2.3　确定二次函数的表达式 课时作业 2024-2025学年 北师大版数学九年级下册

第2课时　由三点确定二次函数的表达式 设交点式求二次函数表达式 1.如图,该二次函数的表达式为 (　　) A.y=x2- B.y=4-x2 C.y=-x2+3 D.y=(3-x2) 2.已知抛物线过A(-2,0),B(1,0),C(0,2)三点,则其表达式为　　　　　　.  3.若抛物线y=ax2+c与抛物线y=-x2的形状相同,且经过点A(1,0),则它的表达式为　　　　　　　　　.  4.已知关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象过点(-1,0),(3,0). (1)求这个二次函数的表达式; (2)求当-2≤x≤2时,y的最大值与最小值的差. 设一般式求二次函数表达式 5.如果二次函数y=ax2+bx,当x=1时,y=2;当x=-1时,y=4,则 (　　) A.a=3,b=-1 B.a=3,b=1 C.a=-3,b=1 D.a=-3,b=-1 6.已知二次函数的图象经过点(-1,-5),(0,-4)和(1,1),则其表达式为 (　　) A.y=-6x2+3x+4 B.y=-2x2+3x-4 C.y=x2+2x-4 D.y=2x2+3x-4 7.经过(1,2.6),(4,5),(2,3)三点的二次函数的表达式是　　　　　　　　.  8.二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(2,11)和点(-1,-7),则它的表达式为　　　　　　.  9.(2024绵阳涪城区期中)若二次函数y=ax2+bx-(a+b)的图象经过A(-1,4),B(0,-1),C(1,1)三个点中的两个点,则该二次函数的表达式为　　　　　　　.  10.已知二次函数y=ax2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如表: x … 0 1 2 3 … y … 5 2 1 2 … (1)求该二次函数的表达式; (2)若点A(-1,y1),B(4,y2)在这个函数的图象上,则y1　　　　y2.(填“>”“<”或“=”)  1.如图,二次函数y=x2+bx+c的图象过点B(0,-2).它与反比例函数y=-(x<0)的图象交于点A(m,4),则这个二次函数的表达式为 (　　) A.y=x2-x-2 B.y=x2-x+2 C.y=x2+x-2 D.y=x2+x+2 2.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的表达式为 (　　) A.y=x2-x-2 B.y=-x2+x+2 C.y=x2-x-2或y=-x2+x+2 D.y=-x2-x-2或y=x2+x+2 3.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),点P是直线AC下方抛物线上的点(不与A,C重合),连接PA,PC,设点P的横坐标为m,△PAC的面积为S,则S与m之间的函数关系式为　　　　;当m=　　　　时,S有最大值 (　　)  A.S=-2m2+10m,5 B.S=-4m2+20m, C.S=2m2-10m,5 D.S=-2m2+10m, 4.已知二次函数y=ax2+bx+c,当x=2时,y有最小值-1,且抛物线与x轴两交点间的距离为2,则此二次函数的表达式为　　　　　　　　.  5.如图,抛物线y=ax2+bx+4经过点A(-3,0),与y轴交于点C,点B在抛物线上,CB∥x轴,且AB平分∠CAO,则此抛物线的表达式是　　　　　　　　.  6.如图,二次函数的图象过A,B,C三点,点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(4,0),点C在y轴正半轴上,且AB=OC. (1)求点C的坐标; (2)求该二次函数的表达式. 7.(几何直观)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+c经过A(-2,0),C(4,0)两点,和y轴相交于点B,连接AB,BC. (1)求抛物线的表达式; (2)在直线BC上方的抛物线上,找一点D,使S△BCD∶S△ABC=1∶4,并求出此时点D的坐标. 【详解答案】 课堂达标 1.C　解析:∵图象过点(-2,0),(2,0)和(0,3), ∴设该二次函数的表达式为y=a(x-2)(x+2).将(0,3)代入,得-4a=3,解得a=-, ∴抛物线表达式为y=-(x-2)(x+2)=-x2+3. 故选C. 2.y=-x2-x+2　解析:设抛物线表达式为y=a(x+2)(x-1), 把C(0,2)代入,得a×2×(-1)=2,解得a=-1, ∴抛物线表达式为y=-(x+2)(x-1),即y=-x2-x+2. 3.y=-x2+或y=x2- 解析:∵抛物线y=ax2+c与抛物线y=-x2的形状相同,对称轴为y轴,且过点(1,0), ∴a=±,与x轴的另一交点为(-1,0). ∴抛物线表达式为y=±(x+1)(x-1), ∴这个二次函数的表达式为y=-x2+或y=x2-. 4.解:(1)由已知可得二次项系数为1,且过点(-1,0),(3,0),则二次函数的表达式为y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3. (2)∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4, ∴抛物线开口向上,顶点坐标为(1,-4), ∴x=1时,y的最小值为-4, ∵1-(-2)>2-1, ∴x=-2时,y=4+4-3=5为最大值, ∴当-2≤x≤2时,y的最大值与最小值的差为5-(-4)=9. 5.A　解析:根据题意,得二次函数y=ax2+bx的图象过点(1,2),(-1,4),∴将其代入二次函数表达式, 得解得 故选A. 6.D　解析:设所求函数的表达式为y=ax2+bx+c, 把(-1,-5),(0,-4),(1,1)分别代入, 得解得 故所求的函数的表达式为y=2x2+3x-4. 故选D. 7.y=0.2x2-0.2x+2.6　解析:设抛物线表达式为y=ax2+bx+c, 把(1,2.6),(4,5),(2,3)代入,得解得 ∴抛物线表达式为y=0.2x2-0.2x+2.6. 8.y=x2+5x-3　解析:∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(2,11)和点(-1,-7), ∴解得 ∴二次函数的表达式为y=x2+5x-3. 9.y=3x2-2x-1　解析:当x=1时,y=a+b-a-b=0, ∴C(1,1)不在二次函数图象上. 把A(-1,4),B(0,-1)分别代入y=ax2+bx-(a+b),得解得 ∴二次函数的表达式为y=3x2-2x-1. 10.解:(1)将点(0,5),(1,2),(2,1)分别代入函数表达式,得 解得 ∴该二次函数表达式为y=x2-4x+5. (2)> 课后提升 1.A　解析:将A(m,4)代入反比例函数表达式,得4=-,即m=-2, ∴点A的坐标为(-2,4). 将A(-2,4),B(0,-2)代入二次函数表达式, 得 解得 则二次函数表达式为y=x2-x-2. 故选A. 2.C　解析:抛物线与y轴交于点C,且OC=2,则C点的坐标是(0,2)或(0,-2). 当C点坐标是(0,2)时,图象经过三点,可以设抛物线表达式是y=ax2+bx+c, 把(2,0),(-1,0),(0,2)分别代入表达式, 得解得 则函数表达式是y=-x2+x+2; 同理可以求得当C点坐标是(0,-2)时,抛物线表达式是y=x2-x-2. 故这条抛物线的表达式为y=-x2+x+2或y=x2-x-2. 故选C. 3.D　解析:设抛物线的表达式为y=a(x-1)·(x-5), 过点P作PQ⊥x轴于点H,交AC于点Q,如图所示. 把(0,4)代入y=a(x-1)(x-5), ∴a=, ∴抛物线的表达式为y=x2-x+4. 设直线AC的表达式为y=kx+b, 把(0,4)和(5,0)代入y=kx+b, 得解得 ∴直线AC的表达式为y=-x+4. 把x=m分别代入y=x2-x+4和y=-x+4, ∴Pm,m2-m+4,Qm,-m+4, ∴PQ=-m+4-m2-m+4=-m2+4m, ∴S=S△APQ+S△CPQ =PQ·OH+PQ·CH =PQ(OH+CH) =PQ·OC =×5 =-2m2+10m =-2(0<m<5), 又∵a=-2<0, 当m=时, S的最大值为. 故选D. 4.y=x2-4x+3　解析:根据题意,知抛物线y=ax2+bx+c过点(1,0),(2,-1),(3,0), ∴ 解得 故这个二次函数的表达式为y=x2-4x+3. 5.y=-x2+x+4　解析:∵抛物线y=ax2+bx+4与y轴交于点C, ∴点C的坐标为(0,4), ∴OC=4. ∵A(-3,0), ∴OA=3, ∴AC=5. ∵AB平分∠CAO, ∴∠BAC=∠BAO. ∵BC∥x轴, ∴∠CBA=∠BAO, ∴∠BAC=∠CBA, ∴CB=CA=5, ∴点B的坐标为(5,4). 把A(-3,0),B(5,4)代入y=ax2+bx+4, 得解得 ∴抛物线表达式为y=-x2+x+4. 6.解:(1)∵点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(4,0), ∴AB=1+4=5. ∵AB=OC, ∴OC=5. ∵点C在y轴正半轴上, ∴C点的坐标为(0,5). (2)设过A,B,C三点的二次函数的表达式为y=ax2+bx+c, 把A,B,C的坐标代入,得 解得 ∴二次函数的表达式为y=-x2+x+5. 7.解:(1)∵抛物线y=-x2+bx+c经过A(-2,0),C(4,0)两点, ∴解得 ∴抛物线的表达式为y=-x2+x+4. (2)由y=-x2+x+4可知B(0,4), ∵点A的坐标为(-2,0),点C的坐标为(4,0), ∴AC=6,OB=4, ∴S△ABC=×6×4=12. ∵S△BCD∶S△ABC=1∶4, ∴S△BCD=S△ABC=3. 如图所示,设在直线BC上方的抛物线上一点D的坐标为,作DE⊥x轴于点E,则 S△BCD=S梯形BOED+S△DCE-S△BOC= ·x+(4-x)·-×4×4=3, 即x2-4x+3=0, 解得x1=1,x2=3. ∴点D的坐标为或. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3 确定二次函数的表达式 第1课时　由两点确定二次函数的表达式 已知任意一点或两点坐标求二次函数的表达式 1.抛物线y=x2+x+c与y轴的交点坐标为(0,-3),则抛物线的表达式为 (　　) A.y=x2+x+3 B.y=x2+x-3 C.y=x2+3x+c D.y=x2-3x+c 2.设二次函数y=ax2+bx+2(a≠0,b是实数),已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示,则该二次函数的表达式为 (　　) x … -1 0 1 2 3 … y … 5 m n 2 p … A.y=2x2-x+2 B.y=x2-2x+2 C.y=-2x2-5x+2 D.y=-x2+2x+2 3.(2024绵阳游仙区期中)已知二次函数y=x2+kx-k的图象经过点(2,3),则该二次函数的表达式为　　　　　　　　.  4.已知二次函数y=ax2+2x+c(a≠0)的图象如图所示. (1)写出c的值; (2)求出二次函数的表达式. 已知顶点和另一点坐标求二次函数的表达式 5.一个二次函数图象的顶点坐标是(2,4),且过另一点(0,-4),则这个二次函数的表达式为 (　　) A.y=-2(x+2)2+4 B.y=2(x+2)2-4 C.y=-2(x-2)2+4 D.y=2(x-2)2-4 6.如图,抛物线的表达式为 (　　) A.y=x2-1 B.y=x2+1 C.y=(x-1)2 D.y=(x+1)2 7.如图是函数y=-(x-h)2+k的图象,则其表达式为　　　　　　　　.  8.(2024淮北期末)某二次函数的图象的顶点坐标是(-2,1),且经过点(1,-8),求这个二次函数的表达式. 1.(2024六安霍邱县期中)已知某抛物线与二次函数y=-5x2的图象的开口大小相同,开口方向相反,且顶点坐标为(1,2 025),则该抛物线对应的函数表达式为 (　　) A.y=5(x-1)2+2 025 B.y=-5(x-1)2+2 025 C.y=5(x+1)2+2 025 D.y=-5(x+1)2+2 025 2.形状与抛物线y=-x2-2相同,对称轴是直线x=-2,且过点(0,3)的抛物线是 (　　) A.y=x2+4x+3 B.y=-x2-4x+3 C.y=-x2+4x+3 D.y=x2+4x+3或y=-x2-4x+3 3.已知抛物线的顶点坐标为(2,1),且经过点(1,4),则抛物线的表达式为　 .  4.如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(1,-2)和B(0,-5). (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标; (2)当y≤-2时,请根据图象直接写出x的取值范围. 5.如图,已知抛物线y=x2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C. (1)求抛物线表达式和顶点坐标; (2)观察图象: ①当0<x<3时,直接写出y的取值范围; ②点P为抛物线上一点,若S△ABP=24,求出此时P点的坐标. 6.(抽象能力)如图,抛物线y=-x2+bx+c经过点,与y轴交于点B(0,5),点E为第一象限内抛物线上一动点. (1)求抛物线的表达式; (2)直线y=kx-4与x轴交于点A(6,0),与y轴交于点D,过点E作直线EF⊥x轴,交AD于点F,连接BE.当BE=DF时,求点E的横坐标. 【详解答案】 课堂达标 1.B　解析:∵抛物线y=x2+x+c与y轴的交点坐标为(0,-3), ∴c=-3, ∴抛物线的表达式为y=x2+x-3. 故选B. 2.B　解析:由表格可得,二次函数y=ax2+bx+2的图象过(-1,5)和(2,2), ∴解得 ∴该二次函数的表达式为y=x2-2x+2. 故选B. 3.y=x2-x+1　解析:把点(2,3)代入y=x2+kx-k,得4+2k-k=3, 解得k=-1, ∴该二次函数的表达式为y=x2-x+1. 4.解:(1)∵二次函数y=ax2+2x+c(a≠0)的图象经过点(0,3), ∴将点(0,3)代入y=ax2+2x+c(a≠0),得 c=3. (2)二次函数的表达式为y=ax2+2x+3(a≠0). ∵函数图象经过点A(3,0), ∴把点A(3,0)代入y=ax2+2x+3(a≠0),得9a+6+3=0, 解得a=-1, ∴二次函数的表达式为y=-x2+2x+3. 5.C　解析:设抛物线的表达式为y=a(x-h)2+k,∵抛物线顶点坐标为(2,4), ∴抛物线表达式为y=a(x-2)2+4. 将(0,-4)代入上式,得-4=a(0-2)2+4,解得a=-2, 故抛物线的表达式为y=-2(x-2)2+4. 故选C. 6.C　解析:由图知抛物线顶点坐标为(1,0), 故设抛物线表达式为y=a(x-1)2. 又∵抛物线交y轴于点(0,1), ∴1=a(0-1)2, 解得a=1, ∴抛物线的表达式为y=(x-1)2, 故选C. 7.y=-(x+1)2+5　解析:由题图可知抛物线的顶点坐标为(-1,5), ∴函数的表达式为y=-(x+1)2+5. 8.解:根据题意,设二次函数的表达式为y=a(x+2)2+1, 把(1,-8)代入,得a(1+2)2+1=-8, 解得a=-1, ∴二次函数的表达式为y=-(x+2)2+1. 课后提升 1.A　解析:∵抛物线的顶点坐标为(1,2 025), ∴抛物线的表达式为y=a(x-1)2+2 025. ∵抛物线y=a(x-1)2+2 025与二次函数y=-5x2的图象的开口大小相同,开口方向相反, ∴a=5, ∴抛物线的表达式为y=5(x-1)2+2 025. 故选A. 2.D　解析:设所求抛物线的函数表达式为y=ax2+bx+c,由抛物线过点(0,3),可得c=3, 由抛物线形状与y=-x2-2相同, 分为两种情况:①开口向下,则a=-1, 又∵对称轴为直线x=-2, ∴x=-=-2,∴b=-4, 由此可得出y=-x2-4x+3. ②开口向上,则a=1, 又∵对称轴是直线x=-2, ∴x=-=-2,∴b=4, 由此可得出y=x2+4x+3, 综合上述,符合条件的是选项D, 故选D. 3.y=3(x-2)2+1　解析:∵抛物线的顶点坐标为(2,1), ∴设抛物线的表达式为y=a(x-2)2+1. 把点(1,4)代入得4=a(1-2)2+1, ∴a=3, ∴抛物线的表达式为y=3(x-2)2+1. 4.解:(1)把A(1,-2)和B(0,-5)代入y=x2+bx+c,得 解得 ∴二次函数的表达式为y=x2+2x-5. ∵y=x2+2x-5=(x+1)2-6, ∴顶点坐标为(-1,-6). (2)如图: ∵点A(1,-2)关于对称轴直线x=-1的对称点为C(-3,-2), ∴当y≤-2时,x的取值范围是-3≤x≤1. 5.解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0)两点, ∴解得 ∴抛物线的表达式为y=x2-2x-3, ∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4, ∴顶点坐标为(1,-4). (2)①当0<x<3时,y的取值范围为-4≤y<0; ②∵A(-1,0),B(3,0), ∴AB=4. ∵S△ABP=24, ∴AB·|yP|=24, ∴|yP|=12, ∵抛物线顶点坐标为(1,-4), ∴yP=12. ∴当yP=12时,x2-2x-3=12, 解得x1=-3,x2=5, ∴点P的坐标为(-3,12)或(5,12). 6.解:(1)把和(0,5)代入y=-x2+bx+c中,得解得 ∴抛物线的表达式为y=-x2+x+5. (2)把A(6,0)代入y=kx-4中,得6k-4=0,解得k=, ∴直线的表达式为y=x-4. 令x=0,则y=-4,∴D(0,-4). 如图,分别过E,F向y轴作垂线,垂足为G,H, 根据题意可得EG=FH, ∵EG⊥y轴,FH⊥y轴, ∴△BEG和△DFH均为直角三角形. 在Rt△BEG和Rt△DFH中, ∴Rt△BEG≌Rt△DFH(HL), ∴BG=DH. 设E, 则F, ∴G,H, ∴BG=, DH=, 则有t2-t=t或t2-t=-t, 解得t=0(舍去),或t=,或t=1. 故点E的横坐标为或1. 学科网（北京）股份有限公司 $$