5.3 一元一次方程的应用第1课时课件2024-2025学年北师大版数学七年级上册

第五章 一元一次方程 3 一元一次方程的应用 （第1课时） 长方形 周长l=________， 面积S=_______ 正方形 周长l=_____ 面积S=_____ 圆周长l =_____ 面积S=_______ a a r 2（a+b） b a c a r h 长方体体积 V=_________. 正方体体积 V=______. 圆柱体体积 V=_________. abc a3 ab 4a a2 1.借助立体及平面图形学会分析复杂问题中的数量 关系和等量关系.（难点） 2.能利用一元一次方程解决简单的图形问题.（重点） h r 阿基米德用非常巧妙地方法测出了皇冠的体积，你知道他是如何测量的吗？ 形状改变 体积不变 = 思考：在这个过程中什么没有发生变化？ (1)若该长方形的长比宽多1.4m，此时长方形的长、宽各是多少？ 在这个过程中什么没有发生变化？ 长方形的周长(或长与宽的和)不变 用一根长为10m的铁丝围成一个长方形. 图形的等长变化 知识点1 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 x m (x+1.4) m 等量关系： （长+宽）× 2=周长 解： 设此时长方形的宽为xm，则它的长为(x+1.4)m. 根据题意，得 (x+1.4 +x) ×2 =10 解得 x =1.8 1.8+1.4=3.2m 此时长方形的长为3.2m，宽为1.8m. (2)若该长方形的长比宽多0.8m，此时长方形的长和宽各为多少米？它围成的长方形与(1)中所围成的长方形相比，面积有什么变化？ x m (x+1.4) m 0.8 解：设此时长方形的宽为x m，则它的长为（x+0.8）m.根据题意，得 (x+0.8 +x) ×2 =10 解得 x=2.1 2.1+0.8=2.9m 此时长方形的长为2.9m，宽为2.1m，面积为2.9 ×2.1=6.09(m2)，(1)中长方形的面积为3.2 × 1.8=5.76(m2). 此时长方形的面积比(1)中长方形的面积增大6.09－5.76=0.33(m2). 0.8 (3)若该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么正方形的边长是多少？它围成的正方形的面积与(2)中所围成的长方形相比，又有什么变化？ x m (x +x) ×2 =10. 解得 x=2.5. 正方形的面积为2.5 × 2.5 =6. 25(m2) 解：设正方形的边长为xm. 根据题意，得 比(2)中面积增大 6. 25 -6.09=0.16（m2） 正方形的边长为2.5 m. 同样长的铁丝可以围更大的地方 x m 例1 用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长比圆的半径长2(π－2) m，求这两根等长的铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大． 典例精析 【解析】 比较两图形的面积大小，关键是通过题中的等量关系列方程求得圆的半径和正方形的边长，本题的等量关系为正方形的周长＝圆的周长． 解：设圆的半径为r m，则正方形的边长为[r＋2(π－2)]m.根据题意，得 答：铁丝的长为8π m，圆的面积较大． 因为4π×4＞4π×π，所以16π＞4π2， 所以圆的面积大． 正方形的面积为[4＋2(π－2)]2＝4π2(m 2)． 所以圆的面积是π×42＝16π(m 2)， 所以铁丝的长为2πr＝8π(m)． 2πr＝4(r＋2π－4)，解得r＝4. (1)形状、面积发生了变化，而周长没变； (2)形状、周长不同，但是根据题意找出周长之间的关系，把这个关系作为等量关系．解决问题的关键是通过分析变化过程，挖掘其等量关系，从而可列方程． 归纳总结 某居民楼顶有一个底面直径和高均为4 m的圆柱形储水箱．现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4 m减少为3.2 m．那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4 m变为多少？ 图形的等积变化 知识点2 1.如果设水箱的高变为x m，填写下表： 旧水箱 新水箱 底面半径/m 高/m 体积/m 3.列出方程并求解. 2.根据表格中的分析，找出等量关系. 2 1.6 4 x π×22×4 π×1.62×x 旧水箱的容积=新水箱的容积 π×22×4=π×1.62×x, 解得x=6.25. 因此，水箱的高度变成了6.25 m. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 例2 一种牙膏出口处直径为5 mm，小明每次刷牙都挤出1 cm长的牙膏，这样一支牙膏可以用36次，该品牌牙膏推出新包装，只是将出口处直径改为6 mm，小明还是按习惯每次挤出1 cm的牙膏，这样，这一支牙膏能用多少次？ 解：设这一支牙膏能用x次，根据题意得 π×2.52×10×36＝π×32×10x. 解得x＝25. 答：这一支牙膏能用25次． 你认为列一元一次方程解应用题的主要步骤有哪些？关键是什么？ 思考： 1.审——通过审题找出等量关系. 6.答——注意单位名称. 5.检——检验求出的值是否为方程的解，并检验是否符合实际问题. 4.解——求出方程的解(对间接设的未知数切忌继续求解). 3.列——依据找到的等量关系，列出方程. 2.设——设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称. 1、在将较高的玻璃杯中水倒入较矮玻璃杯的过程中，不变的是 . 2、将一块橡皮泥由一个瘦高的圆柱捏成一个 矮胖的圆柱，其中变的是 ， 不变的是 . 3、将一根12cm长的细绳围成一个长3cm的正方 形，再改成一个长4cm、宽2cm的长方形，不 变的是 。 水的体积 底面半径和高 橡皮泥的体积 细绳的长度 跟踪训练 4.一个长方形的周长是40 cm，若将长减少8 cm，宽增加2 cm，长方形就变成了正方形，则正方形的边长为(　　) A.6 cm　　　B.7 cm　　　C.8 cm　　　D. 9 cm B 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 应用一元一次方程 图形等长变化 应用一元一次方程解决实际问题的步骤 图形等积变化 列 ⑤检 ④解 设 审 ⑥答 1．有一个盛水的圆柱体玻璃容器，它的底面直径为12cm（容器厚度忽略不计），容器内水的高度为10cm． （1）如图1，容器内水的体积为______ （结果保留π）． （2）如图2，把一根底面直径为6cm，高为12cm的实心玻璃棒插入水中（玻璃棒完全淹没于水中），求水面上升的高度是多少？ （3）如图3，若把一根底面直径为6cm，足够长的实心玻璃棒插入水中，求水面上升的高度是多少？ 解： （1）容器内水的体积为 故答案为：360π （2）设水面上升的高度为xcm，根据题意得： 解得： （3）设水面上升高度为xcm， 水面上升部分的体积为： 玻璃棒淹没部分的体积为： 得： 解得： ∴水面上升高度为3cm   始吾于人也，听其言而信其行。今吾于人也，听其言而观其行。 ——孔丘 $$