精品解析：重庆育才中学教育集团2024—2025学年上学期第四次自主作业 数学试卷

重庆育才中学教育集团初2025届初三（上）第四次自主作业 数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 在能源和环保的压力下，新能源汽车无疑将成为未来汽车的发展方向．下面关于新能源汽车新势力品牌的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是由绕点旋转得到的，，，则旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小岛A在港口B北偏东方向上，“远航号”从港口B出发由西向东航行到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时“远航号”与小岛A的距离为（ ） A. B. C. 30 D. 7. 下列说法正确的个数是（ ） ①平分弦的直径垂直于弦；②半圆（或直径）所对的圆周角是直角； ③相等的圆心角所对的弧相等；④若两个圆有公共点，则这两个圆相交． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 对于二次函数，下列说法正确的是（　　） A. 图象开口向下 B. 图象的对称轴是直线 C. 时，函数有最小值 D. 时，随的增大而减小 9. 如图，在正方形中，对角线与交于点，在中，，点、分别在边、上，点在线段上．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 对于多项式：，，，我们用任意两个多项式求差后所得的结果，再与剩余两个多项式的差相加求和，并算出结果，称之为“差之和操作” 例如：，； 给出下列说法： ①只存在一种“差之和操作”，使其结果为单项式； ②至少存在一种“差之和操作”，使其结果为； ③所有的“差之和操作”只共有4种不同的结果． 以上说法中正确的是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：（本大题8个小题，每题4分，共32分）将答案书写在答题卡对应位置上． 11. ______． 12. 若点与点关于原点对称，则______． 13. 如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是_____． 14. 湖北旅游资源丰富，黄鹤楼历史悠久、神农架神秘宜人、长江三峡奇崛壮美、恩施大峡谷鬼斧神工，小宜打算五一期间从这四个景点中随机选择两个去旅游，则他刚好选到“长江三峡”和“恩施大峡谷”的概率是________． 15. 如图，在中，，，．以为圆心为半径画圆，交于点，则阴影部分面积是________________． 16. 若关于的不等式组有且只有4个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为______． 17. 如图，在中，为直径，为弦，点为弧的中点，以点为切点的切线与的延长线交于点，连接交于点，若，，则的长度为______；的长度为_______． 18. 对于一个四位自然数，满足千位数字与十位数字的差为，百位数字与个位数字的和不超过千位数字，且各个数位上的数字互不相等，那么称该四位数为“和气数”．例如：，因为， ， 且各个数位上的数字互不相等，所以为“和气数”；若是最大的“和气数”，则___________；若“和气数”、、、均为整数)， 记 当为的倍数时，满足条件的的最大值与最小值的差为_________． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 每年4月中上旬的体育考试，是初三同学们决胜中考的第一关．为了提高同学们的身体素质，某校九年级的同学们加强了“仰卧起坐”的训练，为了了解同学们的训练情况，从初三1班和2班中各随机抽取40名同学进行1分钟“仰卧起坐”测试，并对测试结果进行了整理、描述和分析，把1分钟“仰卧起坐”完成个数用x表示，并分成了四个等级，其中A：，B：，C：，D：）下面给出了部分信息： ①1班1分钟“仰卧起坐”个数的扇形统计图； ②2班1分钟“仰卧起坐”个数频数分布统计表 分组 A B C D 频数 8 15 a 5 ③1班和2班1分钟“仰卧起坐”个数的平均数、中位数、众数、A等级所占百分比如下表： 班级 平均数 中位数 众数 A等级所占百分比 1班 49 48 48 15% 2班 49 b 49 20% ④2班B组数据从高到低排列，排在最后的8个数据分别是：54，54，54，53，52，52，51，51． 请你根据以上信息，回答下列问题： （1）______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为哪个班级学生应该加强“仰卧起坐”的训练，请说明理由；（写出一条理由即可） （3）已知该校九年级共有2400名学生，请估计九年级所有学生1分钟“仰卧起坐”个数在45个以下的学生有多少人？ 21. 学习了图形的旋转等相关知识后，小李同学进行了一次拓展性研究．他发现，若一个四边形有一组对角均为且这组对角中有一个直角的两边相等，则连接这组对角的顶点，此对角线平分另一个直角．他的解决思路是通过作一个角等于已知角等知识证明两个三角形全等得出的结论．请根据他的思路完成以下作图与填空： （1）用直尺和圆规作图：如图，以为边在四边形外部作，，连接．（保留作图痕迹） （2）已知：如图，是四边形的对角线，，，，． 求证：． 证明：∵ ∴ ， ∵，，， ∴ ∴， ∴ ∴点C，D，E三点共线． 又， ∴． 即． 小李再进一步研究发现，线段，，存在一定的数量关系，请你根据以上信息，直接写出，，三者之间的数量关系 ． 22. 南阳与名将岳飞有着一段传颂至今的历史—公元1138年，岳飞统军过南阳到武侯祠敬拜亮，雨夜含泪手书前后《出师表》，为南阳留下了千古绝唱“三绝碑”某超市采购了两批同样的《出师表》纪念品挂件，第一批花了3300元，第二批花了4000元，已知第一批每个挂件的进价是第二批每的1.1倍，且第二批比第一批多购进25个挂件． （1）求第二批每个挂件的进价． （2）两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得1350元的利润？ 23. 如图，在中，，，，点D是AC的中点，动点E从点C出发，沿着折线（含端点）运动，到达点B时停止运动，过点E分别向BC，AB边作垂线，垂足分别为F，G．设点E运动的路程为x，线段EF与EG的长度和为y， （1）请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）若，结合函数图象，直接写出时x的取值范围．（结果保留1位小数，误差不超过） 24. 六一儿童节快到了，阳光大草坪举行露营活动，如图为草坪的平面示意图．入口在点，露营基地在点．经勘测，入口在点的正北方向，点在入口的南偏东方向800处，且在点的正东方向，点在点的东北方向，点在点的北偏东方向200处，且在点的正南方向．（参考数据） （1）求的长度；（结果保留根号） （2）小聪从入口处进入前往露营基地点．小聪可以选择鹅卵石步道①，步行速度为50米/分，也可以选择塑胶步道②，步行速度为60米/分，请通过计算说明他选择哪一条步道所用时间较少？ 25. 已知抛物线与轴交于点、点（点在点的左侧，点在原点右侧），与轴交于点，且． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点是直线上方抛物线上一点，过点作平行于轴交于点，点是的中点，过点作的平行线交轴于点，过点作平行于轴交于点，点R在直线上，当取最大值时，求此时点的坐标及的最大值． （3）如图2，点坐标为，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，在抛物线上是否存在点，满足，若存在，直接写出点的坐标并写出其中一个点的求解过程，若不存在请说明理由． 26. 如图，菱形中，，分别过点作的垂线，过点作的垂线交于点． （1）如图1，若，连接、，求的长度； （2）如图2，若，点、点分别为、延长线上的一点，连接、，且的延长线交于点，连接，且平分，试探究、之间的数量关系； （3）如图3，在（2）的条件下，点是线段的中点，是直线上的一个动点，将沿直线折叠，得到，连接，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆育才中学教育集团初2025届初三（上）第四次自主作业 数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 在能源和环保的压力下，新能源汽车无疑将成为未来汽车的发展方向．下面关于新能源汽车新势力品牌的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；寻找对称中心是解题的关键；根据中心对称的定义逐项判断即可． 【详解】A．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故该项符合题意； B．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故该选项符合题意； C．可以找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项符合题意； D．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选不项符合题意； 故选：C． 2. 若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形的周长比等于相似三角形的对应边比即可解答． 【详解】解：∵两个相似三角形周长的比为， ∴相似三角形的对应边比为， 故选． 【点睛】本题考查了相似三角形的周长比等于相似三角形的对应边比，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 3. 如图，在中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，正切函数，余弦函数，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．根据已知，，不妨设，则，根据正切函数的定义解答即可． 【详解】解：根据已知，，不妨设，则， 故． 故选：B． 4. 如图，是由绕点旋转得到的，，，则旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求旋转角，三角形内角和定理，先根据三角形内角和定理求出，再结合图形可知，旋转角即为的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是由绕点旋转得到的， ∴旋转角的度数是， 故选：A． 5. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代入即可． 【详解】解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件， ∴可列方程为：， 故选：A． 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般． 6. 如图，小岛A在港口B北偏东方向上，“远航号”从港口B出发由西向东航行到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时“远航号”与小岛A的距离为（ ） A. B. C. 30 D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的知识点是勾股定理的应用，直角三角形30度角的性质，关键是掌握勾股定理的计算．连接，此题易得，得，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：连接， 由已知得：，，， ∴， 在中，， ∴（）， 故选：B 7. 下列说法正确的个数是（ ） ①平分弦的直径垂直于弦；②半圆（或直径）所对的圆周角是直角； ③相等的圆心角所对的弧相等；④若两个圆有公共点，则这两个圆相交． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的性质，垂径定理及其推论，圆周角性质，圆与圆的位置关系解答即可． 【详解】解：①平分非直径的弦的直径垂直于弦， 故错误，不符合题意； ②半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 故正确，符合题意； ③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 故错误，不符合题意； ④若两个圆有两个公共点，则这两个圆相交， 故错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了圆的性质，垂径定理及其推论，圆周角性质，圆与圆的位置关系，熟练掌握基本知识解题的关键． 8. 对于二次函数，下列说法正确的是（　　） A. 图象开口向下 B. 图象的对称轴是直线 C. 时，函数有最小值 D. 时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】将二次函数化为顶点式，然后对选项逐个判断即可． 【详解】解： ，开口向上，A选项错误， 对称轴为，B选项错误， 当时，函数有最小值，最小值为，C选项错误 当时，随的增大而减小，∴时，随的增大而减小 D选项正确， 故选D． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的有关性质． 9. 如图，在正方形中，对角线与交于点，在中，，点、分别在边、上，点在线段上．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点P作交于点M，根据正方形的性质，三角形相似的判定和性质解答即可． 本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：过点P作交于点M， ∵正方形中，对角线与交于点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 10. 对于多项式：，，，我们用任意两个多项式求差后所得的结果，再与剩余两个多项式的差相加求和，并算出结果，称之为“差之和操作” 例如：，； 给出下列说法： ①只存在一种“差之和操作”，使其结果为单项式； ②至少存在一种“差之和操作”，使其结果为； ③所有的“差之和操作”只共有4种不同的结果． 以上说法中正确的是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查整式的加减法运算，根据题目的要求，罗列所有情况，进行求解即可解答，是中考常考的题型． 根据题意，写出所有情况，计算结果，即可． 【详解】解：令，则有以下情况： 第1种：； 第2种： 第3种： 第4种： 第5种： 第6种： 第7种： 第8种： 第9种： 第10种： 第11种： 第12种： 由上可知，①存在8种“差之和操作”，使其结果为单项式；故错误； ②存在2种“差之和操作”，使其结果为；故正确； ③所有的“差之和操作”只共有6种不同的结果，故错误． 故选：B． 二、填空题：（本大题8个小题，每题4分，共32分）将答案书写在答题卡对应位置上． 11. ______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据特殊角的正弦值，负整数指数幂的运算公式解答即可． 本题考查了特殊角的正弦值，负整数指数幂的运算公式，熟练掌握三角函数值是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：4． 12. 若点与点关于原点对称，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据原点对称的特点，得到，代入计算即可． 本题考查了原点对称，求代数式的值，熟练掌握原点对称的特点是解题的关键． 【详解】解：由点与点关于原点对称，得， 故． 故答案为：1． 13. 如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是_____． 【答案】6 【解析】 【详解】解：根据多边形的外角和等于360°和正多边形的每一个外角都相等，得多边形的边数为360°÷60°=6． 故答案为：6. 14. 湖北旅游资源丰富，黄鹤楼历史悠久、神农架神秘宜人、长江三峡奇崛壮美、恩施大峡谷鬼斧神工，小宜打算五一期间从这四个景点中随机选择两个去旅游，则他刚好选到“长江三峡”和“恩施大峡谷”的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：令四个景点：黄鹤楼、神农架、长江三峡、恩施大峡谷，分别为、、、， 列表得： 由表格可得：共有种等可能出现的结果，其中刚好选到“长江三峡”和“恩施大峡谷”的情况有种， 他刚好选到“长江三峡”和“恩施大峡谷”的概率是， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，．以为圆心为半径画圆，交于点，则阴影部分面积是________________． 【答案】或 【解析】 【分析】利用直角三角形的面积减去扇形的面积解答即可． 本题考查了三角函数的应用，扇形的面积，分割法求面积，熟练掌握三角函数的应用和扇形面积公式是解题的关键． 【详解】解：∵，，，． ∴，， ∴，， ∴阴影部分面积是：． 16. 若关于的不等式组有且只有4个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式组的整数解的个数确定m的取值范围，再根据分式方程的非负数解确定m的取值范围，从而求出符合条件的所有整数，然后代入原分式方程验证即可得结论． 【详解】解：∵ ， 解不等式①得：； 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且只有4个整数解， ∴， 解得； ∵， 解得， ∵方程有非负数解， ∴， ∴， ∵是方程的增根， 即时，方程有增根， ∴，无意义，舍去， ∴， ∴整数m的值为， ∴符合条件的所有整数m的和是． 【点睛】本题是不等式与方程的综合，解决本题的关键是根据不等式组的整数解的个数及分式方程的解确定m的取值范围． 17. 如图，在中，为直径，为弦，点为弧的中点，以点为切点的切线与的延长线交于点，连接交于点，若，，则的长度为______；的长度为_______． 【答案】 ①. 2 ②. 4 【解析】 【分析】根据垂径定理及其推论，切线的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：连接， ∵点为弧的中点， ∴， ∵以点为切点的切线与的延长线交于点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴； ∴； ∴， 故答案为：2；4． ． 【点睛】本题考查了垂径定理及其推论，切线的性质，勾股定理，批判性的判定，平行线分线段成比例定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 18. 对于一个四位自然数，满足千位数字与十位数字的差为，百位数字与个位数字的和不超过千位数字，且各个数位上的数字互不相等，那么称该四位数为“和气数”．例如：，因为， ， 且各个数位上的数字互不相等，所以为“和气数”；若是最大的“和气数”，则___________；若“和气数”、、、均为整数)， 记 当为的倍数时，满足条件的的最大值与最小值的差为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义、数的整除、实数的运算等知识，掌握分类讨论是解题的关键． 【详解】解：设 ∵是最大的“和气数”， ∴千位为，十位数为 ∵百位数字与个位数字的和不超过千位数字， ∴ 又∵各个数位上的数字互不相等，则 ∴； ∵，且， ∴ ∵为的倍数 设 ∴ ∵、、、均为整数， ∴ 又∵ ∴ 当最大时，最大， 又∵ 当时，不是的倍数 当时， 当时，， ∴， 又， ∴的最大值为 当取最小值时，，则 ∴不是的倍数， 当时，，， 则时，，则最小为 ∴的最小值为 ∴满足条件的的最大值与最小值的差为 故答案为：． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、整式的混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键. （1）根据整式混合运算的法则求解即可； （2）根据分式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 每年4月中上旬的体育考试，是初三同学们决胜中考的第一关．为了提高同学们的身体素质，某校九年级的同学们加强了“仰卧起坐”的训练，为了了解同学们的训练情况，从初三1班和2班中各随机抽取40名同学进行1分钟“仰卧起坐”测试，并对测试结果进行了整理、描述和分析，把1分钟“仰卧起坐”完成个数用x表示，并分成了四个等级，其中A：，B：，C：，D：）下面给出了部分信息： ①1班1分钟“仰卧起坐”个数的扇形统计图； ②2班1分钟“仰卧起坐”个数频数分布统计表 分组 A B C D 频数 8 15 a 5 ③1班和2班1分钟“仰卧起坐”个数的平均数、中位数、众数、A等级所占百分比如下表： 班级 平均数 中位数 众数 A等级所占百分比 1班 49 48 48 15% 2班 49 b 49 20% ④2班B组数据从高到低排列，排在最后的8个数据分别是：54，54，54，53，52，52，51，51． 请你根据以上信息，回答下列问题： （1）______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为哪个班级学生应该加强“仰卧起坐”的训练，请说明理由；（写出一条理由即可） （3）已知该校九年级共有2400名学生，请估计九年级所有学生1分钟“仰卧起坐”个数在45个以下的学生有多少人？ 【答案】（1）12；52；20 （2） 解：1班级学生应该加强“仰卧起坐”的训练， ∵从中位数看，1班中位数小于2班， ∴1班级学生应该加强“仰卧起坐”的训练．（理由不唯一） （3）390人 【解析】 【分析】（1）用抽取的总人数减去A、B、D等级人数即可求得a值；根据中位数定义可求得b值；用1减去A、B、D等级百分比即可求得，从而得出m值． （2）可比较中位数，众数与A等级点的百分比得出结论． （3）利用样本估计总体可求解． 【小问1详解】 解：； ∵2班A等级有8人，B等级有15人， 2班B组数据从高到低排列，排在最后的8个数据分别是：54，54，54，53，52，52，51，51． 又∵2班中位数是从高到低排列第20位52和第21位52， ∴中位数， ∵ ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：1班D等级人数为（人）， 2班D等级人数为5人， 答：估计九年级所有学生1分钟“仰卧起坐”个数在45个以下的学生有390人． 【点睛】本题考查扇形统计图，频数分布表，中位数，众数，用样本估计总体，解题关键是从统计图表中获取有用信息是解题的关键． 21. 学习了图形的旋转等相关知识后，小李同学进行了一次拓展性研究．他发现，若一个四边形有一组对角均为且这组对角中有一个直角的两边相等，则连接这组对角的顶点，此对角线平分另一个直角．他的解决思路是通过作一个角等于已知角等知识证明两个三角形全等得出的结论．请根据他的思路完成以下作图与填空： （1）用直尺和圆规作图：如图，以为边在四边形外部作，，连接．（保留作图痕迹） （2）已知：如图，是四边形的对角线，，，，． 求证：． 证明：∵ ∴ ， ∵，，， ∴ ∴， ∴ ∴点C，D，E三点共线． 又， ∴． 即． 小李再进一步研究发现，线段，，存在一定的数量关系，请你根据以上信息，直接写出，，三者之间的数量关系 ． 【答案】（1） 解：如图，，即为所求； （2），，； 【解析】 【分析】本题考查了作图复杂作图，等腰直角三角形，勾股定理，解决本题的关键是掌握基本作图方法． （1）根据作图方法作图即可； （2）结合（1）即可完成填空；然后证明是等腰直角三角形，即可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：， ， ，，， ， ，， ， 点，，三点共线， 又， ， 即． 故答案为：，，； 研究发现：，理由如下： ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． 故答案为：． 22. 南阳与名将岳飞有着一段传颂至今的历史—公元1138年，岳飞统军过南阳到武侯祠敬拜亮，雨夜含泪手书前后《出师表》，为南阳留下了千古绝唱“三绝碑”某超市采购了两批同样的《出师表》纪念品挂件，第一批花了3300元，第二批花了4000元，已知第一批每个挂件的进价是第二批每的1.1倍，且第二批比第一批多购进25个挂件． （1）求第二批每个挂件的进价． （2）两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得1350元的利润？ 【答案】（1）40元 （2）55元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用研究，一元二次方程的应用，不等式的应用．根据题意列出方程与不等式是解题的关键． （1）设第二批每个挂件的进价为元，则第一批每个挂件的进价为元，根据题意列出方程，求解即可； （2）设每个售价定为元，每周所获利润为1350元，则可列出关于的方程求解，再根据“每周最多能卖90个”得出的取值范围，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设第二批每个挂件进价是每个元， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，也符合题意， ， 答：第二批每个挂件进价是每个40元； 【小问2详解】 解：设每个挂件售价定为元，每周可获得1350元的利润，根据题意得 解得：，， 每周最多能卖90个， ， 解得， ∴． 答：每个挂件售价定为55元，每周可获得1350元的利润 23. 如图，在中，，，，点D是AC的中点，动点E从点C出发，沿着折线（含端点）运动，到达点B时停止运动，过点E分别向BC，AB边作垂线，垂足分别为F，G．设点E运动的路程为x，线段EF与EG的长度和为y， （1）请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）若，结合函数图象，直接写出时x的取值范围．（结果保留1位小数，误差不超过） 【答案】（1） （2） 描点、连线，函数图象如下图所示：     ①当时，y随x增大而减小；（答案不唯一） ②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，当时，函数取得最大值8，当时，函数取得最小值0．（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】（1）分两种情况：当点E在上时和当点E在上时，分别利用三角函数表示出线段EF与EG的长度，即可写出y关于x的函数表达式； （2）根据（1）中所列表达式，取值描点连线作图，结合图象写出性质； （3）观察图象求出函数图象的交点，根据交点结合图象根据函数值大小判断自变量取值范围． 【小问1详解】 解：在中，，，， ， 点D是AC的中点， ， ①当点E在上时，即时，如图： ，， 四边形是矩形， ， 即， ， 同理，， 即， ， ， ； ②当点E在上时，即时，如图： 由①知四边形是矩形， ， ， ， 又点E运动的路程为x， ， ， ， 同理， ， 即， ， ； 【小问2详解】 解：函数，当时，； 当时，（不包括这点）； 函数，当时，； 当时，； 【小问3详解】 解：由题意得：先求函数图象与直线交点， ， 解得：， 两图象交点为， 再求函数图象与直线交点， ， 解得：， 两图象交点为， 当图象在两个交点之间时， 此时，x的取值范围是（结果保留1位小数，误差不超过）． 【点睛】此题考查了一次函数的图象与性质、三角函数的应用，掌握一次函数图象与性质是解题关键． 24. 六一儿童节快到了，阳光大草坪举行露营活动，如图为草坪的平面示意图．入口在点，露营基地在点．经勘测，入口在点的正北方向，点在入口的南偏东方向800处，且在点的正东方向，点在点的东北方向，点在点的北偏东方向200处，且在点的正南方向．（参考数据） （1）求的长度；（结果保留根号） （2）小聪从入口处进入前往露营基地点．小聪可以选择鹅卵石步道①，步行速度为50米/分，也可以选择塑胶步道②，步行速度为60米/分，请通过计算说明他选择哪一条步道所用时间较少？ 【答案】（1）的长度为米 （2）小聪选择塑胶步道所用时间较少 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确地识别图形是解题的关键． （1）延长、交于点，在中，由，得到，在中，根据直角三角形的性质得到，在中，可得，再求解即可； （2）根据直角三角形的性质得到在中，，求得选择鹅卵石步道①A﹣B﹣D所用时间为（分），选择塑胶步道②A﹣C﹣E﹣D所用时间为（分），再比较，于是得到结论． 【小问1详解】 如图，延长、交于点， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， 答：的长度为米； 【小问2详解】 在中，， ， ， ①鹅卵石步道：， ， ②塑胶步道：， ， ， ∴小聪选择塑胶步道所用时间较少． 25. 已知抛物线与轴交于点、点（点在点的左侧，点在原点右侧），与轴交于点，且． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点是直线上方抛物线上一点，过点作平行于轴交于点，点是的中点，过点作的平行线交轴于点，过点作平行于轴交于点，点R在直线上，当取最大值时，求此时点的坐标及的最大值． （3）如图2，点坐标为，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，在抛物线上是否存在点，满足，若存在，直接写出点的坐标并写出其中一个点的求解过程，若不存在请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）， 【解析】 【分析】（1）根据抛物线，得到点，得到，结合已知得点，代入抛物线，后利用待定系数法确定解析式即可． （2）先确定直线的解析式为．设，则，则；确定点，直线的解析式为，从而得到，解得即可． （3）利用平移思想，三角函数，等腰三角形的性质，平行线的性质，分类想想计算即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线， ∴点， ∴， ∴点， ∴， 解得， 故抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设，则， 则； ∵点是的中点， ∴， ∵， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 故直线的解析式为， ∵，点， ∴点， ∴， ∴ ， ∵， ∴有最大值，且当时，取得最大值，且最大值为， ∵点P在直线上方的抛物线上， ∴， ∴时，； 故． ∵， ∴当A，P，R三点共线时，取得最大值，最大值为， ∴． 【小问3详解】 解：由原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线， ∴，， 设向右平移m个单位，向下平移n个单位， 根据题意，得，， ∴先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到新抛物线， ∵， ∴，对称轴为直线， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点E作，交抛物线于点， ∴， 当， 解得（舍去）， 故点； 作线段的垂直平分线，交于点，交于点N， 则， ∴， 延长交抛物线于点， 设，则， 根据勾股定理，得， 解得， 则， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 根据题意，得， 解得（舍去），， 故． 综上所述，符合题意的点M的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，构造二次函数求最值，等腰直角三角形的判定和性质，三角函数的应用，一次函数解析式确定，解方程组，三角函数的应用，熟练掌握待定系数法，解方程组是解题的关键． 26. 如图，菱形中，，分别过点作的垂线，过点作的垂线交于点． （1）如图1，若，连接、，求的长度； （2）如图2，若，点、点分别为、延长线上的一点，连接、，且的延长线交于点，连接，且平分，试探究、之间的数量关系； （3）如图3，在（2）的条件下，点是线段的中点，是直线上的一个动点，将沿直线折叠，得到，连接，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）延长交于点G，利用菱形的性质，特殊角的三角函数，勾股定理解答即可． （2）连接，过点A作于点N，作于点M，先利用直角三角形的判定定理证明，判定是等边三角形，后再证明，即可． （3）连接，交于点Q，根据题意，得，结合条件点是线段的中点，根据折叠的性质，确定点的运动轨迹是以为圆心，以为半径的圆上，根据圆的性质，勾股定理解答即可． 【小问1详解】 解：延长交于点G， ∵菱形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，． ∵菱形， ∴，，直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴三点共线， 设， ∴，， ∴， 解得． 故的长为． 【小问2详解】 解：、之间的数量关系，理由如下： 连接，过点A作于点N，作于点M， ∵平分， ∴， ∴； ∵菱形， ∴， ∴， ∴， ∵，菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 根据(1)，得， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴． 【小问3详解】 解：连接，交于点Q， ∵，菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∵沿直线折叠，得到， ∴， ∴点的运动轨迹是以为圆心，以为半径的圆上， 当，M，C三点共线时，取得的最大值， 故当与R重合时，取得的最大值， 此时，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角函数的应用，圆的性质，线段的垂直平分线的判定和性质，熟练掌握三角函数的应用，勾股定理，圆的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $