第二章　二次函数 评估测试卷 2024—2025学年北师大版数学九年级下册

第二章　二次函数 评估测试卷 (满分:120分　时间:120分钟) 一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.下列函数中,y关于x的二次函数是 (　　) A.y=ax2+bx+c B.y=x(x-1) C.y= D.y=(x-1)2-x2 2.(2024南宁青秀区期末)如图,二次函数y=-x2+mx+n的图象与x轴的一个交点坐标为(5,0),那么关于x的一元二次方程-x2+mx+n=0的解为 (　　) A.x1=5,x2=1 B.x1=5,x2=-1 C.x1=5,x2=-5 D.x=5 3.(2024凉山州中考)抛物线y=(x-1)2+c经过(-2,y1),(0,y2),,y3三点,则y1,y2,y3的大小关系正确的是 (　　) A.y1>y2>y3 B.y2>y3>y1 C.y3>y1>y2 D.y1>y3>y2 4.下列抛物线中,对称轴为直线x=1的抛物线的表达式是 (　　) A.y=x2+1 B.y=x2-1 C.y=x2+2x D.y=x2-2x 5.某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元,以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,则该厂今年一季度新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为 (　　) A.y=10(1+x)3 B.y=10+10(1+x)+10(1+x)2 C.y=10+10x+x2 D.y=10(1+x)2 6.在同一平面直角坐标系中,一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是 (　　) A B C D 7.(2024湖南模拟)刀削面堪称天下一绝,传统的操作方法是一手托面,一手拿刀,直接将面削到开水锅里.如图,面刚被削离时与开水锅的高度差h=0.45 m,与锅的水平距离L=0.3 m,锅的半径R= 0.5 m.若将削出的小面片的运动轨迹视为抛物线的一部分,要使其落入锅中(锅的厚度忽略不计),则其水平初速度v0不可能为(提示:h=gt2,g=10 m/s2,水平移动距离s=v0t)(　　) 图1　　 　图2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.2.5 m/s B.3 m/s C.3.5 m/s D.5 m/s 8.(2024贵州中考)如图,二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是-3,顶点坐标为(-1,4),则下列说法正确的是 (　　) A.二次函数图象的对称轴是直线x=1 B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C.当x<-1时,y随x的增大而减小 D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 9.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示.下列结论: ①2a+b=0; ②a+b+c>0; ③方程ax2+bx+c=a有两个不相等的实数根; ④不等式ax2+bx+c<0的解集是0<x<3. 其中所有正确结论的序号是 (　　) A.①③ B.②④ C.①③④ D.①②③④ 10.(2024天津中考)从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之间的关系式是h=30t-5t2(0≤t≤6).有下列结论: ①小球从抛出到落地需要6 s; ②小球运动中的高度可以是30 m; ③小球运动2 s时的高度小于运动5 s时的高度. 其中,正确结论的个数是 (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题(本题共5小题,每小题3分,共15分) 11.(2024滨州中考)将抛物线y=-x2先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,则平移后抛物线的顶点坐标为　　　　.  12.已知一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线y=-2x2+9x相同,且它的顶点坐标为(-1,6),则这条抛物线的表达式为　　　　　　　　　　.  13.关于x的二次函数y=ax2-4ax+b中,当1≤x≤4时,-3≤y≤5.则b-4a的值为　　　　.  14.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A,B,点B的坐标为(3,0),若点C(2,3)在抛物线上,则AB的长为　　　　.  15.九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地,地上两段围墙AB⊥CD于点O(如图),其中AB上的EO段围墙空缺.同学们测得AE=6.6 m,OE=1.4 m,OB=6 m,OC=5 m,OD=3 m,班长买来可切断的围栏16 m,准备利用已有围墙,围出一块封闭的矩形菜地,则该菜地最大面积是 　　　　m2.  三、解答题(本题共8小题,共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 16.(8分)已知二次函数y=x2-4x+3. (1)求二次函数y=x2-4x+3图象的顶点坐标; (2)在平面直角坐标系中,画出二次函数y=x2-4x+3的图象; (3)当1<x<4时,结合函数图象,直接写出y的取值范围. 17.(8分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,根据图象回答下列问题: (1)求点B的坐标; (2)当x　　　　时,y随x的增大而减小;  (3)不等式ax2+bx+c>0的解集是什么? 18.(8分)(2024济宁中考)某商场以每件80元的价格购进一种商品,在一段时间内,销售量y(单位:件)与销售单价x(单位:元/件)之间是一次函数关系,其部分图象如图所示. (1)求这段时间内y与x之间的函数表达式; (2)在这段时间内,若销售单价不低于100元,且商场还要完成不少于220件的销售任务,当销售单价为多少时,商场获得利润最大?最大利润是多少? 19.(8分)已知二次函数y=2x2-mx-m2. (1)求证:对于任意实数m,二次函数y=2x2-mx-m2的图象与x轴总有交点. (2)若这个二次函数的图象与x轴交于点A,B(1,0),求点A的坐标. 20.(8分)如图,抛物线y=-x2+2x+c经过坐标原点O和点A,点A在x轴上. (1)求此抛物线的表达式,并求出顶点B的坐标; (2)连接OB,AB,求S△OAB; (3)若点C在抛物线上,且S△OAC=8,求点C的坐标. 21.(10分)已知抛物线y=-x2+bx(b为常数)的顶点横坐标比抛物线y=-x2+2x的顶点横坐标大1. (1)求b的值; (2)点A(x1,y1)在抛物线y=-x2+2x上,点B(x1+t,y1+h)在抛物线y=-x2+bx上. ①若h=3t,且x1≥0,t>0,求h的值; ②若x1=t-1,求h的最大值. 22.(12分)(2024浙江中考)已知二次函数y=x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点A(-2,5),对称轴为直线x=-. (1)求二次函数的表达式; (2)若点B(1,7)向上平移2个单位长度,向左平移m(m>0)个单位长度后,恰好落在y=x2+bx+c的图象上,求m的值; (3)当-2≤x≤n时,二次函数y=x2+bx+c的最大值与最小值的差为,求n的取值范围. 23.(13分)(2024辽宁中考)已知y1是自变量x的函数,当y2=xy1时,称函数y2为函数y1的“升幂函数”.在平面直角坐标系中,对于函数y1图象上任意一点A(m,n),称点B(m,mn)为点A“关于y1的升幂点”,点B在函数y1的“升幂函数”y2的图象上. 例如:函数y1=2x,当y2=xy1=x·2x=2x2时,则函数y2=2x2是函数y1=2x的“升幂函数”.在平面直角坐标系中,函数y1=2x的图象上任意一点A(m,2m),点B(m,2m2)为点A“关于y1的升幂点”,点B在函数y1=2x的“升幂函数”y2=2x2的图象上. (1)求函数y1=x的“升幂函数”y2的函数表达式; (2)如图,点A在函数y1=x>0的图象上,点A“关于y1的升幂点”B在点A上方,当AB=2时,求点A的坐标; (3)点A在函数y1=-x+4的图象上,点A“关于y1的升幂点”为点B,设点A的横坐标为m. ①若点B与点A重合,求m的值; ②若点B在点A的上方,过点B作x轴的平行线,与函数y1的“升幂函数”y2的图象相交于点C,以AB,BC为邻边构造矩形ABCD,设矩形ABCD的周长为y,求y关于m的函数表达式; ③在②的条件下,当直线y=t1与函数y的图象的交点有3个时,从左到右依次记为E,F,G,当直线y=t2与函数y的图象的交点有2个时,从左到右依次记为M,N,若EF=MN,请直接写出t2-t1的值. 　　　 备用图 【详解答案】 1.B　解析:A.当a=0时,y=bx+c不是二次函数;B.y=x(x-1)=x2-x是二次函数;C.y=不是二次函数;D.y=(x-1)2-x2= -2x+1为一次函数.故选B. 2.B　解析:由题意,根据函数的图象可得,二次函数y=-x2+mx+n的图象的对称轴是直线x=2,又图象与x轴的一个交点坐标为(5,0),∴图象与x轴的另一个交点坐标为(2-3,0),即(-1,0).∴关于x的一元二次方程-x2+mx+n=0的解为x1=5,x2=-1.故选B. 3.D　解析:∵y=(x-1)2+c,∴抛物线开口向上,对称轴是直线x=1,∴当x<1时,y随x的增大而减小,∵,y3关于直线x=1的对称点是-,y3,-2<-<0<1,∴y1>y3>y2.故选D. 4.D　解析:∵抛物线y=x2+1的对称轴为y轴,∴选项A不符合题意;∵抛物线y=x2-1的对称轴为y轴,∴选项B不符合题意;∵抛物线y=x2+2x=(x+1)2-1,∴该抛物线的对称轴为直线x=-1,∴选项C不符合题意;∵抛物线y=x2-2x=(x-1)2-1,∴该抛物线的对称轴为直线x=1,∴选项D符合题意.故选D. 5.B　解析:∵该厂今年一月份新产品的研发资金为10万元,以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,∴该厂今年二月份新产品的研发资金为10(1+x)万元,三月份新产品的研发资金为10(1+x)2万元.根据题意得:y=10+10(1+x)+10(1+x)2.故选B. 6.C　解析:∵二次函数y=x2+a,∴抛物线开口向上,∴排除B,∵一次函数y=ax+2,∴直线与y轴的正半轴相交, ∴排除D;∵由抛物线得a<0,∴排除A;故选C. 7.D　解析:∵h=gt2,∴t==0.3(s),∵L<s<L+2R,根据s=v0t,可得最小速度为:=1(m/s),最大速度为:(m/s),由此可知,选项A,B,C不符合题意,选项D符合题意.故选D. 8.D　解析:选项A:∵顶点坐标为(-1,4),∴对称轴为直线x=-1,故选项A错误;选项B:由对称性可知,(-3,0)关于x=-1对称的点为(1,0),故选项B错误;选项C:开口向下,当x<-1时,y随x的增大而增大,故选项C错误;选项D:设二次函数表达式为y=a(x+1)2+4,将(-3,0)代入得a=-1,∴y=-(x+1)2+4,令x=0得y=3,∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3,故选项D正确.故选D. 9.A　解析:由图象得:a>0,与x轴相交于点(-1,0)和(3,0),∴抛物线的对称轴为直线x==1,即-=1,∴b+2a=0,故①是正确的;由图象得:当x=1时,y<0,即a+b+c<0,故②是错误的;∵a>0,∴y=a在x轴的上方,∴y=ax2+bx+c的图象与y=a有两个交点,故③是正确的;y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点为(-1,0),(3,0),∴不等式ax2+bx+c<0的解集是-1<x<3.故④是错误的.故选A. 10.C　解析:①令h=0,则30t-5t2=0,解得t1=0,t2=6,∴小球从抛出到落地需要6 s,故①正确;②h=30t-5t2=-5(t2-6t)= -5(t-3)2+45,∵-5<0,∴当t=3时,h有最大值,最大值为45,∴小球运动中的高度可以是30 m,故②正确;③t=2时,h=30×2-5×4=40(m),t=5时,h=30×5-5×25=25(m),∴小球运动2 s时的高度大于运动5 s时的高度,故③错误.故选C. 11.(1,2)　解析:将抛物线y=-x2先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度后抛物线表达式为y=-(x-1)2+2,∴顶点坐标为(1,2). 12.y=-2(x+1)2+6　解析:∵抛物线的顶点坐标为(-1,6),∴抛物线表达式可设为y=a(x+1)2+6,∵抛物线y=a(x+1)2+6的形状、开口方向均与抛物线y=-2x2+9x相同,∴a=-2,∴所求抛物线的表达式为y=-2(x+1)2+6. 13.-3或5　解析:∵抛物线y=ax2-4ax+b=a(x-2)2+b-4a,∴顶点为(2,b-4a),当a>0时,当1≤x≤4时,-3≤y≤5,函数有最小值,∴b-4a=-3,当a<0时,当1≤x≤4时,-3≤y≤5,函数有最大值,∴b-4a=5,故b-4a的值为-3或5. 14.4　解析:∵抛物线y=ax2+bx+3过B(3,0),C(2,3), ∴∴抛物线为y=-x2+2x+3.∴抛物线的对称轴是直线x=-=1.∵抛物线与x轴的一交点为B(3,0),∴另一交点为A(1-2,0),即A(-1,0).∴AB=3-(-1)=4. 15.46.4　解析:设矩形在射线OA上的一段长为x m. (1)当x≤8时,S=x·=-x2+9.8x=-(x-9.8)2+48.02,当x=8时,S=46.4, (2)当x>8时,S=x·-x=-x2+13.8x=-(x-6.9)2+47.61,由于在x>8的范围内,S均小于46.4.所以由(1)(2)得最大面积为46.4 m2. 16.解:(1)∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1, ∴该二次函数图象顶点坐标为(2,-1). (2)当y=0时,x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3, ∴抛物线与x轴的交点坐标为(1,0),(3,0); 当x=0时,y=x2-4x+3=3,则抛物线与y轴的交点坐标为(0,3),关于对称轴的对称点为(4,3), 如图. (3)由图象可知,当1<x<4时,-1≤y<3. 17.解:(1)由图象可知,A,B到直线x=1的距离相等, ∵A(-1,0), ∴点B坐标为(3,0). (2)>1 (3)由图象可知,不等式ax2+bx+c>0的解集是-1<x<3. 18.解:(1)由题意,设一次函数的表达式为y=kx+b, 又过(100,300),(120,200), ∴ ∴ ∴这段时间内y与x之间函数表达式为y=-5x+800. (2)由题意得, ∴100≤x≤116. ∵商场获得的利润=(x-80)(-5x+800) =-5x2+1 200x-64 000 =-5(x-120)2+8 000, 又-5<0,100≤x≤116, ∴当x=116时,利润最大,最大值为7 920. 答:当销售单价为116元/件时,商场获得利润最大,最大利润是7 920元. 19.解:(1)证明:∵Δ=(-m)2-4×2×(-m2)=9m2≥0, ∴对于任意实数m,二次函数y=2x2-mx-m2的图象与x轴总有交点. (2)把B(1,0)代入y=2x2-mx-m2得2-m-m2=0,解得m1=-2,m2=1, 当m=-2时,抛物线表达式为y=2x2+2x-4,解方程2x2+2x-4=0,解得x1=-2,x2=1,此时点A坐标为(-2,0); 当m=1时,抛物线表达式为y=2x2-x-1,解方程2x2-x-1=0,解得x1=-,x2=1,此时A点坐标为-,0. 综上所述,A点坐标为(-2,0)或-,0. 20.解:(1)把(0,0)代入y=-x2+2x+c得c=0, ∴抛物线表达式为y=-x2+2x, ∴y=-x2+2x=-(x-1)2+1, ∴顶点B的坐标为(1,1). (2)当y=0时,-x2+2x=0, 解得x1=0,x2=2, ∴A(2,0), ∴S△OAB=×2×1=1. (3)设点C坐标为(t,-t2+2t), ∵S△OAC=8, ∴×2×|-t2+2t|=8, 即t2-2t=8或t2-2t=-8, 解方程t2-2t=8得t1=-2,t2=4, ∴点C坐标为(-2,-8)或(4,-8), 方程t2-2t=-8无实数解, 综上所述,点C坐标为(-2,-8)或(4,-8). 21.解:(1)∵抛物线y=-x2+bx的顶点横坐标为,y=-x2+2x的顶点横坐标为1, ∴-1=1, ∴b=4. (2)∵点A(x1,y1)在抛物线y=-x2+2x上, ∴y1=-+2x1, ∵点B(x1+t,y1+h)在抛物线y=-x2+4x上, ∴y1+h=-(x1+t)2+4(x1+t), -+2x1+h=-+4(x1+t), ∴h=-t2-2x1t+2x1+4t, ①∵h=3t, ∴3t=-t2-2x1t+2x1+4t, ∴t(t+2x1)=t+2x1, ∵x1≥0,t>0, ∴t+2x1>0, ∴t=1, ∴h=3. ②将x1=t-1代入h=-t2-2x1t+2x1+4t, ∴h=-3t2+8t-2, h=-3, ∵-3<0, ∴当t=,即x1=时,h取最大值. 22.解:(1)∵二次函数为y=x2+bx+c, ∴抛物线的对称轴为直线x=-=-. ∴b=1. ∴抛物线为y=x2+x+c. 又∵图象经过点A(-2,5), ∴4-2+c=5. ∴c=3. ∴抛物线为y=x2+x+3. (2)∵点B(1,7)向上平移2个单位长度,向左平移m个单位长度(m>0), ∴平移后的点为(1-m,9). 又∵(1-m,9)在y=x2+x+3上, ∴9=(1-m)2+(1-m)+3. ∴m=4或m=-1(舍去). ∴m=4. (3)由题意,当n<-时, ∴最大值与最小值的差为5-=. ∴n1=n2=-,不符合题意,舍去. 当-≤n≤1时, ∴最大值与最小值的差为5-,符合题意. 当n>1时,最大值与最小值的差为-,解得n1=1或n2=-2,不符合题意. 综上所述,n的取值范围为-≤n≤1. 23.解:(1)y2=xy1=x×x=x2. (2)如图1, 图1 ∵y2=xy1=x×=3, 设Am,,B(m,3), ∵点B在点A的上方, ∴当AB=2时,3-=2, 解得m=3. ∴A(3,1). (3)①∵y2=xy1=x(-x+4)=-x2+4x, ∴A(m,-m+4),B(m,-m2+4m). 如果点B与点A重合,那么-m+4=-m2+4m. 整理,得m2-5m+4=0. 解得m=1或m=4. ②由①可知,直线y=-x+4与抛物线y=-x2+4x有两个交点(1,3)和(4,0), 如图2所示,函数y2=-x2+4x的图象是开口向下的抛物线,对称轴是直线x=2. 图2 ∵BC∥x轴,∴B,C两点关于直线x=2对称. 如图2,当点B在点C右侧时,2<m<4,BC=2(m-2)=2m-4, 如图3,当点B在点C左侧时,1<m<2,BC=2(2-m)=4-2m, 由点B在点A的上方,得BA=(-m2+4m)-(-m+4)=-m2+5m-4, 当2<m<4时,y=2[(2m-4)+(-m2+5m-4)]=-2m2+14m-16, 当1<m<2时,y=2[(4-2m)+(-m2+5m-4)]=-2m2+6m. 综上,y= 图3 ③t2-t1=4或3-2. 解析:情形1:如图4,如果EF和MN平行且相等,那这两条平行线间的距离等于两个顶点之间的竖直高度,或者等于P,Q两点间的竖直高度. 当m=2时,y=-2m2+6m=4, ∴P(2,4). 当m=4时,y=-2m2+14m-16=8, ∴Q(4,8). ∴t2-t1=8-4=4. 图4 情形2,如图5(图4局部,变形处理),点M是抛物线y=-2m2+6m的顶点. 由M,,得N,, ∴MN=EF=-=2-, ∴点F的横坐标xF=, 于是可得yF=, ∴t2-t1=yN-yF=-=3-2. 图5 综上,t2-t1=4或3-2. 学科网（北京）股份有限公司 $$