第十三章轴对称 单元测 2024-2025学年人教版数学八年级上册

第十三章　轴对称 时间：100分钟　满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，其中是轴对称图形的是（　D　） A. B. C. D. 2. 平面内点A（－1，2）和点B（－1，6）的对称轴是（　C　） A.x轴 B.y轴 C.直线y＝4 D.直线x＝－1 3. 如图，在△ABC中，已知AC＝50，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E.若BE的长为27，则EC的长是（　C　） 第3题图 A.50 B.27 C.23 D.25 4. 如图，四边形ABCD为一长方形纸带，点E，F分别在边AB，CD上，将纸带沿EF折叠，点A，D的对应点分别为A'，D'.若∠2＝α，则∠1的度数为（　D　） 第4题图 A.2α B.90°－α C.90°－α D.90°－α 5. 如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是（1，2），则经过第2 024次变换后点A的对应点的坐标为（　D　） A.（1，－2） B.（－1，－2） C.（－1，2） D.（1，2） 6. 小明从镜子里看到镜子对面的电子钟如图所示，则此时的实际时间是（　C　） A. B. C. D. 7. 如图，已知∠AOB＝60°，点P在OA边上，OP＝8 cm，点M，N在边OB上，PM＝PN.若MN＝2 cm，则OM的长为（　B　） 第7题图 A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.1 cm 8. 如图，△ABC的面积为10 cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于点P，连接PC，则△PBC的面积为（　C　） 第8题图 A.3 cm2 B.4 cm2 C.5 cm2 D.6 cm2 9. 在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（　D　） 第9题图 A.A点处 B.D点处 C.AD的中点处 D.△ABC三条高的交点处 10. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（1，1），在x轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（　A　） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△DEF可以看成是由△ABC经过若干次的图形变化（轴对称、平移）得到的，写出一种由△ABC得到△DEF的过程：　将△ABC沿y轴翻折，再将得到的三角形向下平移3个单位长度（答案不唯一）　. 第11题图 12. 如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将球M射向桌面的一边，反弹一次后击中球N，则A，B，C，D这4个点中，可以反弹击中球N的是点　D　　. 第12题图 13. 等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是　50°或80°　. 14. 如图，△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，OM∥AB，ON∥AC，BC＝12 cm，则△OMN的周长为　12cm　. 第14题图 15. 如图，在四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别为BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为　80°　. 第15题图 三、解答题（本大题共7个小题，共75分） 16. （10分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，－1），B（1，－2），C（3，－3）. （1）将△ABC向上平移4个单位长度后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1. 如下图. （2）请画出与△ABC关于y轴对称的△A2B2C2. 如下图. （3）请写出点C1，B2的坐标. C1（3，1），B2（－1，－2）. 17. （10分）如图，两条公路OA，OB相交于点O，在∠AOB内部有两个村庄C，D.为方便群众用水，该地决定在∠AOB内部再启动一个水塔P，要求同时满足： （1）到两条公路OA，OB的距离相等. （2）到两村庄C，D的距离相等. 请你用直尺和圆规作出水塔P的位置（保留作图痕迹）. 解：如图，点P即为所求. 18. （10分）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F. （1）求∠F的度数. 解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°. ∵DE∥AB， ∴∠EDC＝∠B＝60°. ∵DE⊥EF， ∴∠DEF＝90°. ∴∠F＝90°－60°＝30°. （2）求证：CD＝CF. 解：（2）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°. ∵DE∥AB， ∴∠DEC＝∠A＝60°，∠EDC＝∠B＝60°. ∴CE＝CD. ∵∠ACB＝∠F＋∠CEF，∠F＝30°， ∴∠CEF＝∠F＝30°. ∴CE＝CF. ∴CD＝CF. 19. （10分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6 cm，点D从点A出发以1 cm/s的速度向点C运动，同时点E从点C出发以2 cm/s的速度向点B运动，运动的时间为t秒，解决以下问题： （1）当t为何值时，△DEC为等边三角形. 解：（1）根据题意可得AD＝t，CD＝6－t，CE＝2t. ∵∠B＝30°，AC＝6cm， ∴BC＝2AC＝12cm. ∵∠C＝90°－∠B＝60°， ∴CD＝CE时，△DEC为等边三角形. ∴6－t＝2t，解得t＝2. ∴当t为2时，△DEC为等边三角形. （2）当t为何值时，△DEC为直角三角形. （2）①当∠DEC为直角时，∠EDC＝30°， ∴CE＝DC.∴2t＝（6－t）， 解得t＝. ②当∠EDC为直角时，∠DEC＝30°， ∴CD＝CE.∴6－t＝×2t，解得t＝3. ∴当t为或3时，△DEC为直角三角形. 20. （11分）如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A作AF∥BC，交CD于点F，延长AB，DC交于点E. （1）求证：AC平分∠EAF. 证明：∵BD所在的直线垂直平分线段AC， ∴BA＝BC.∴∠BAC＝∠BCA. ∵AF∥BC，∴∠CAF＝∠BCA. ∴∠CAF＝∠BAC，即AC平分∠EAF. （2）求证：∠FAD＝∠E. 证明：∵BD所在的直线垂直平分线段AC， ∴DA＝DC. ∴∠DAC＝∠DCA. ∵∠DCA是△ACE的一个外角， ∴∠DCA＝∠E＋∠EAC. ∴∠E＋∠EAC＝∠FAD＋∠CAF. ∵∠CAF＝∠EAC，∴∠FAD＝∠E. （3）若∠EAD＝90°，AE＝5，△AEC的面积为，求CF的长. 解：如图，过点C作CM⊥AE，垂足为M. ∵∠EAD＝90°，∴∠E＋∠ADE＝90°. ∵∠FAD＝∠E，∴∠FAD＋∠ADE＝90°. ∴∠AFD＝90°.∴CF⊥AF. ∵△AEC的面积为.∴AE·CM＝. ∵AE＝5，∴CM＝.∵AC平分∠EAF， CM⊥AE，CF⊥AF，∴CF＝CM＝. 21. （12分） 下面是用折纸的方法作角平分线. 探究： 仿照下图，通过折纸作角平分线. 如图，将纸片折叠，使QP与QR重合，QM是折痕，此时∠PQM与∠RQM重合，所以∠PQM＝∠RQM，射线QM是∠PQR的平分线. （1）如图1，点P，Q分别是长方形纸片ABCD的对边AB，CD上的点，连接PQ，将∠APQ和∠BPQ分别对折，使点A，B分别落在PQ上的点A'，点B'处，点C落在C'处，分别得折痕PN，PM，则∠NPM的度数是　90°　　. （2）如图2，将长方形纸片ABCD分别沿直线PN，PM折叠，使点A，B分别落在点A'，B'处，PA'和PB'不在同一条直线上，且被折叠的两部分没有重叠部分. ①若∠A'PB'＝20°，∠APN＝30°，求∠NPM的度数； 解：（2）①由折叠可知，∠APA'＝2∠APN＝2∠A'PN＝60°，∠BPB'＝2∠BPM＝2∠B'PM. ∵∠A'PB'＝20°， ∴∠BPB'＝180°－∠APA'－∠A'PB'＝100°. ∴∠BPM＝∠B'PM＝∠BPB'＝50°. ∴∠NPM＝∠A'PN＋∠A'PB'＋∠B'PM＝100°. ②若∠A'PB'＝α（0°≤α＜180°），求∠NPM的度数（用含α的式子表示）. 解：②若∠A'PB'＝α（0°≤α＜180°），则∠APA'＋∠BPB'＝180°－α， ∴∠A'PN＋∠MPB'＝（∠APA'＋∠BPB'）＝90°－. ∴∠NPM＝∠A'PN＋∠MPB'＋∠A'PB'＝90°－＋α＝90°＋. （3）将长方形纸片ABCD分别沿直线PN，PM折叠，使点A，B，C分别落在点A'，B'，C'处，PA'和PB'不在同一条直线上，且被折叠的两部分有重叠部分，如图3.若∠A'PB'＝α（0°≤α≤60°），请直接写出∠NPM的度数（用含α的式子表示）. 解：（3）∠NPM＝90°－. 22. （12分）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE.设∠BAC＝α，∠BCE＝β. （1）如图1，当点D在线段BC上移动时， ①写出α与β之间的数量关系，并说明理由； 解：（1）①α＋β＝180°. 理由如下： ∵∠DAE＝∠BAC， ∴∠DAE－∠DAC＝∠BAC－∠DAC. ∴∠CAE＝∠BAD. 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE（SAS）. ∴∠ABD＝∠ACE. ∵∠BAC＋∠ABD＋∠ACB＝180°， ∴∠BAC＋∠ACE＋∠ACB＝180°. ∴∠BAC＋∠BCE＝180°，即α＋β＝180°. ②若线段BC＝2，点A到直线BC的距离是3，则四边形ADCE的面积是　3　　. （2）如图2，当点D在线段BC的延长线上移动时，写出线段BC，CD，CE之间的数量关系，并说明理由. 解：（2）CE＝BC＋CD. 理由如下： ∵∠DAE＝∠BAC， ∴∠DAE＋∠CAD＝∠BAC＋∠CAD. ∴∠BAD＝∠CAE. 在△BAD和△CAE中， ∴△ABD≌△ACE（SAS）. ∴BD＝CE. ∵BD＝BC＋CD， ∴CE＝BC＋CD. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十三章　轴对称 时间：100分钟　满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，其中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 平面内点A（－1，2）和点B（－1，6）的对称轴是（　　） A.x轴 B.y轴 C.直线y＝4 D.直线x＝－1 3. 如图，在△ABC中，已知AC＝50，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E.若BE的长为27，则EC的长是（　　） 第3题图 A.50 B.27 C.23 D.25 4. 如图，四边形ABCD为一长方形纸带，点E，F分别在边AB，CD上，将纸带沿EF折叠，点A，D的对应点分别为A'，D'.若∠2＝α，则∠1的度数为（　　） 第4题图 A.2α B.90°－α C.90°－α D.90°－α 5. 如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是（1，2），则经过第2 024次变换后点A的对应点的坐标为（　　） A.（1，－2） B.（－1，－2） C.（－1，2） D.（1，2） 6. 小明从镜子里看到镜子对面的电子钟如图所示，则此时的实际时间是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，已知∠AOB＝60°，点P在OA边上，OP＝8 cm，点M，N在边OB上，PM＝PN.若MN＝2 cm，则OM的长为（　　） 第7题图 A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.1 cm 8. 如图，△ABC的面积为10 cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于点P，连接PC，则△PBC的面积为（　　） 第8题图 A.3 cm2 B.4 cm2 C.5 cm2 D.6 cm2 9. 在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（　　） 第9题图 A.A点处 B.D点处 C.AD的中点处 D.△ABC三条高的交点处 10. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（1，1），在x轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（　　） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△DEF可以看成是由△ABC经过若干次的图形变化（轴对称、平移）得到的，写出一种由△ABC得到△DEF的过程：　　. 第11题图 12. 如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将球M射向桌面的一边，反弹一次后击中球N，则A，B，C，D这4个点中，可以反弹击中球N的是点　　　. 第12题图 13. 等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是　　. 14. 如图，△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，OM∥AB，ON∥AC，BC＝12 cm，则△OMN的周长为　　. 第14题图 15. 如图，在四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别为BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为　　. 第15题图 三、解答题（本大题共7个小题，共75分） 16. （10分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，－1），B（1，－2），C（3，－3）. （1）将△ABC向上平移4个单位长度后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1. （2）请画出与△ABC关于y轴对称的△A2B2C2. （3）请写出点C1，B2的坐标. 17. （10分）如图，两条公路OA，OB相交于点O，在∠AOB内部有两个村庄C，D.为方便群众用水，该地决定在∠AOB内部再启动一个水塔P，要求同时满足： （1）到两条公路OA，OB的距离相等. （2）到两村庄C，D的距离相等. 请你用直尺和圆规作出水塔P的位置（保留作图痕迹）. 18. （10分）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F. （1）求∠F的度数. （2）求证：CD＝CF. 19. （10分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6 cm，点D从点A出发以1 cm/s的速度向点C运动，同时点E从点C出发以2 cm/s的速度向点B运动，运动的时间为t秒，解决以下问题： （1）当t为何值时，△DEC为等边三角形. （2）当t为何值时，△DEC为直角三角形. 20. （11分）如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A作AF∥BC，交CD于点F，延长AB，DC交于点E. （1）求证：AC平分∠EAF. （2）求证：∠FAD＝∠E. （3）若∠EAD＝90°，AE＝5，△AEC的面积为，求CF的长. 21. （12分） 下面是用折纸的方法作角平分线. 探究： 仿照下图，通过折纸作角平分线. 如图，将纸片折叠，使QP与QR重合，QM是折痕，此时∠PQM与∠RQM重合，所以∠PQM＝∠RQM，射线QM是∠PQR的平分线. （1）如图1，点P，Q分别是长方形纸片ABCD的对边AB，CD上的点，连接PQ，将∠APQ和∠BPQ分别对折，使点A，B分别落在PQ上的点A'，点B'处，点C落在C'处，分别得折痕PN，PM，则∠NPM的度数是　　　. （2）如图2，将长方形纸片ABCD分别沿直线PN，PM折叠，使点A，B分别落在点A'，B'处，PA'和PB'不在同一条直线上，且被折叠的两部分没有重叠部分. ①若∠A'PB'＝20°，∠APN＝30°，求∠NPM的度数； ②若∠A'PB'＝α（0°≤α＜180°），求∠NPM的度数（用含α的式子表示）. （3）将长方形纸片ABCD分别沿直线PN，PM折叠，使点A，B，C分别落在点A'，B'，C'处，PA'和PB'不在同一条直线上，且被折叠的两部分有重叠部分，如图3.若∠A'PB'＝α（0°≤α≤60°），请直接写出∠NPM的度数（用含α的式子表示）. 22. （12分）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE.设∠BAC＝α，∠BCE＝β. （1）如图1，当点D在线段BC上移动时， ①写出α与β之间的数量关系，并说明理由； ②若线段BC＝2，点A到直线BC的距离是3，则四边形ADCE的面积是　　　. （2）如图2，当点D在线段BC的延长线上移动时，写出线段BC，CD，CE之间的数量关系，并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$