24.2.2 切线长定理课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册

圆的切线长定理 24.2.2 学习目标 1.掌握切线长定理,初步学会运用切线长定理进行计算与证明.(重点) 3.学会利用方程思想解决几何问题,体验数形结合思想.(难点) 2.了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念. 知识回顾 2.圆的切线的判定方法有几种? (2)数量关系法: (3)判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 圆的切线垂直于经过切点的半径. 1.圆的切线的性质是什么? (1)定义法: 与圆只有一个公共点的直线是圆的切线. 圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线. B A 1.如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线? 2.这样的切线能画出几条? 如下左图,借助三角板,我们可以画出PA是⊙O的切线. 3.如果∠P=50 ,求∠AOB的度数. 50 130 O P O A B P 如何用圆规和直尺 作出这两条 切线呢? . 思考:已画出切线PA,PB,A,B为切点,则∠OAP=90 , 连接OP,可知A,B 除了在⊙O上,还在怎样的圆上? O P A B O 过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长. O P A B 切线与切线长是一回事吗?它们有什么区别与联系呢? 切线长概念 切线和切线长是两个不同的概念: 1.切线是一条与圆相切的直线,不能度量; 2.切线长是线段的长,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,可以度量. O P A B 比一比: 切线与切线长 O A B P 1 2 思考:已知⊙O切线PA,PB,A,B为切点,把圆沿着直线OP对折,你能发现什么? 折一折 请证明你所发现的结论. A P O B PA=PB ∠OPA=∠OPB 证明:∵PA,PB与⊙O相切,点A,B是切点, ∴OA⊥PA,OB⊥PB.即∠OAP=∠OBP=90 , ∵ OA=OB,OP=OP, ∴Rt AOP≌Rt BOP(HL) ∴ PA = PB, ∠OPA=∠OPB. 证一证 切线长定理 ∵PA,PB分别切⊙O于A,B,∴PA=PB,OP平分∠APB. 过圆外一点,所画的圆的两条切线的长相等. 几何语言: O P A B 反思:切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法 PA =PB ∠OPA=∠OPB A P O B 若连接两切点A,B,AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明. OP垂直平分AB M 证明:∵PA,PB是⊙O的切线,点A,B是切点, ∴PA=PB,∠OPA=∠OPB. ∴ PAB是等腰三角形,PM为顶角的平分线. ∴OP垂直平分AB. 试一试 A P O . B 若延长PO交⊙O于点C,连接CA,CB,你又能得出什么新的结论?并给出证明. CA=CB 证明:∵PA,PB是⊙O的切线,点A,B是切点, ∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB. 又∵ PC=PC. ∴ PCA≌ PCB ,∴BC=AC. C . P B A O (3)连接圆心和圆外一点 (2)连接两切点 (1)分别连接圆心和切点 反思:在解决有关圆的切线长问题时,往往需要我们构建基本图形. 想一想 探究:PA,PB是⊙O的两条切线,A,B为切点,直线OP交⊙O于点D,E,交AB于点C. B A P O C E (1)写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA,OB ⊥PB AB⊥OP (2)写出图中与∠OAC相等的角 ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC D AOP≌ BOP, AOC≌ BOC, ACP≌ BCP (4)写出图中所有的等腰三角形 ABP, AOB (3)写出图中所有的全等三角形 B A P O C E D PA、PB分别切⊙O于A、B PA = PB ∠1=∠2 O A B 1 2 从圆外一点引圆的切线: (1)可以引两条切线 (2)它们的切线长相等 (3)这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 几何语言: 知识点一:切线长定理 ∵PA,PB分别切⊙O于A,B, ∴PA=PB,OP平分∠APB. 注意 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法. 。 P B A O (3)连结圆心和圆外一点 (2)连结两切点 (1)分别连结圆心和切点 切线长定理运用的基本模型及常作的辅助线 例 ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F,且AB=9,BC=14,CA=13,求AF、BD、CE的长. 解:设AF=x,则AE=x. ∴CE=CD=AC-AE=13-x, BF=BD=AB-AF=9-x. 由 BD+CD=BC,可得: (13-x)+(9-x)=14, 解得: x=4. ∴ AF=4,BD=5,CE=9. 典例精析 A B C E F D O PA、PB是⊙O的两条切线,A、B是切点, ⊙O的半径为3. (1)若OP=5,则切线长PA= ; (2)若∠BPA=60 ,则OP= . 4 6 练一练 P O A B 小明在一家木料厂上班,工作之余想对厂里的三角形废料进行加工:裁下一块圆形用料,怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢? 知识点二:三角形的内切圆及作法 互动探究 问题1 如果最大圆存在,它与三角形三边应有怎样的位置关系? O O O O 最大的圆与三角形三边都相切 问题2 如何求作一个圆,使它与三角形的三边都相切? (1) 如果半径为 r 的 I 与 ABC 的三边都相切,那么 圆心 I 应满足什么条件? (2) 在 ABC 的内部,如何找到满足条件的圆心 I 呢? 圆心 I 到三角形三边的距离相等,都等于 r. 为什么呢? 三角形三条角平分线交于一点,这一点到三角形三边的距离相等. 三角形角平分线的这个性质,你还记得吗? 圆心 I 应是三角形的三条角平分线的交点. B C A I D 作法:1、作∠B、∠C的平分BM、CN, 交点为I 2、过点I作ID⊥BC,垂足为D 3、以I为圆心、ID为半径作⊙I ⊙I就是所求的圆 N M 做一做 已知: ABC. 求作:和 ABC 的各边都相切的圆 O. 1. 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2. 三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心. 3. 这个三角形叫做这个圆的外切三角形. B A C I I 是 ABC 的内切圆, 点 I 是 ABC 的内心, ABC 是 I 的外切三角形. 知识要点 问题1 如图, O 是 ABC 的内切圆,那么 AO、BO、CO 有什么特点? AO、BO、CO 分别平分∠CAB、∠ABC、∠BCA. B A C O 知识点三:三角形的内心的性质 互动探究 B A C O 问题2 如图, O 是 ABC 的内切圆,过点 O 分别作 AB、AC、BC 的垂线,垂足分别为 E、F、G,那么线段 OE、OF、OG 之间有什么数量关系? E F G 解:OE = OF = OG. 知识要点 三角形内心的性质 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点. 三角形的内心到三角形三边的距离相等. AI、BI、CI 分别平分∠CAB、∠ABC、∠BCA, IE = IF = IG. B A C I E F G 三角形的外心:三角形三边垂直平分线的交点. 三角形的内心:三角形三内角角平分线的交点. A B C O A B C I D 注意区别 三角形的外心: 三角形三边垂直平分线的交点 到三顶点的距离相等 三角形的内心: 三角形三内角角平分线的交点 到三边的距离相等 A B C O I A B C 内切圆 外接圆 已知, ABC中,BC=14cm,AB=9cm,AC=13cm,它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F,求AF、BD和CE的长. D B C E A F 例:已知, ABC中,∠A=80 ,它的内心为O, 求∠BOC的度数. O 如图,从⊙O外一点P作⊙O的两条切线,分别切⊙O于A 、B, 在AB上任取一点C作⊙O的切线分别交PA 、PB于D 、E 若PA=2,则 PDE的周长为_;若PA=a,则 PDE的周长为_. 若∠P=70 ,则∠DOC=_. E O C B D P A 2a 4 55 如图,AC⊥BC,AC=3,BC=4,圆O与直线AB、BC、AC都相切,切点分别为D、E、F,求圆O的半径. D A F C E B O 已知,Rt ABC中,∠C=90 , AB=a,AC=b,AB=c, 求它的内切圆半径r. D B C E A F 内切圆半径公式: 已知, ABC中,AB=AC=5cm, BC=6cm, 它的内切圆半径r=_. A F B D C E D B C E A F 已知,Rt ABC中,∠C=90 , BC=4cm,AC=3cm, 求它的内切圆半径r=_. 1 O A B c D 如图,⊙O内切于四边形ABCD,AB=10,BC=7,CD=8, 则AD的长度为_ (3)若∠BIC=100 ,则∠A = 度. (2)若∠A=80 ,则∠BIC = 度. 130 20 例2 如图,在 ABC中,点I是内心, (1)若∠ABC=50 , ∠ACB=70 ,∠BIC=_. A B C I (4)试探索: ∠A与∠BIC之间存在怎样的数量关系? 120 :三边垂直 平分线的交点 :三条角平分线的交点 名称 图形 确定方法 性质及注意事项 外心:三角形外接圆的圆心 内心:三角形内切圆的圆心 1.OA=OB=OC; 2.外心不一定在三角形的内部; 3.∠BOC=2∠BAC. 类比升华 1.IE=IF=IG; 2.内心一定在三角形内部; 3.∠BOC=90 +0.5∠BAC. ABC的内切圆半径为r, ABC的周长为C,求 ABC的面积. S:三角形的面积; C:三角形的周长; r:三角形内切圆的半径. A O C B E F D 如图,在Rt ABC中,∠C=90 ,AC=3,BC=4, 求Rt ABC内切圆的半径. A D C B O E F 归纳: (1) (2) 【例1】如图,边长为4的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径,CF是⊙O的切线,E是切点,点F在AD上,BE是⊙O的弦,求 CDF的面积. A E F O B C D 解:设AF=x. ∵四边形ABCD是正方形. ∴∠DAB=90 ,即DA⊥AB. ∵AB是⊙O的直径. ∴AD是⊙O的切线. ∵CF是⊙O的切线,E是切点. ∴EF=AF=x. 同理可得CE=CB. 则DF=4-x,CF=CE+EF=CB+EF=4+x. 在Rt CDF中,CF2=CD2+DF2. 即(4+x)2=42+(4-x)2. 解得:x=1. ∴DF=1-x=3. ∴S CDF=1/2 4 3=6. 方程思想 3.已知:如图,四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA与⊙O分别相切与点E,F,G,H. 求证:AB+CD=AD+BC. D L M N A B C O P 证明:∵边AB,BC,CD,DA与⊙O分别相切. ∴AP=AL=a,BL=BM=b,CM=CN=c,DP=DN=d. ∴AB+CD=AL+BL+CN+DN=a+b+c+d. a a c c b b d d AD+BC=AP+DP+BM+CM=a+d+b+c. ∴AB+CD=AD+BC. 圆的外切四边形的两组对边的和相等. 归纳: ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点 D,E,F, 且AB=9,BC=14,CA=13.求AF,BD,CE的长. 切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. OP垂直平分AB D A C B O 1.与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心. E F 三角形内心的性质: 三角形三条角平分线的交点. 三角形的内心到三角形的三边距离相等. :三边垂直 平分线的交点 :三条角平分线的交点 名称 图形 确定方法 性质及注意事项 外心:三角形外接圆的圆心 内心:三角形内切圆的圆心 1.OA=OB=OC; 2.外心不一定在三角形的内部; 3.∠BOC=2∠BAC. 类比升华 1.IE=IF=IG; 2.内心一定在三角形内部; 3.∠BOC=90 +0.5∠BAC. 1.如图,从⊙O外一点P作⊙O的两条切线,分别切⊙O于A 、B,在AB上任取一点C作⊙O的切线分别交PA 、PB于D 、E,若PA=2,则 PDE的周长为_;若PA=a,则 PDE的周长为_。 E O C B D P A 4 2a 课堂练习 (3)若∠BIC=100 ,则∠A = 度. (2)若∠A=80 ,则∠BIC = 度. 130 20 2.如图,在 ABC中,点I是内心, (1)若∠ABC=50 , ∠ACB=70 ,∠BIC=_. A B C I (4)试探索: ∠A与∠BIC之间存在怎样的数量关系? 120 课堂练习 3. ABC的内切圆半径为r, ABC的周长为l,求 ABC的面积.(提示:设内心为O,连接OA、OB、OC.) 解: 设AB = c,BC = a,AC = b. C A B O D M N r r r 则S OBC= ar, S OBA= cr, S OAC= br , S ABC=S OBC +S OBA +S OAC = ar + cr + br = r(a+c+b)= lr. 课堂练习 课堂小结 作业布置 一分耕耘,一分收获。 2.课本习题 P101 -102(3、6, 11,14) 1.本土攻略P77-78 $$