1. 9.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过点A(1,0)和点B(3,0),∴将A,B点坐标代入,得 解得 ∴抛物线表达式为y=x2-4x+3. (2)①由y=x2-4x+3可知,抛物线对称轴为直线x=2,点C(0,3),设直线BC的表达式为y=kx+c. 将点B(3,0),C(0,3)代入直线BC表达式y=kx+c, 则解得 ∴直线BC的表达式为yBC=-x+3. 设P(m,m2-4m+3),如图, 过点P作y轴的平行线交直线BC于点D, ∴点D的坐标为(m,-m+3), ∴PD=(-m+3)-(m2-4m+3)=-m2+3m; ②S△PBC=S△CPD+S△BPD =OB·PD =-m2+m =-, ∴当m=时,S有最大值. 当m=时,m2-4m+3=-. ∴点P的坐标为. ∴△PBC的面积最大时点P的坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题训练五　二次函数的图象与字母系数的关系 二次函数的图象与字母系数a的关系 1.(2024重庆武隆区期末)如图是抛物线y=ax2+bx+c的示意图,则a的值可以是 (　　) A.1 B.0 C.-1 D.-2 2.已知抛物线y=(3m-1)x2的开口向下,则m的取值范围是 (　　) A.m< B.m≤ C.m> D.m≥ 3.若关于x的函数y=(m+2)是二次函数,其图象开口向下,求m的值. 二次函数的图象与字母系数a,b的关系 4.抛物线y=-x2+2x-3的对称轴是直线 (　　) A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2 5.抛物线y=2x2+bx+3的对称轴是直线x=1,则b的值为 (　　) A.-4 B.4 C.1 D.-1 6.写出一个对称轴是y轴的二次函数的表达式　　　　　　　　　　.  7.二次函数y=ax2-6ax+3(a是常数),该函数图象的对称轴是直线　　　　.  二次函数的图象与字母系数c的关系 8.关于抛物线y=-(x+2)2+3,下列说法中错误的是 (　　) A.开口向下 B.对称轴是直线x=-2 C.顶点坐标(-2,3) D.与y轴交点坐标(0,3) 9.如果将抛物线y=(x-1)2向下平移2个单位长度,那么平移后抛物线与y轴的交点坐标是 (　　) A.(-1,0) B.(0,-1) C.(-2,0) D.(3,0) 10.(2024合肥期末)在平面直角坐标系中,已知抛物线y=-2x2+8x+5. (1)它的顶点坐标是　　　　　　　,当x　　　　　时,y随x的增大而减小;  (2)将抛物线y=-2x2+8x+5向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,求所得新抛物线与y轴的交点坐标. 二次函数的图象与字母系数a,b,c的关系 11.一次函数y=bx+a与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是 (　　) A B C D 12.二次函数y=ax2+bx-c的图象如图所示,则下列说法正确的是 (　　) A.a>0,b>0,c>0 B.a>0,b<0,c>0 C.a>0,b>0,c<0 D.a>0,b<0,c<0 13.对称轴为直线x=1的抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)如图所示,以下结论:①ab<0, ②b2>4ac,③4a+2b+c>0,④3a+c>0,⑤a+b<m(am+b)(m为任意实数),⑥当x<-1时,y随x的增大而减小.其中结论正确的是　　　　　　.(填写正确的结论的序号)  14.(2024南京玄武区一模)已知二次函数y=-x2+2(m-4)x+m2-1(m是常数). (1)求证:不论m为何值,该函数图象与x轴总有两个公共点; (2)求证:当-1<m<1时,该函数图象与y轴的交点总在x轴的下方. 15.已知抛物线y=ax2+bx+c,如图所示,直线x=-1是其对称轴, (1)确定a,b,c,Δ=b2-4ac的符号; (2)求证:a-b+c>0; (3)当x取何值时,y>0,当x取何值时,y<0. 16.如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(4,0),与y轴交于点C. (1)求抛物线对应的函数表达式,并直接写出顶点P的坐标; (2)求△BCP的面积. 【详解答案】 1.A　解析:∵抛物线的开口向上, ∴二次项系数a大于0, ∴只有A选项符合题意, 故选A. 2.A　解析:∵抛物线y=(3m-1)x2的开口向下,∴3m-1<0,解得m<, 故选A. 3.解:∵函数y=(m+2)是二次函数,其图象开口向下, ∴m+2<0,m2+m-4=2, ∴m2+m-6=0,m<-2, 解得m=-3, ∴m=-3. 4.A　解析:对称轴为直线x=-=-=1, 即对称轴是直线x=1. 故选A. 5.A　解析:∵抛物线的对称轴是直线x=1,∴-=1, ∴b=-4, 故选A. 6.y=x2+2(答案不唯一) 解析:∵抛物线对称轴为y轴,即直线x=0,只要函数表达式的一般式缺少一次项即可,如y=x2+2,答案不唯一. 7.x=3　解析:∵二次函数y=ax2-6ax+3(a是常数), ∴该函数图象的对称轴是直线x=-=3. 8.D　解析:y=-(x+2)2+3中, ∵a=-1,h=-2,k=3, ∴抛物线的开口向下,对称轴是直线x=-2,顶点坐标为(-2,3), ∴选项A,B,C均不符合题意. 令x=0,得y=-1, ∴抛物线与y轴的交点坐标为(0,-1), ∴选项D符合题意. 故选D. 9.B　解析:抛物线y=(x-1)2向下平移2个单位长度后的表达式为y=(x-1)2-2, ∵当x=0时,y=(0-1)2-2=-1, ∴平移后抛物线与y轴的交点坐标是(0,-1). 故选B. 10.解:(1)(2,13)　>2 (2)由(1)知,y=-2x2+8x+5=-2(x-2)2+13, ∴抛物线y=-2x2+8x+5向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,所得新抛物线的表达式为y=-2(x-2+2)2+13-3=-2x2+10, ∴当x=0时,y=10, ∴所得新抛物线与y轴的交点坐标为(0,10). 11.C　解析:观察A,C,D中二次函数图象,可知a<0,b<0, ∴一次函数y=bx+a的图象经过第二、三、四象限,A,D不符合题意,C符合题意; 观察B中二次函数图象,可知a>0,b<0, ∴一次函数y=bx+a的图象经过第一、二、四象限,B不符合题意. 故选C. 12.B　解析:∵抛物线开口向上, ∴a>0. ∵抛物线的对称轴在y轴右侧, ∴->0,∴b<0. ∵抛物线交y轴于负半轴, ∴-c<0,∴c>0. 故选B. 13.①②④⑥　解析:①∵图象开口向上,与y轴交于负半轴,对称轴在y轴右侧,∴a>0,c<0,-=1>0,b<0, ∴ab<0,故①正确; ②图象与x轴有两个交点,依据根的判别式可知b2-4ac>0,即b2>4ac,故②正确; ③∵抛物线的对称轴为直线x=1,由图象对称性可知x=2时与x=0时函数值相等,当x=0时,y<0, ∴x=2时,y<0, ∴4a+2b+c<0,故③错误; ④∵抛物线的对称轴为直线x=-=1, ∴b=-2a. ∵当x=-1时,y>0,即a-b+c>0, ∴a+2a+c>0,即3a+c>0,故④正确; ⑤∵图象开口向上,对称轴为直线x=1, ∴当x=1时,y=a+b+c为最小值,对于任意实数m均有a+b+c≤am2+bm+c,即a+b≤m(am+b),故⑤错误; ⑥∵a>0,对称轴为直线x=1, ∴当x<1时,y随着x的增大而减小, ∴当x<-1时,y随x的增大而减小,故⑥正确. 故结论正确的是①②④⑥. 14.证明:(1)∵Δ=4(m-4)2-4×(-1)×(m2-1)=8(m-2)2+28, 而8(m-2)2≥0, ∴Δ>0, ∴不论m为何值,该函数图象与x轴总有两个公共点. (2)当x=0时,y=-x2+2(m-4)x+m2-1=m2-1, ∴二次函数图象与y轴的交点坐标为(0,m2-1). ∵-1<m<1, ∴m2-1<0, ∴二次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴上, 即当-1<m<1时,该函数图象与y轴的交点总在x轴的下方. 15.解:(1)∵抛物线开口向下, ∴a<0. ∵对称轴为x=-=-1<0, ∴b<0. ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方, ∴c>0. ∵抛物线与x轴有两个交点, ∴Δ=b2-4ac>0. (2)证明:∵抛物线的顶点在x轴上方,对称轴为x=-1, ∴当x=-1时,y=a-b+c>0. (3)根据题图可知, 当-3<x<1时,y>0;当x<-3或x>1时,y<0. 16.解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(4,0), ∴ 解得 ∴抛物线的表达式为y=x2-3x-4. P. (2)如图,连接OP, ∵A(-1,0),B(4,0), C(0,-4),P, ∴S△OPC=×4×=3, S△BOP=×4×, S△BOC=×4×4=8, ∴S△BPC=S△OPC+S△BOP-S△BOC=3+-8=. 学科网（北京）股份有限公司 $$