精品解析：吉林省长春市第八中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

长春八中2024-2025学年（上）高二期中考试 数学试题 命题人：刘德荣 审题人：满宁宁 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单选题 1. 抛物线的焦点坐标为，则其准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的标准方程及性质计算即可. 【详解】由题意可知该抛物线开口向上， 又焦点坐标为，所以准线方程为. 故选：C 2. 已知直线，，若，则实数a的值是（ ） A. B. 2 C. 2或 D. 或1 【答案】A 【解析】 【分析】 由两直线平行，得，解得，在检验此时两直线是否重合即可. 【详解】由两直线平行，可知，解得， 当时，，，此时两直线平行； 当时，，，此时两直线重合，不满足题意舍去． 故选：A. 【点睛】易错点睛：本题主要考查两直线的位置关系与斜率的关系，常用结论：在斜率存时， （1） （）； （2）（），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心. 3. “”是直线与圆相切的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由圆的方程得到圆心坐标和半径，使得圆心到直线的距离等于圆的半径，得到的值，即可得到结论. 【详解】由圆，可得圆心为，半径． ∵直线与圆相切，∴，∴，∴“”是直线与圆相切的充要条件，故选C． 【点睛】本题主要考查了充要条件的判定及应用，其中解答中涉及到直线与圆的位置关系的判定及应用，以及充要条件的判定，其中熟记直线与圆的位置关系的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 4. 短轴长为4，离心率为的椭圆的两个焦点分别为F1､F2，过焦点F1的弦为AB，则三角形ABF2的周长为（ ） A. 12 B. 24 C. 24 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据离心率和短轴的长求得长轴的长，进而利用椭圆的定义求得所求三角形的周长. 【详解】离心率为，设则 短轴长为，,，, ,的周长= =, 故选：B. 【点睛】 在椭圆的焦点三角形中，利用椭圆定义求周长是常用的方法，一般地，的周长为长轴长的两倍. 5. 《九章算术》有这样一个问题；今有女子善织，日增等尺，七日织三十五尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十八尺，问第九日所织尺数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列基本量的计算即可求解. 【详解】由题意得，该女子每日织布的尺数构成等差数列，记等差数列的前项和为， ，解得， 所以. 故选：D. 6. 已知圆关于双曲线：的一条渐近线对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆心、双曲线的渐近线方程，根据圆心在渐近线上可得答案. 【详解】由得， 可得圆心为， 双曲线：的渐近线方程为， 若圆关于双曲线的一条渐近线对称，则圆心在渐近线上， 当时，无解； 当时，由，解得. 综上，. 故选：B. 7. 在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，则动点的轨迹与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 外切 C. 相交或相切 D. 内切 【答案】A 【解析】 【分析】利用已知条件列出方程，化简可得点P的轨迹方程为圆，再判断圆心距和半径的关系即可得解. 【详解】由，得， 则，整理得， 表示圆心为，半径为的圆， 圆的圆心为为圆心，半径， 两圆的圆心距为，满足， 所以两个圆相交. 故选：A. 8. 设双曲线的半焦距为，直线过，两点，已知原点到直线的距离为，双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】写出直线方程，由点到直线距离公式求得的齐次式，变形后可求得离心率． 【详解】因为直线l过，两点， 所以直线l的方程为，即， 所以原点到的距离①. 又②， 所以，即，故，解或. 当时，，与矛盾，所以. 故选：B. 二、多选题 9. 已知数列的前项和为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据递推公式列出数列的前几项，即可得到数列是以为周期的周期数列，根据周期性计算可得. 【详解】因为，， 所以，，，，故A错误，B正确； 所以数列是以为周期的周期数列，则，故C正确； ，故D正确. 故选：BCD 10. 已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于点，两点（点A在第一象限），若，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】直线与抛物线联立方程组，求出点，的坐标，由，求得，进而求得，即可判断ABC，求出原点到直线的距离，代入面积公式求解判断D. 【分析】如图，，直线的斜率为，则设直线的方程为， 联立得，解得：，． 由，得，故A错误； 由于，则，故C错误； 同理，故B正确； 因为直线的方程为，原点到直线的距离为， 所以，故D正确． 故选：BD． 11. 已知等差数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（ ） A. 当或10时，取得最大值 B. C. 成立的n的最大值为20 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意结合等差数列性质分析的符号性，结合的符号性以及的性质逐项分析判断. 【详解】因为，则， 且数列为等差数列，则， 可得，即， 又因为，可知：当时，；当时，； 对于选项A：由可知，所以当或10时，取得最大值，故A正确； 对于选项B：因为，故B错误； 对于选项C：由的符号性可知：①当时，单调递增，则； ②当时，单调递减； 且，可知：当时，；当时，； 所以成立的n的最小值为20，故C错误； 对于选项D：因为，所以，故D正确； 故选：AD. 三、填空题 12. 直线与椭圆交于、两点，短轴的上顶点为点，则的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式求出，并求出点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】设点、，联立，可得，， 由韦达定理可得，， 所以， 椭圆的上顶点为，点到直线的距离为， 所以，. 故答案为：. 13. 已知三角形的两个顶点、的坐标分别为、，且、所在直线的斜率之积等于，顶点的轨迹方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】设点，根据可求出顶点的轨迹方程. 【详解】设点，则，，其中， 由题意可得，化简可得. 故顶点的轨迹方程为. 故答案为：. 14. 设双曲线的半焦距c，坐标原点到直线的距离等于，则c的最小值为_______ 【答案】4 【解析】 【分析】先根据点到直线的距离求得，进而根据均值不等式的性质求得求得c的范围． 【详解】解：依题意可知， ， ， ，解得或（舍去） 故答案为4. 【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的关键是利用点到直线的距离求得和的关系 四、解答题 15. 已知数列和都是等差数列，公差分别为，，数列满足. （1）数列是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由. （2）若的公差为，的公差为，，，求数列的通项公式. 【答案】（1）数列是等差数列，理由如下： 因为数列，都是等差数列，公差分别为，， 所以，， 因为， 所以 为常数， 所以数列是以为公差的等差数列； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据题意得，然后利用等差数列的定义判断即可； （2）由（1）结合已知可得数列的首项为，公差为，从而可求出数列的通项公式. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，， 所以， 由（1）可知数列是等差数列，且公差为， 因为的公差为，的公差为， 所以数列的公差， 所以数列的通项公式为. 16. 已知圆经过点和，圆心在直线上.直线的方程为 （1）求圆的标准方程； （2）求直线被圆截得的弦长的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）最大值为；最小值为 【解析】 【分析】（1）设圆心，根据圆的定义，待定系数法可得圆的方程； （2）分离参数可得直线过定点，且点在圆内，进而可得弦长的最值. 【小问1详解】 由已知圆心在直线上， 则设， 又圆经过点和， 则， 即， 解得， 所以圆心，半径， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 由已知直线， 即， 令，解得， 即直线过定点， 且， 所以当直线过点时弦长最大为， 当直线时弦长最小为. 17. 已知曲线：（且）的左、右焦点分别为，，直线与交于点，. （1）若，且四边形是矩形，求的值； （2）若是上与，不重合的点，且直线，的斜率分别为，，若， ①求此曲线的的离心率； ②求. 【答案】（1）4 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由，确定是椭圆，根据椭圆的对称性和焦点三角形解法可得； （2）先根据求得，即可求出曲线方程，根据双曲线的性质计算①②. 【小问1详解】 当时，曲线：是椭圆，， 因为四边形是矩形，所以， ， 由椭圆的定义得， 所以； 【小问2详解】 设，则，， 设，则，与相减得， 所以， 所以． 所以，所以是双曲线，且曲线：； ①因为，所以离心率； ②． 18. 设等差数列的前项和为，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）当为何值时，最大？并求的最大值. 【答案】（1） （2） （3）当时，最大，且的最大值为123 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，依题意得到关于、的方程组，解得、，即可求出通项公式； （2）根据等差数列求和公式计算可得； （3）令求出所对应的的取值范围，即可得解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由，， 所以，解得， 所以； 【小问2详解】 由（1）可得，， 所以； 【小问3详解】 令，解得， 令，解得， 又，所以当时，最大，. 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，是椭圆上一点． （1）求椭圆方程的离心率 （2）若为椭圆上异于顶点的任意一点，，分别为椭圆的右顶点和上顶点．直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值． 【答案】（1）； （2）证明：设，（且） 根据（1）知，， 则直线， 令，得，即得， 直线， 令，得，即得， 则，， 于是  ， 将代入整理得， 故为定值． 【解析】 【分析】（1）由已知且，，利用椭圆的定义可求得，即可求到椭圆的离心率； （2）设，得直线,的方程求得和，进而得,即可证明为定值. 【详解】（1）在椭圆中，∵， ∴，，又知为上的点， 根据椭圆定义有, 解得, ，即椭圆方程为， 故； （2）略. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的求解和椭圆的几何性质的综合应用，其中解答中涉及到椭圆的定义和标准方程，直线与椭圆的位置关系等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中设出，根据直线和椭圆的方程，化简得到是解答的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春八中2024-2025学年（上）高二期中考试 数学试题 命题人：刘德荣 审题人：满宁宁 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单选题 1. 抛物线的焦点坐标为，则其准线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线，，若，则实数a的值是（ ） A. B. 2 C. 2或 D. 或1 3. “”是直线与圆相切的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 短轴长为4，离心率为的椭圆的两个焦点分别为F1､F2，过焦点F1的弦为AB，则三角形ABF2的周长为（ ） A. 12 B. 24 C. 24 D. 18 5. 《九章算术》有这样一个问题；今有女子善织，日增等尺，七日织三十五尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十八尺，问第九日所织尺数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 6. 已知圆关于双曲线：的一条渐近线对称，则（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，则动点的轨迹与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 外切 C. 相交或相切 D. 内切 8. 设双曲线的半焦距为，直线过，两点，已知原点到直线的距离为，双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 或 二、多选题 9. 已知数列的前项和为，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于点，两点（点A在第一象限），若，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知等差数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（ ） A. 当或10时，取得最大值 B. C. 成立的n的最大值为20 D. 三、填空题 12. 直线与椭圆交于、两点，短轴的上顶点为点，则的面积为______. 13. 已知三角形的两个顶点、的坐标分别为、，且、所在直线的斜率之积等于，顶点的轨迹方程为______. 14. 设双曲线的半焦距c，坐标原点到直线的距离等于，则c的最小值为_______ 四、解答题 15. 已知数列和都是等差数列，公差分别为，，数列满足. （1）数列是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由. （2）若的公差为，的公差为，，，求数列的通项公式. 16. 已知圆经过点和，圆心在直线上.直线的方程为 （1）求圆的标准方程； （2）求直线被圆截得的弦长的最大值和最小值. 17. 已知曲线：（且）的左、右焦点分别为，，直线与交于点，. （1）若，且四边形是矩形，求的值； （2）若是上与，不重合的点，且直线，的斜率分别为，，若， ①求此曲线的的离心率； ②求. 18. 设等差数列的前项和为，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）当为何值时，最大？并求的最大值. 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，是椭圆上一点． （1）求椭圆方程的离心率 （2）若为椭圆上异于顶点的任意一点，，分别为椭圆的右顶点和上顶点．直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $