3.2.2双曲线简单几何性质的应用(第2课时)课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.2.2双曲线简单几何性质的应用 （第2课时） 第三章 圆锥曲线的方程 1 问题引入 问题1：类比直线与椭圆的位置关系，直线与双曲线有几种位置关系？ 相交、相切、相离. 问题2：类比直线与椭圆的位置关系，如何判断直线与双曲线的位置关系？ 代数法. 2.直线与双曲线的位置关系： 一般地，设直线，椭圆 联立，消得 2 新知探究 一般地，设直线，双曲线 问题2：类比椭圆与直线的位置关系，如何判断直线与双曲线的位置关系？ 联立，消得 (1)当，即时，直线 ，直线与双曲线 . 直线与双曲线有 个公共点，此时称直线与双曲线 ； 直线与双曲线有 个公共点，此时称直线与双曲线 ； 直线与双曲线 公共点，此时称直线与双曲线 ． (2)当，即时， 与双曲线的渐近线平行 相交于一点 两 相交 相切 没有 相离 一 3 练习巩固 例6-1:已知双曲线，直线过点，当直线的斜率为何值时，直线与双曲线： (1)有一个公共点；(2)有两个公共点；(3)无公共点？ (1)相交；(2)相切；(3)相离？ 4 判断直线与双曲线位置关系的方法1:方程思想的应用(代数法) 把直线方程代入双曲线方程 得到一元一次方程 得到一元二次方程 直线与双曲线的 渐进线平行(不包含重合情形) 相交 计 算 判 别 式 相交 相切 相离 方法总结 交点 交点 切点 无公共点 二次项系数为0 二次项系数不为0 5 例6-2:已知直线与双曲线相交于两点，当为何值时，在双曲线的同一支上?当为何值时，分别在双曲线的两支上? 解:把y=kx+1代入3x2-y2=1,整理,得(3-k2)x2-2kx-2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2), 要使直线与双曲线有两个交点, 练习巩固 若一条直线与双曲线的同支交于两个不同的点，则应满足条件： 方法总结 对直线与双曲线的交点位置分以下两种情况进行讨论： ， 右支， 左支， (2)若一条直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则应满足条件： ， 练习巩固 变式6-1：双曲线与直线相交于两个不同的点、.求双曲线的离心率的取值范围． 方程思想的应用(代数法) 8 变式6-2：如果直线与双曲线仅有一个公共点,求的值. 得 解：由 ∴方程只有一解 当 ,即 时，方程只有一解 时，应满足 当 解得 故k的值为 . ∵直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4仅有一个公共点 练习巩固 方程思想的应用(代数法) 9 练习巩固 变式6-3：若双曲线与直线无交点，则离心率 的取值范围是(　　) A．(1，2)　　　B．(1，2] C．(1，) D．(1， ] 数形结合思想的应用(几何法) 10 判断直线与双曲线位置关系的方法2:数形结合思想的应用(几何法) 方法总结 ①直线过定点时,根据定点的位置、双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系. ②直线斜率一定时,通过平行移动直线,比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系. 11 课堂小结 ∆的取值 位置关系 交点个数 且∆＞0 且∆=0 且∆＜0 相离 相切 相交 没有公共点 只有一个切点 有两个交点 只有一个交点 直线与双曲线位置关系 12 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx＋(1－k)，,x2－\f(y2,2)＝1，)) 只有一个公共点． 解　设直线l：y－1＝k(x－1)，即y＝kx＋(1－k)． 得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0.(*) 当k2－2＝0，即k＝±eq \r(2)时，(*)式只有一解，直线l与双曲线相交， 当k2－2≠0时，Δ＝24－16k， 若Δ＝0，即k＝eq \f(3,2)，方程(*)只有一解，直线与双曲线相切，只有一个公共点； 若Δ>0，即k<eq \f(3,2)，方程(*)有两解，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若Δ<0，即k>eq \f(3,2)，方程(*)无解，直线与双曲线无公共点． 综上，(1)当k＝±eq \r(2)或k＝eq \f(3,2)时，直线l与双曲线只有一个公共点； (2)当k<eq \f(3,2)且k≠±eq \r(2)时，直线l与双曲线有两个公共点； (3)当k>eq \f(3,2)时，直线l与双曲线无公共点． 则需满足k≠±,且Δ=24-4k2>0. 由Δ>0,解得-<k<,所以当-<k<,且k≠±时, 一元二次方程有两解,直线与双曲线有两个交点. 若A,B在双曲线的同一支上,则需x1x2=>0, 解得k<-或k>; 若A,B分别在双曲线的两支上,则需x1x2=<0,解得-<k<. 所以,当-<k<-<k<时,A,B两点在双曲线的同一支上; 当-<k<时,A,B两点在双曲线的两支上. 则需满足k≠±,且Δ=24-4k2>0. 由Δ>0,解得-<k<,所以当-<k<,且k≠±时, 一元二次方程有两解,直线与双曲线有两个交点. 若A,B在双曲线的同一支上,则需x1x2=>0, 解得k<-或k>; 若A,B分别在双曲线的两支上,则需x1x2=<0,解得-<k<. 所以,当-<k<-<k<时,A,B两点在双曲线的同一支上; 当-<k<时,A,B两点在双曲线的两支上. 由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－a2≠0，,4a4＋8a2(1－a2)>0，)) 得a∈(0,1)∪(1，eq \r(2))． ∴e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(a2＋b2,a2))＝eq \r(1＋\f(1,a2))， ∴e∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，\r(2)))∪(eq \r(2)，＋∞)． 解　由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,\f(x2,a2)－y2＝1))　 消去y得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0， D 解析：由题意可得，eq \f(b,a)≤2，所以e＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))≤eq \r(5). 又e>1，所以离心率e的取值范围是(1，eq \r(5)]. $$