第十四章整式的乘法与因式分解 单元测 2024-2025学年人教版数学八年级上册

第十四章　整式的乘法与因式分解 时间：100分钟　满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 计算（－a）3·（a2）3·（－a）2的结果正确的是（　B　） A.a11 B.－a11 C.－a10 D.a13 2. 在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复习时发现这样一道题：－3x（－2x2＋3x－1）＝6x3＋＋3x，“”的地方被墨水污染了，你认为“”内应填（　B　） A.9x2 B.－9x2 C.9x D.－9x 3. 已知xm＝6，xn＝3，则x2m－n的值为（　C　） A.9 B. C.12 D. 4. 下列运算正确的是（　B　） A.x2＋x2＝x4 B.a2·a3＝a5 C.（3x）2＝6x2 D.（mn）5÷（mn）＝mn4 5. 下列各式从左到右是因式分解的是（　C　） A.x（x＋3）＝x2＋3x B.（a＋b）（a－b）＝a2－b2 C.m2－2mn＋n2＝（m－n）2 D.x2－4＝（x－2）2 6. 如果m2＋m＝3，那么代数式m（m－2）＋（m＋2）2的值为（　B　） A.14 B.10 C.－10 D.－6 7. 已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，a2＋b2≠c2，则△ABC是（　B　） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 8. 若多项式5x2－17x－12可因式分解为（x＋a）（bx＋3），其中a，b均为整数，则a＋b的值是（　C　） A.9 B.－9 C.1 D.－1 9. 比较255，344，433的大小（　D　） A.255＜344＜433 B.433＜344＜255 C.344＜433＜255 D.255＜433＜344 10. 用图1中的三种纸片拼成图2的长方形，据此可写出一个多项式的因式分解，则下列各项正确的是（　D　） A.a2＋4ab＋3b2＝（a＋b）（3a＋b） B.3a2＋3ab＋b2＝（a＋b）（b＋3a） C.3a2－2ab－b2＝（a－b）（3a＋b） D.3a2＋4ab＋b2＝（a＋b）（3a＋b） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. （－3×106）×（4×104）的值用科学记数法表示为 　－1.2×1011　　. 12. 若多项式A除以2x2＋1，得到的商式为x－3，余式为3x＋2，则A＝　2x3－6x2＋4x－1　. 13. 如果a＋b＝10，ab＝19，那么a2b＋ab2的值为　190　　. 14. 已知y≠0，且x2－3xy－4y2＝0，则的值是　－1或4　　. 15. 已知x3＋x2＋x＋1＝0，则x2 024＋x2 023＋x2 022＋…＋x2＋x的值是　0　　. 三、解答题（本大题共7个小题，共75分） 16. （1）（6分）因式分解： ①（x＋2）（x＋4）＋x2－4； 解：（1）①原式＝（x＋2）[（x＋4）＋x－2] ＝2（x＋2）（x＋1）. ②（a2＋1）2－4（a2＋1）＋4. 解：②原式＝[（a2＋1）－2]2 ＝（a＋1）2（a－1）2. （2）（9分）计算： ①÷y； 解：（2）①原式＝（x2＋2xy－x2＋y2）÷y ＝（2xy＋y2）÷y ＝4x＋2y. ②（x－2）（x＋2）（x2＋4）； 解：②原式＝（x2－4）（x2＋4） ＝x4－16. ③2 0252－2 024×2 028. 解：③原式＝（2026－1）2－（2026－2）（2026＋2） ＝20262－2×2026＋1－20262＋4 ＝－4047. 17. （8分）先化简，再求值：[（x－2y）2－（2x＋y）（x－4y）－（－x＋3y）（x＋3y）]÷，其中｜x＋2y｜＋（x－2）2＝0. 解：原式＝（x2－4xy＋4y2－2x2＋8xy－xy＋4y2－9y2＋x2）÷ ＝（3xy－y2）÷ ＝－x＋y. ∵｜x＋2y｜＋（x－2）2＝0， ∴x＋2y＝0，x－2＝0. ∴x＝2，y＝－1. 当x＝2，y＝－1时， 原式＝－×2＋×（－1）＝－9－＝－. 18. （9分）下面是壮壮化简求值的过程，请认真阅读并完成相应问题. 先化简，再求值：2（x＋1）2－x（x－1）－（x＋1）（x－1），其中x＝－. 解：原式＝2（x2＋2x＋1）－x2＋x－（x2－1） 第一步 ＝2x2＋4x＋2－x2＋x－x2－1 第二步 ＝5x＋1. 第三步 当x＝－时，原式＝5×＋1＝－1. 第四步 （1）第一步用到的乘法公式是　完全平方公式，平方差公式　. （2）壮壮的化简过程从第　二　　步开始出现错误，出现错误的原因是　括号前面是负号时，去括号没有变号　. （3）写出正确的化简求值过程. 解：（3）原式＝2（x2＋2x＋1）－x2＋x－（x2－1） ＝2x2＋4x＋2－x2＋x－x2＋1 ＝5x＋3. 当x＝－时，原式＝5×＋3＝－2＋3＝1. 19. （10分）已知两个多项式A＝x2＋6x＋y2，B＝2x2－12x－3y2＋81. （1）当x＝－m，y＝n时，多项式A＝x2＋6x＋y2的值为－9，则当x＝m，y＝n时，多项式A的值为多少？ 解：（1）∵当x＝－m，y＝n时，x2＋6x＋y2＝－9， ∴m2－6m＋n2＋9＝0. ∴m2－6m＋9＋n2＝0. ∴（m－3）2＋n2＝0. ∴m－3＝0，n＝0. ∴m＝3，n＝0. ∴当x＝m＝3，y＝n＝0时， A＝m2＋6m＋n2＝9＋18＋0＝27. （2）试将B－A进行因式分解. 解：（2）B－A＝2x2－12x－3y2＋81－x2－6x－y2 ＝x2－18x－4y2＋81 ＝（x－9）2－4y2 ＝（x－9＋2y）（x－9－2y） 20. （10分）如图1，利用两种不同的方法计算这个图形的面积，可以得到一个等式：（a＋2b）（a＋b）＝a2＋3ab＋2b2. （1）如图2，可得等式：　a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝（a＋b＋c）2　. （2）根据（1）所得等式，若a＋b＋c＝8，ab＋ac＋bc＝19，则a2＋b2＋c2＝　26　. （3）图3中的纸片足够多，利用3张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a，b的长方形拼出一个长方形，那么这个长方形较长的边长为　3a＋2b　，请画出这个长方形的拼图. 图形如下： 21.（11分）观察下列关于自然数的等式： 32－4×12＝5①，52－4×22＝9②，72－4×32＝13③… 根据上述规律解决下列问题： （1）写出第四个等式：　92－4×42＝17　. （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性. 解：（2）第n个等式为：（2n＋1）2－4n2＝4n＋1. 验证：∵左边＝（2n＋1）2－4n2＝4n＋1， ∴左边＝右边. ∴（2n＋1）2－4n2＝4n＋1. 22. （12分）配方法是数学中一种重要的思想方法.它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和.这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题. ①用配方法分解因式： 例1：分解因式x2＋4x－5. 解：x2＋4x－5＝x2＋4x＋22－22－5 ＝（x＋2）2－9 ＝（x＋2＋3）（x＋2－3） ＝（x＋5）（x－1）. ②用配方法求值： 例2：已知x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，求x＋y的值. 解：原方程可化为x2－2x＋1＋y2＋4y＋4＝0，即（x－1）2＋（y＋2）2＝0. ∵（x－1）2≥0，（y＋2）2≥0， ∴x＝1，y＝－2. ∴x＋y＝－1. 请根据上述材料解决下列问题： （1）用配方法分解因式a2－2a－3. 解：（1）原式＝a2－2a＋1－1－3 ＝（a－1）2－4 ＝（a－1＋2）（a－1－2） ＝（a＋1）（a－3）. （2）已知△ABC的三边长a，b，c，且满足a2＋b2－8a－10b＋41＝0，求c的取值范围. 解：（2）∵a2＋b2－8a－10b＋41＝（a2－8a＋16）＋（b2－10b＋25）＝（a－4）2＋（b－5）2＝0， ∴a－4＝0，b－5＝0. ∴a＝4，b＝5. ∵5－4＜c＜4＋5， ∴c的取值范围为1＜c＜9. （3）已知P＝2m2＋4n＋13，Q＝m2－n2＋6m－1，试比较P，Q的大小. 解：（3）P－Q＝2m2＋4n＋13－（m2－n2＋6m－1） ＝2m2＋4n＋13－m2＋n2－6m＋1 ＝m2－6m＋9＋n2＋4n＋4＋1 ＝（m－3）2＋（n＋2）2＋1＞0， ∴P＞Q. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十四章　整式的乘法与因式分解 时间：100分钟　满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 计算（－a）3·（a2）3·（－a）2的结果正确的是（　　） A.a11 B.－a11 C.－a10 D.a13 2. 在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复习时发现这样一道题：－3x（－2x2＋3x－1）＝6x3＋＋3x，“”的地方被墨水污染了，你认为“”内应填（　　） A.9x2 B.－9x2 C.9x D.－9x 3. 已知xm＝6，xn＝3，则x2m－n的值为（　　） A.9 B. C.12 D. 4. 下列运算正确的是（　　） A.x2＋x2＝x4 B.a2·a3＝a5 C.（3x）2＝6x2 D.（mn）5÷（mn）＝mn4 5. 下列各式从左到右是因式分解的是（　　） A.x（x＋3）＝x2＋3x B.（a＋b）（a－b）＝a2－b2 C.m2－2mn＋n2＝（m－n）2 D.x2－4＝（x－2）2 6. 如果m2＋m＝3，那么代数式m（m－2）＋（m＋2）2的值为（　　） A.14 B.10 C.－10 D.－6 7. 已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，a2＋b2≠c2，则△ABC是（　　） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 8. 若多项式5x2－17x－12可因式分解为（x＋a）（bx＋3），其中a，b均为整数，则a＋b的值是（　　） A.9 B.－9 C.1 D.－1 9. 比较255，344，433的大小（　　） A.255＜344＜433 B.433＜344＜255 C.344＜433＜255 D.255＜433＜344 10. 用图1中的三种纸片拼成图2的长方形，据此可写出一个多项式的因式分解，则下列各项正确的是（　　） A.a2＋4ab＋3b2＝（a＋b）（3a＋b） B.3a2＋3ab＋b2＝（a＋b）（b＋3a） C.3a2－2ab－b2＝（a－b）（3a＋b） D.3a2＋4ab＋b2＝（a＋b）（3a＋b） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. （－3×106）×（4×104）的值用科学记数法表示为 　　　. 12. 若多项式A除以2x2＋1，得到的商式为x－3，余式为3x＋2，则A＝　　. 13. 如果a＋b＝10，ab＝19，那么a2b＋ab2的值为　　　. 14. 已知y≠0，且x2－3xy－4y2＝0，则的值是　　　. 15. 已知x3＋x2＋x＋1＝0，则x2 024＋x2 023＋x2 022＋…＋x2＋x的值是　　　. 三、解答题（本大题共7个小题，共75分） 16. （1）（6分）因式分解： ①（x＋2）（x＋4）＋x2－4； ②（a2＋1）2－4（a2＋1）＋4. （2）（9分）计算： ①÷y； ②（x－2）（x＋2）（x2＋4）； ③2 0252－2 024×2 028. 17. （8分）先化简，再求值：[（x－2y）2－（2x＋y）（x－4y）－（－x＋3y）（x＋3y）]÷，其中｜x＋2y｜＋（x－2）2＝0. 18. （9分）下面是壮壮化简求值的过程，请认真阅读并完成相应问题. 先化简，再求值：2（x＋1）2－x（x－1）－（x＋1）（x－1），其中x＝－. 解：原式＝2（x2＋2x＋1）－x2＋x－（x2－1） 第一步 ＝2x2＋4x＋2－x2＋x－x2－1 第二步 ＝5x＋1. 第三步 当x＝－时，原式＝5×＋1＝－1. 第四步 （1）第一步用到的乘法公式是　　. （2）壮壮的化简过程从第　　　步开始出现错误，出现错误的原因是　　. （3）写出正确的化简求值过程. 19. （10分）已知两个多项式A＝x2＋6x＋y2，B＝2x2－12x－3y2＋81. （1）当x＝－m，y＝n时，多项式A＝x2＋6x＋y2的值为－9，则当x＝m，y＝n时，多项式A的值为多少？ （2）试将B－A进行因式分解. 20. （10分）如图1，利用两种不同的方法计算这个图形的面积，可以得到一个等式：（a＋2b）（a＋b）＝a2＋3ab＋2b2. （1）如图2，可得等式：　　. （2）根据（1）所得等式，若a＋b＋c＝8，ab＋ac＋bc＝19，则a2＋b2＋c2＝　　. （3）图3中的纸片足够多，利用3张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a，b的长方形拼出一个长方形，那么这个长方形较长的边长为　　，请画出这个长方形的拼图. 21.（11分）观察下列关于自然数的等式： 32－4×12＝5①，52－4×22＝9②，72－4×32＝13③… 根据上述规律解决下列问题： （1）写出第四个等式：　　. （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性. 22. （12分）配方法是数学中一种重要的思想方法.它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和.这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题. ①用配方法分解因式： 例1：分解因式x2＋4x－5. 解：x2＋4x－5＝x2＋4x＋22－22－5 ＝（x＋2）2－9 ＝（x＋2＋3）（x＋2－3） ＝（x＋5）（x－1）. ②用配方法求值： 例2：已知x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，求x＋y的值. 解：原方程可化为x2－2x＋1＋y2＋4y＋4＝0，即（x－1）2＋（y＋2）2＝0. ∵（x－1）2≥0，（y＋2）2≥0， ∴x＝1，y＝－2. ∴x＋y＝－1. 请根据上述材料解决下列问题： （1）用配方法分解因式a2－2a－3. （2）已知△ABC的三边长a，b，c，且满足a2＋b2－8a－10b＋41＝0，求c的取值范围. （3）已知P＝2m2＋4n＋13，Q＝m2－n2＋6m－1，试比较P，Q的大小. 学科网（北京）股份有限公司 $$