浙江省绍兴市高级中学2024-2025学年高二上学期模块质量调测（10月）数学试卷

报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 2024学年第一学期绍兴市高级中学模块质量调 测试卷 考场/座位号： 姓名： 班级： 贴条形码区 回回 (币面潮上，切勿贴出虚线方框 正确填涂 ■ 缺考标记 一、 选择题 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][c][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] T[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、填空题 ■ 12. 13. 14. 囚囚■ 主观题 15. 囚囚■ ■ 16. P 、、下 B Q ■ ■ 17. I 囚■囚 18 B C A E D C 囚■囚 ■ ▣ 19. P E ■ 2024学年第一学期绍兴市高级中学模块质量调测试卷 高二数学 命题人：谢旭初 审核人：王建平 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分 （选择题共58分） 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点关于z轴的对称点为B，则等于（ ） A. B. C. 2 D. 2. 直线的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 3. 在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（ ） A. ，3 B. ，2 C. 1，3 D. ，2 5. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6 7. 若直线过定点，且与以为端点的线段相交（包括端点），则其倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在棱长为的正方体中，分别为的中点，点在正方体表面上运动，且满足，点轨迹的长度是（ ）. A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，，，则下列结论正确的是（ ） A. 直线l恒过定点 B. 当m＝1时，直线l的倾斜角为 C. 当m＝0时，直线l的斜率不存在 D. 当m＝2时，直线l与直线AB垂直 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最小值为 D. 的最大值为4 11. 在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ） A. 当时，的周长为定值 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，有且仅有一个点，使得 D. 当时，有且仅有一个点，使得平面 第二部分 （非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为________． 13. 在正方体中，点E是上底面的中心，若，则实数______. 14. 如图，在长方体中，已知，．动点P从出发，在棱上匀速运动；动点Q同时从B出发，在棱BC上匀速运动，P的运动速度是Q的两倍，各自运动到另一端点停止．它们在运动过程中，设直线PQ与平面ABCD所成的角为，则的取值范围是____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 菱形的顶点A，的坐标分别为，，边所在直线过点. （1）求，边所在直线的一般式方程； （2）求对角线所在直线的一般式方程. 16. 如图，在正三棱柱中，，点P，Q分别为，的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知直线． （1）求证：直线经过一个定点； （2）若直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 18. 如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点． （1）求证：平面ABD； （2）求证：平面EGF平面ABD； （3）求平面EGF与平面ABD的距离． 19. 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，，，是边长为2的等边三角形，，是线段的中点. （1）求证：平面平面； （2）若，是否存在，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 2024学年第一学期绍兴市高级中学模块质量调测试卷 高二数学 命题人：谢旭初 审核人：王建平 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分 （选择题共58分） 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】BD 第二部分 （非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】2 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）；. （2）. 【16题答案】 【答案】（1）； （2）． 【17题答案】 【答案】（1）证明：直线，化为，当时，对任意实数，恒有， 所以直线过定点. （2），. 【18题答案】 【答案】（1）由题设，两两互相垂直， 以B为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，设，则. 所以，易得，， 所以，，所以，， 又，且都在平面内，故平面ABD. （2）由题意知，则， 所以，，则，， 所以，， 又且都在平面内，所以平面EFG， 结合（1）知，平面EGF平面ABD. （3）. 【19题答案】 【答案】（1） 在中，由余弦定理知，， 所以，即， 因为，且，、平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）存在， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2024学年第一学期绍兴市高级中学模块质量调测试卷 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 第一部分（选择题共58分) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知点A(1,-1,2)关于z轴的对称点为B,则AB等于（) A.22 B.2√6 C.2 D.32 【答案】A 【解析】点A1,-1,2)关于z轴的对称点为B(-1,1,2),所以AB=V4+4+0=2W2.故选A. 2.直线1：2x+3y-1=0的一个方向向量为() A.(2,-3) B.(?3,2) C.(2,3) D.(3,2) 【答案】B 【解折】由2x:3y-1=0得，=子+片所以直线的一个方向白量为0，多， 而(32》=-30，-3，所以(3,2)也是直线的一个方向向量故选B. 2 间四边形ABCD中，E,F分别为BC,CD的中点，则AF-AB+A©三 A.-EF B.BD C.EF D.-BD 【答案】c 【解析】在空间四边形ABCD中，E为BC的中点，则AB+AC=2AE, 所以丽-西+A0=A亚-征=丽故选C 4.已知点A(a,-3,5),B(0,b,2),C(2,7,-1),若A,B,C三点共线，则a,b的值分别是() A.-2,3 B.-1,2 C.1,3 D.-2,2 【答案】D 【解析】因为A(a-3,5),B(0,b,2),C(2,7,-1), 所以AB=(←4，b+3,-3),BC=(2,7-b,-3), 因为A,B,C三点共线，所以存在实数k,使AB=kBC, 所以(-a,b+3,-3)=(2,7-b,-3), 「-a=2k 所以{b+3=k(7-b),解得k=1,a=-2,b=2.故选D. -3=-3k 5.“a=1”是“直线ax+2y-6=0与直线x+(a+1)y+a2-1=0平行的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若直线c+2y-6=0与直线x+(a+1)y+(a2-1)=0互相平行且不重合， 则 x-61:0{a2jG-2a+3z0解得1=2 [a(a+1)-1x2=0 [(a+2)(a-1)=0 a≠-2 ,故a=1. 所以a=1是“直线x+2y-6=0与直线x+(a+1)y+-1=0互相平行且不重合”的充要条件. 故选C 6.在所有棱长均为2的平行六面体ABCD-A,B:CD,中，∠AAB=∠AAD=∠BAD=60°，则AC1的长为() A.23 B.25 C.2√6 D.6 【答案】C 【解析】因为AC=AB+BC+CC=AB+AD+AA,所以 AC=(4B+AD+A4)=AB+AD+44i+24B.AD+24B.44+2AD.A4 =4+4+4+2×2×2×c0s60°+2×2×2×c0s60°+2×2×2×c0s601 =4+4+4+4+4+4=24 从而AC=2W6,即AC的长为2√6.故选C. D B D 7.若直线1过定点P(1,0),且与以A(-1,2),B(2,V3)为端点的线段相交（包括端点），则其倾斜角的取值范 围是() A. C. 「元3元 L6’4」 D 【答案】D【分析】根据题意，结合斜率公式，求得k≤-1或k≥√5，进而求得直线l的倾斜角的范围！ 【详解】如图所示，因为直线1过定点P(1,0),且与以A(-1,2),B(2,√3为端点的线段相交， 可得kg= 0.x=8=1 2-1 所以直线1的斜率不存在或满足k≤-1或k≥√5， B 兀3π 所以直线的倾斜角的范围为 34 故选：D. 8.在棱长为a的正方体ABCD-ABC1D中，M,N分别为BD,BC的中点，点P在正方体表面上运动， 且满足MP⊥CN,则点P轨迹的长度是() A.(2+V5)a B.(3+3)a c.（3+v5)a D.4a 【答案】A 【解析】在正方体ABCD-A,BCD中，以D为坐标原点，分别以DA,DC,DD为x轴，y轴，=轴建立 (222w。 空间直角坐标系，D(00,0),Mg, c.a.0)-.0.a 设P(xy,),则MP= aaa x- 2y-22月 D G B M D :Mp10,-号+a-号=0，可得2x+4-3a=0: 当=a时，：子当x=0时，： 3 取aaaaa)，caa 连接EF,FG,GH,HB, 则酥-而=0a0,丽=G-（a0 ∴.四边形EFGH为矩形，则EFC=0,E豆.C=0, 即EF⊥CN,EH⊥CN,又EF和EH为平面EFGH中的两条相交直线， ∴.CN⊥平面EFGH, 又EM= aaa MG= aaa） 2'2’4 22'4 ∴.M为EG的中点，则M∈平面EFGH, 为使MP⊥CN,必有点P∈平面EFGH, 又点P在正方体表面上运动，所以点P的轨迹为四边形EFGH, 又F=GH=a,BH=PG三a,EP≠I,则点P的轨迹不是正方泥 则矩形EFGH的周长为(2+V5)a.故选A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知直线1：x+y+1=0,A1,0),B(3,1),则下列结论正确的是() A.直线1恒过定点(0,1) B.当m=1时，直线1的倾斜角为3 C.当m=0时，直线l的斜率不存在 D.当m=2时，直线1与直线AB垂直 【答案】BD +1=0'解得直线1恒过定点(0，-)，选项A错误： x=0 【解析】对于选项A,直线：mx+y+1=0,令 对于选项B,当m=1时，直线1的方程为x+y+10,斜率为-1，领斜角为买，选项B正确： 对于选项C,当=0时，直线1的方程化为y+1=0,斜率为0，斜率存在，选项C错误； 对于选项D,当m=2时，直线：2x+y+1=0,所以k=-2. 由A0o,3(0.可得e-分得a4=1 所以直线I与直线AB垂直，选项D正确. 4 故选BD. 10.己知向量=(m-1,2m,2),b=(2-5,m,1),则下列结论正确的是() A.若a∥b,则=3 B.若a⊥6，则m=- 5 C.同的最小值为23@ D.的最大值为4 5 【答案】AC 【解析】对于A,若a∥6，且a=(-1,2,2),b=(2-5,,1) 则存在唯一实数2使得a=乃，即(m-1,2,2)=(2-5)2,m2,2), m-1=(2m-5)入 则}2m=m2 m=3 ，解得 2=2,故A正确， 2=1 对于B,若a⊥b,则a.5=0,即(m-1)(2m-5)+2m+2=0, 化简得4m2-7m+7=0,因为△=49-16×7<0，所以无实数解，故B错误： 对于CD,同=Vm-)+n+4=5m-2m+5,故当m时，取得最小值为20，无最大值，故C 5 正确，D错误. 故选AC. A 11.在正三棱柱ABC-ABC中，AB=A4=1,点P满足BP=BC+BB,其中 e[0,],4e[0,1,则(） A.当入=1时，△AB,P的周长为定值 M B.当u=1时，三棱锥P-ABC的体积为定值 C当2=时，有且仅有-个点F,俊得APLBP B D.当u=】时，有且仅有一个点P,使得4B⊥平面AB,P 【答案】BD 【解析】 易知，点P在矩形BCCB内部（含边界）. 对于A,当元=1时， BP BC uBB:=BC uCC, 即此时P∈线段CC,△ABP周长不是定值，故A错误； 5 对于B,当=1时， BP=BC+BB=BB1+B1C,故此时P点轨迹为线段BG, 而 B:C//BC, B:C1平面ABC, 则有P到平面ABC的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确 对于c,当2时 B丽=BC+BB,取BC,BG中点分别为O,H, 则 丽=B0+Q丽，所以P点轨迹为线段OH,不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图， 4(0.1 P(0,0,): B(0,20): 则 =(-g0-1 丽=(0-以 A2.B驴=-1)=0， 所以4=0或4=1.故 H,Q均满足，故C错误； 对于D,当L=时， BP=BC+BB,取BB,CC中点为M,N. BP=BM+M,所以P点轨迹为线段MN.设 P(0.o》 因为 A(停，00)所以 =（←》 丽=(-功 所以 +0-=0→%=一子此时P与N重合，放D正确.放选：BD。 第二部分（非选择题共2分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知直线(a十2)x十(a-2a一3)y-2a=0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为 答案 解析把(3,0)代入已知方程， 得(a+2)×3-2a=0, ∴.a=-6, .直线方程为-4x+45y+12=0, 令x=0,得y=-4 15 13.在正方体ABCD-A'B'CD中，点E是上底面AB'CD的中心，若AE=xAD+yAB+zAA,则实数 x+y+三= 【答案】2 【解析】因为 -+-+号4c-+6+AD列-a+号4+号D-40+号+d, 又AE=xAD+yAB+zAA, 6 1 所以x=方y=2z=1,y=2. D' D B 故答案为：2 14.已知P,2分别在直线4：x-y+1=0与直线l2:x-y-1=0上，且P2⊥4，点A(4,6),B(5,-1),则 AP+PO+|QB的最小值为 【答案】10+√2/√2+10 【解析】因为4：x-y+1=0,12:x-y-1=0,所以直线与间的距离为 +=5, V1+1 又P0⊥1，故P9=√2，过B(5,-1)作直线1垂直于1：x-y+1=0,如图， 、B 则可设直线1的方程为x+y+c=0,代入B(5,-1),得5-1+c=0,则c=-4,所以直线1的方程为x+y-4=0, 将B(5,-1)沿着直线1往上平移2个单位到B点，设B'(a,-a+4), 则V(a-5)+(-a+5=√2，解得a=4或a=6(舍去)，则B'(4,0), 连接AB交直线于点P,过P作PQ⊥1☑于Q,连接BQ 有BB/1P2,BB'曰P2,即四边形BB'P2为平行四边形， 则IPB'HBQI,即有AP+|QB=AP+PB=AB, 显然AB是直线马上的点与点A,B距离和的最小值， > 因此AP+|QB的最小值，即AP+PB的最小值AB, 而AB=V(4-4)+(6-0)2=10,所以AP+|P☑+B的最小值为AB+PO=10+2 故答案为：10+√2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 15.(13分) 菱形ABCD的顶点A,C的坐标分别为A(-4,7),C(6,-5),BC边所在直线过点P(4,-1) (I)求BC,AD边所在直线的方程： (2)求对角线BD所在直线的方程 【解折】(1)由菱形的性质可知BC/AD,则ko=kc=k=二+5-2.2分 4-6 所以BC边所在直线的方程为y+5=-2(x-6),即2x+y-7=0;4分 AD边所在直线的方程为y-7=-2(x+4),即2x+y+1=06分 (2)线段AC的中点为E1,1),kac=6=-9,、 8分 由菱形的几何性质可知，BD1AC且B为BD的中点，则D=-1=三 kc6’10分 所以对角线BD所在直线的方程为y-1名（x-).即5x-6y+1=013分 16.(15分) 如图，在正三棱柱ABC一A1B1C1中，AB=AA1=2,点P,Q分别为A1B1,BC的中点， A (I)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值： (2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值 解如图，在正三棱柱ABC一A1B1C1中，设AC,A1C1的中点分别为O,O1,连接OB,OO1, 则OB⊥OC,OO1⊥OC,OO1⊥OB.以O为原点，OB,OC,OO1所在直线分别为x轴、y轴、 z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 8 因为AB=A41=2,所以A(0,-1,0),BV3,0,0),C(0,1,0),A1(0,-1,2),B1(N3,0, 2),C1(0,1,2). 0000.0000.3分 (1)因为P为A1B1的中点， 所总子 从商应【学子习 又AC1=(0,2,2), B驴A1 故cos(BP,AC1〉= BPMCi -1+4_3V10 =5X2220 因此，异面直线BP与AC所成角的余弦值为3N10 20 0000000000。 9分 ②图秀口为C的中点，所以后}小 因光办〔；小 AC1=(0,2,2,C℃1=(0,0,2) 设n=(x,y,)为平面AQC1的一个法向量， 0n=0, +3 y=0, 则 即2 4C1n=0,2y+2z=0. 不妨取n=(3,一1,1) 设直线CC1与平面AQC1所成角为0， 9 则sin0=lcos(CC1,n)|= 心m=2=5 CC V5×25,所以直线CC1与平面AOC1所成角的正弦值 为6 51 000000000000000000000000000.15分 17.(15分) 己知直线1：x-y+1-2k=0(k∈R). (1)求证：直线1经过一个定点： (2)若直线1交x轴的正半轴于点A,交y轴的正半轴于点B,O为坐标原点，设VAOB的面积为S,求S的 最小值及此时直线的方程. 【解析】(1)直线1：x-y+1-2k=0(k∈R), 化为y=(x-2)+1,（2分) 当x=2时，对任意实数k,恒有y=1,(3分) 所以直线1过定点2,1).(4分) （2》依愿意，显然k≠0，直线1：a-y+1-2k=0keR)交x轴于点40-)，交y轴于点0,1-2). (6分) 而点48分别在xy轴的正半抽上，即201-2>0，于是k<0,（8分) 则v408的面积为8=0-20-2约=2+4)+中22+240=4,12分) 当且仅当4(-)=子，即k=号时取等号，（13分) 所以当k=-，时，S=4,(14分) 此时直线1的方程为x+2y-4=0.(15分) 18.(17分) 如图所示，在直三棱柱ABC一A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=2,CC1=4,点E在线段BB1上， 且EB1=1,D,F,G分别为CC1,C1B1,CA1的中点. (I)求证：B1D⊥平面ABD: (2)求证：平面EGF∥平面ABD: (3)求平面EGF与平面ABD的距离 (I)证明如图所示，由条件知，BA,BC,BB1两两互相垂直，以B为坐标原 B 点，BA,BC,BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Bz. 则B(0,0,0),D0,2,2),B1(0,0,4), C 设BA=a(a>O), G E 则A(a,0,0) .BA=(a,0,0), B C Y BD=(0,2,2), B1D=(0,2,-2), ∴.B1DBA=0,B1D-BD=0+4-4=0 .B1D⊥BA,B1D⊥BD, 又.BD∩BA=B,BD,BAC平面ABD, ∴.B1D⊥平面ABD 000000000.005分 (2)证明由题意知(0,0,3)， &.4 0.1,0 府尽1.成=0.1，). ∴.B1DEG=0+2-2=0,B1DEF=0+2-2=0 ∴.B1D⊥EG,B1D⊥EF, 又EG∩EF=E,EG,EFc平面EFG, .B1D⊥平面EFG, 又平面EFG与平面ABD不重合， 结合(I)可知，平面EGF∥平面ABD. 000000000.00.10分 (3)解由(1)，(2)知，BF=(0,1,4), B1D=(0,2,一2)是平面ABD的法向量， ∴点F到平面ABD的距离为 4=脉-63N2 BiD 2V2 2 由(2)知，平面EGF与平面ABD的距离等于点F到平面ABD的距离， 11 ·两平面间的距离为32 000000000000.17分 19.(17分) 20.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，BC=4,∠ABC=60°，△PAB是边长为2 的等边三角形，PB⊥AC,E是线段PD的中点. (1)求证：平面PAB⊥平面ABCD: (2)若PF=PC(0<1<),是否存在九，使得平面BBF和平面PAD夹角的余弦值为？若存在，求出元 的值：若不存在，请说明理由。 【解析】(I)证明：在VABC中，由余弦定理知， 4C2=AB2+BC2-2AB.BCc0S∠ABC=4+16-2x2x4×=12,(2分) 2 所以AC2+AB2=BC2,即AC⊥AB,(3分) 因为PB⊥AC,(4分) 且AB∩PB=B,AB、PBC平面PAB, 所以AC⊥平面PAB,(5分) 又ACC平面ABCD,所以平面PAB⊥平面ABCD.(6分) (2)以A为坐标原点，AB,AC所在直线分别为x,y轴，作Az⊥平面ABCD,建立如图所示的空间直 角坐标系， 则0,0,0,0,0.0，C0,23,,D2,23,0,P0,0,③)，B, 12 (8分) 所以亚-0.间，而-2,25，，丽=3,5。 BF=(-1,0,5),PC=(-1,25,-5), 所以BF=BP+PF=-BP+PC=(-1,0,V3)+(-1,23,-V5)=(-1-1,23,5-5), iBE=0 设平面BEF的法向量为i=c,y,),则 i.BF=0 2x+5y+5:=0 即{ 2 ,(9分) (-1-).x+2N3y+(W5-V3):=0 取二=42-1，则x=V3(2-1),y=32-2,所以i=(N3(21-1),3-2,42-1),(10分) 设平面PMD的法向量为m=a,b,,则m亚=0，ma+c=0 即 ,(11分) i.AD=0-2a+2W3b=0 取c=1,则a=-3,b=-1,所以m=(-√5，-1,1)，(12分) 因为平面BBF和平面卫AD夹角的余弦值为亏 3 -3(22-1)-32+2+42-1 3 所以cos<而，i>= m同5×V3(2元-1)'+3元-2+(4元-1 5,(14分) 整理得，8(26元2-112-1)=0，即8(2元-1)13元+1)=0，(15分) 解得几=}或2=- 1 13 1 因为0<<1，所以元=2，（16分) 放存在，使得Y面BF和Y面PAD夹角的余弦值为？，此时2-分《17分) 13